河北省邢台市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1已知集合 P=x|1 x 10， Q=x|（ x+2）（ 7 x） 0，则 PQ 等于（ ） A x| 2 x 10 B x|7 x 10 C x|1 x 7 D x|1 x 2 或 7 x 10 2在首项为 63，公比为 2 的等比数列 ， 2016 是该数列的（ ） A第 5 项 B第 6 项 C第 7 项 D第 8 项 3 已知 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 ， A= ，则 等于（ ） A B C D 4设向 量 =（ 1， 2）， =（ 3， 5）， =（ 4， x），若 + = （ R），则 +x 的值是（ ） A B C D 5设 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值与最小值分别为（ ） A 6， 3 B 1， 3 C 6， 2 D 1， 2 6某校高一年级有甲、乙、丙三位学生，学生甲第一次、第二次、第三次月考的物理成绩依次成等差数列，乙、丙也是如此，他们前两次月考的成绩如表：（ ） 第一次月考物 理成绩 第二次月考物理成绩 学生甲 80 85 学生乙 81 83 学生丙 90 86 则下列结论正确的是（ ） A甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数为 86 B在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高 C在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定 D在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大 7若 ） = ，则 于（ ） A 或 6 B 或 3 C 或 6 D 或 3 8若 x 0， y 0，且 =1，则 的最大值为（ ） A B C D 第 2 页（共 17 页） 9在数列 ， a a = 2， ，记数列 a 的前 n 项和为 最大值为（ ） A 0已知函数 f（ x） = 0）的部分图象如图所示，为得到函数 y=x+ ）的图象，只需将函数 y=f（ x）的图象（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 11已知向量 ， 的夹角为锐角， | |= ， | |= ，且 与 夹角的余弦值为 ，则向量 在 方向上的投影为（ ） A B 3 C 2 或 3 D 或 12在 ， A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 a2+，则 A 等于（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分 .、共 20 分 . 13若函数 f（ x） = ，则 f（ f（ 25） = 14已知等差数列 前 n 项和为 a9+ 1，则 k= 15在 ， ， ， 20， D 为 上任意一点，则 0 的概率为 16已知 别为数列 1+ ） 与 的前 n 项和，若 n 134，则 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知数列 等比数列， ，且 2a2+0 （ 1）求 （ 2）若数列 足， =bn+b1=0，求 第 3 页（共 17 页） 18在 ， 0， ， ， D 为 上的中点， E 为 上一点，且 = （ 0 1） （ 1）当 时，若 =x +y ，求 x， y 的值； （ 2）当 ，求 的值 19已知 足 （ =2 （ 1）求 （ 2）若 ，求 面积的最大值 20已知函数 f（ x） =2x R） （ 1）若 f（ t x） =f（ t+x）且 t （ 0， ），求实数 t 的值； （ 2）记函数 f（ x）在 x ， 上的最大值为 b，且函数 f（ x）在 a b）上单调递 增，求实数 a 的最小值 21在 ， A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 4 （ 1）若 a=4， 面积为 ，求 b， c 的值； （ 2）若 k 0），且 钝角三角形，求 k 的取值范围 22在数列 ， 9n+1， （ 1）求 （ 2）设 bn=1+ ） 1，求数列 前 n 项和 第 4 页（共 17 页） 2015年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1已知集合 