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文档简介

反证法 前面我们学习了直接证明的两种最基本的方法 综合法和分析法 其基本特点如下 反证法 reductiontoabsurdity 是间接证明的一种基本方法 对于这种方法 我们在日常生活中并不陌生 在我们日常生活中 我们经常不自觉的利用这种方法来解决一些实际问题 间接证明 古时候有个人叫王戎 7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩 看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了 小伙伴们都跑去摘 只有王戎站着没动 他说 李子是苦的 我不吃 小伙伴摘来一尝 李子果然苦的没法吃 路边苦李 小伙伴问王戎 这就怪了 你又没有吃 怎么知道李子是苦的啊 王戎说 如果李子是甜的 树长在路边 那么李子早就没了 李子现在还那么多 所以啊 肯定李子是苦的 1 定义 从命题的反面出发 引出矛盾 从而证明原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 2 反证法的基本思路 只要证明所求证的结论不成立是错误的 从而肯定求证的结论是成立的 反证法 3 反证法证题的基本步骤 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 从这个假设出发 经过推理论证 得出矛盾 3 由矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 归缪矛盾 1 与已知条件矛盾 2 与已有公理 定理 定义矛盾 3 可能与临时假设矛盾 4 自相矛盾 反证法的一般适用情形 1 结论为否定性命题 2 结论为 至少 至多 类命题 3 结论为 唯一 类命题 4 结论为 有无穷多个 类命题 已知 在 o中 ab cd为圆的两条相交弦 且不全为直径 求证ab cd不能互相平分 证明 假设ab cd互相平分 则acbd为平行四边形 所以 acb adb cad cbd 因为abcd为圆内接四边形 所以 acb adb 180 cad cbd 180 因此 acb 90 cad 90 所以对角线ab cd均为直径 与已知矛盾 因此 ab cd不能互相平分 分析如果直接证明 我们基本上是不知道从哪里着手 虽然我们有方法计算它的值 但不可能将它无止境的计算下去 这样做比较麻烦或根本就不可能 那么我们就采用反证法来证明 证明 于是 存在互质的正整数m n m2 2n2 m为偶数 令m 2k k是正整数 4k2 2n2 n2 2k2 n也为偶数 与m n互质矛盾 求证 两条直线相交 只有一个交点 已知 直线 相交 求证 直线 只有一个交点 练习1 证明 练习2 条件 结论 对 不对 新结论 条件 矛盾 成立 直接证明 综合 分析
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