P=x|1 x 10， Q=x|（ x+2）（ 7 x） 0，则 PQ 等于（ ） A x| 2 x 10 B x|7 x 10 C x|1 x 7 D x|1 x 2 或 7 x 10 【分析】 求出集合 Q 的范围，再和 P 取交集即可 【解答】 解： P=x|1 x 10， Q=x|（ x+2）（ 7 x） 0=x| 2 x 7， 则 PQ=x|1 x 7， 故选： C 2在首项为 63，公比为 2 的等比数列 ， 2016 是该数列的（ ） A第 5 项 B第 6 项 C第 7 项 D第 8 项 【分析】 先由首项与公比求出该等比数列的通项公式，由此能求出 2016 是该数列的第几项 【解答】 解：在首项为 63，公比为 2 的等比数列 ， 3 2n 1， 由 3 2n 1=2016，解得 n=6 故选： B 3已知 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 ， A= ，则 等于（ ） A B C D 【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值可求 值，利用正弦定理即可计算得解 【解答】 解： ， B （ 0， ）， A= ， = ， ， 由正弦定理 ，可得： = = 故选： D 4设向量 =（ 1， 2）， =（ 3， 5）， =（ 4， x），若 + = （ R），则 +x 的值是（ ） A B C D 第 5 页（共 17 页） 【分析】 根据平面向量的坐标运算与向量相等，列出方程组求出 和 x 的值，即可求出 + 【解答】 解：向量 =（ 1， 2）， =（ 3， 5）， =（ 4， x）， + =（ 2， 7）， 又 + = （ R）， ， 解得 = ， x= 14； +x= 14= 故选： C 5设 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值与最小值分别为（ ） A 6， 3 B 1， 3 C 6， 2 D 1， 2 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最值 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=x+y 得 y= x+z， 平移直线 y= x+z， 由图象可知当直线 y= x+z 经过点 A 时， 直线 y= x+z 的截距最大， 此时 z 最大 由 ，解得 ，即 A（ 4， 2）， 代入目标函数 z=x+y 得 z=4+2=6 即目标函数 z=x+y 的最大值为 6 当直线 y= x+z 经过点 C（ 1， 2）时， 直线 y= x+z 的截距最小， 此时 z 最小代入目标函数 z=x+y 得 z= 1 2= 3 即目标函数 z=x+y 的最小值为 3 故选： C 第 6 页（共 17 页） 6某校高一年级有甲、乙、丙三位学生，学生甲第一次、第二次、第三次月考的物理成绩依次成等差数列，乙、丙也是如此，他们前两次月考的成绩如表：（ ） 第一次月考物理成绩 第二次月考物理成绩 学生甲 80 85 学生乙 81 83 学生丙 90 86 则下列结论正确的是（ ） A甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数为 86 B在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高 C在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定 D在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大 【分析】 分别求出甲、乙、丙第三次月考的物理成绩，根据具体的数据判断即可 【解答】 解：甲、乙、丙第三次月考的物理成绩分别是 90， 85， 82， 甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数小于 86，故 A 错误； 在这三次月考物理成绩中，丙的成绩平均分最高，故 B 错误； 在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定，故 C 正确； 在这三次月考物理成绩中，甲的成绩方差最大，故 D 错误； 故选 ： C 7若 ） = ，则 于（ ） A 或 6 B 或 3 C 或 6 D 或 3 【分析】 利用两角查的正切公式求得 值，可得 值 【解答】 解： ） = = = ， ，或 ，则 或 ， 故选： A 8若 x 0， y 0，且 =1，则 的最大值为（ ） 第 7 页（共 17 页） A B C D 【分析】 利用基本不等式，即可求出 的最大值 【解答】 解： x 0， y 0， =1 2 ， ， 的最大值为 ， 故选： B 9在数列 ， a a = 2， ，记数列 a 的前 n 项和为 最大值为（ ） A 分析】 运用等差数列的定义可得，数列 a 是首项为 125，公差为 2 的等差数列，运用等差数列的通项公式可得 a =125+（ 2）（ n 1） =127 2n，判断数列的单调性，即可得到所求和的最大值 【解答】 解：由 a a = 2， ， 可得数列 a 是首项为 125，公差为 2 的等差数列， 可设 bn=a =125+（ 2）（ n 1） =127 2n， 由 0， 0， 即 127 2n 0， 125 2n 0， 解得 62 n 63 ， 即有自然数 n 为 63 由等差数 列 a 为递减数列， 可得前 63 项均为正数，第 64 项起均为负数 则前 63 项和最大 故选： D 第 8 页（共 17 页） 10已知函数 f（ x） = 0）的部分图象如图所示，为得到函数 y=x+ ）的图象，只需将函数 y=f（ x）的图象（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 【分析】 根据函数 f（ x）的图象求出 的值，化简 f（ x），根据平移法则即可得出答案 【解答】 解：根据函数 f（ x） = 0）的图象知， 函数的周期为 T=， =， 所以 =2； 所以 f（ x） = 又 f（ x） = 2x） =2x ）， 且 （ x+ ） =2x+ ）， 所以，为得到函数 y=2x+ ）的图象， 只需将函数 y=f（ x）的图象向左平移 个单位长度 故选： A 11已知向量 ， 的夹角为锐角， | |= ， | |= ，且 与 夹角的余弦值为 ，则向量 在 方向上的投影为（ ） A B 3 C 2 或 3 D 或 【分析】 可由条件求出 ，进而得出 的值，并可由和 建立关于 的方程，从而求出 ，根据投影的计算公式便可求出所求投影的值 【解答】 解：根据条件， =14 ； ； 又 ， 第 9 页（共 17 页） = ； ； 解得 或 = 1， 又 向量 ， 的夹角为锐角， ， 在 方向上的投影为 = 故选 A 12在 ， A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 a2+，则 A 等于（ ） A B C D 【分析】 利用正弦、余弦定理，化简 a2+，求出角 C 的值，再用 ，代入 ，利用三角恒等变换求出 B 的值，即可得出 A 的值 【解答】 解： ， a2+， ab， ab， ， ，且 0 C ， C= ； A= B， 又 ， = ， B） B） = B） B）， B） B） B） B）， 即 2B） = +B）， 2B=B ， 第 10 页（共 17 页） 解得 B= ， A= = 故选： D 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分 .、共 20 分 . 13若函数 f（ x） = ，则 f（ f（ 25） = 1 【分析】 首先求出 25 的函数值，然后求 f（ 25）的函数值，注意自变量范围，确定解析式 【解答】 解：由已知，函数 f（ x） = ，则 f（ 25） = 2， 2 0，所以 f（ 2） = ， 所以 f（ f（ 25） = 1； 故答案为： 1 14已知等差数列 前 n 项和为 a9+ 1，则 k= 6 【分析】 由等差数列的性质可得： 1= = =21 a9+ 出即可得出 【解答】 解：由等差数列的性质可得： 1= = =21 a9+ ， ，解得 k=6 故答案为： 6 15在 ， ， ， 20， D 为 上任意一点，则 0 的概率为 【分析】 根据题意画出图形，过点 A 作 足为 M， 由此得出当点 D 在线段 时， 0，从而求出对应的概率值 【解答】 解：如图所示， ， ， ， 20， 22+12 2 2 1 7， 第 11 页（共 17 页） ； 过点 A 作 足为 M， 则 C= = ， = = ； 当点 D 在线段 时， =| | | | 0， 故所求的概率为 P= = = 故答案为： 16已知 别为数列 1+ ） 与 的前 n 项和，若 n 134，则 127 【分析】 求得 1+ ） =n+1） 用裂项相消求和可得 Sn=n+1）；由 =1+（ ） n，运用等比数列的求和公式可得 Tn=n+1（ ） n再由构造数列 f（ n） =n+1） +n+1（ ） n，判断单调性，即可得到所求最小值 【 解答】 解： 1+ ） =n+1） 则 Sn=+n+1） n+1）； =1+（ ） n，可得 Tn=n+ =n+1（ ） n n 134，即为 n+1） +n+1（ ） n 134， 由 f（ n） =n+1） +n+1（ ） n 在 n N*递增， 且 35（ ） 127 ， 即有 n 的最小值为 127 故答案为： 127 第 12 页（共 17 页） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知数列 等比数列， ，且 2a2+0 （ 1）求 （ 2）若数列 足， =bn+b1=0，求 【分析】 （ 1）利用等比数列的通项公式即可得出 （ 2）由 b1=0，取 3n 1，可得 2变形为 bn= 3n 1，利用 “累加求和 ”与等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ 1）设等比数列 公比为 q， ，且 2a2+0 4 （ 2q+=60，化为： q 15=0，解得 q= 5，或 q=3 （ 5） n 1，或 3n 1 （ 2） b1=0， 3n 1，可得 2 bn= 3n 1， 1） +（ 1 2） +（ + （ 3n 2+3n 3+3+1） +12 = +12 =2 3n 1+10 18在 ， 0， ， ， D 为 上的中 点， E 为 上一点，且 = （ 0 1） （ 1）当 时，若 =x +y ，求 x， y 的值； （ 2）当 ，求 的值 【分析】 （ 1）建立平面直角坐标系，表示出向量 、 和 ，利用平面向量的坐标表示和向量相等列出方程组，即可求出 x 和 y 的值； （ 2）设出点 E（ x， y），利用 =0，和 与 共线，列 出方程组，解方程组求出点 E 的坐标，即可求出 的值 【解答】 解：（ 1）建立平面直角坐标系，如图所示；则 A（ 0， 0）， B（ 0， 2）， C（ 6， 0）， D（ 3， 0）， 当 时， = ， E 是 中点， 所以 E（ 3， 1）， =（ 3， 2）， =（ 6， 0）， =（ 3， 1）； 又 =x +y ， 所以（ 3， 1） =x（ 3， 2） +y（ 6， 0） =（ 3x+6y， 2x）， 第 13 页（共 17 页） 即 ， 解得 x= ， y= ； （ 2）设点 E（ x， y），则 =（ x， y）； 当 ， =0， 即 3x 2y=0； 又 =（ x， y 2）， =（ 6， 2），且 与 共线， 所以 2x 6（ y 2） =0； 由 组成方程组，解得 x= ， y= ； 所以 =（ ， ）， 所以 = ， 即 的值为 19已知 足 （ =2 （ 1）求 （ 2）若 ，求 面积的最 大值 【分析】 （ 1）利用正弦定理把角化边，再利用余弦定理得出 而得出 （ 2）利用余弦定理和基本不等式得出 最大值，代入三角形的面积公式得出面积的最大值 【解答】 解：（ 1） （ =2 b2+ = = = （ 2）由余弦定理得 = = ， b2+8 2 6+2 S + 面积的最大值为 第 14 页（共 17 页） 20已知函数 f（ x） =2x R） （ 1）若 f（ t x） =f（ t+x）且 t （ 0， ），求实数 t 的值； （ 2）记函数 f（ x）在 x ， 上的最大值为 b，且函数 f（ x）在 a b）上单调递增，求实数 a 的最小值 【分析】 （ 1）利用二倍角的正弦函数公式、两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的对称轴 方程求出 f（ x）的对称轴方程，结合条件求出 （ 2）由 x 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出函数的最大值，由正弦函数的增区间求出 f（ x）的增区间，由条件求出 a 的范围和最小值 【解答】 解：（ 1）由题意得， f（ x） =2， 由 得， ， f（ t x） =f（ t+x）， 函数 f（ x）的对称轴是 x=t= ， t （ 0， ）， t= ； （ 2） x ， ， ， 当 时， f（ x） = 取最大值是 2， 即 b=2， 由 得， ， f（ x）的单调递增区间是 ， 函数 f（ x）在 2（ a 2）上单调递增， k=1 时增区间是 ， k=0 时增区间是 ， 则 ， 实数 a 的最小值是 21在 ， A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 4 （ 1）若 a=4， 面积为 ，求 b， c 的值； （ 2）若 k 0），且 钝角三角形，求 k 的取值范围 【分析】 先由正弦定理和三角恒等变换，同角的三