华东师大数学分析习题解答1.doc

数学分析选论习题解答第 一 章 实数理论 把1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明证设数集有下确界，且，试证：（） 存在数列；（） 存在严格递减数列证明如下：（） 据假设，；且现依次取相应地,使得因，由迫敛性易知.（） 为使上面得到的是严格递减的，只要从起，改取，就能保证证明1.3例的（）证设为非空有界数集，试证：现证明如下由假设，显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在故对任何，由此推知，从而又有另一方面，对任何 有，于是有；同理又有由此推得综上，证得结论 成立设为有界数集，且证明：（）；（）并举出等号不成立的例子证这里只证（），类似地可证（）设则应满足：于是，必有，这说明是的一个下界由于亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论成立上式中等号不成立的例子确实是存在的例如：设，这时，故得设为非空有界数集定义数集，证明：（）；（）证这里只证（），类似地可证（）由假设，都存在，现欲证依据下确界定义，分两步证明如下：） 因为所以，必有这说明的一个下界），使得从而，故的最大下界于是结论 得证 设为非空有界数集，且它们所含元素皆非负定义数集，证明：（）；（）证这里只证（），类似地可证（）因此是的一个上界另一方面，满足，故，使得由条件，不妨设，故当足够小时， 仍为一任意小正数这就证得是的最小上界，即 得证 证明：一个有序域如果具有完备性，则必定具有阿基米德性 证用反证法倘若有某个完备有序域不具有阿基米德性，则必存在两个正元素，使序列中没有一项大于于是，有上界（就是一个），从而由完备性假设，存在上确界由上确界定义，对一切正整数，有；同时存在某个正整数，使由此得出，这导致与相矛盾所以，具有完备性的有序域必定具有阿基米德性试用确界原理证明区间套定理证设为一区间套，即满足：由于有上界，有下界（），因此根据确界原理，存在 倘若，则有，而这与相矛盾，故又因，所以是一切的公共点对于其他任一公共点，由于 ，因此只能是，这就证得区间套存在惟一公共点试用区间套定理证明确界原理，其中为的上界记，若是的上界，则令；否则，若不是的上界，则令一般地，若记，则令如此得到的显然为一区间套，接下来证明这个区间套的惟一公共点即为的上确界由于上述区间套的特征是：对任何，恒为的上界，而则不为的上界，故，有，再由，便得，这说明是的一个上界；又因，故，由于不是的上界，因此更加不是的上界根据上确界的定义，证得同理可证，若为非空有下界的数集，则必有下确界试用区间套定理证明单调有界定理证设为递增且有上界的数列，欲证收敛为此构造区间套如下：令；类似于上题那样，采用逐次二等分法构造区间套，使不是的上界，恒为的上界由区间套定理，且使下面进一步证明 一方面，由的极限，得到另一方面，；由于不是的上界，故；又因递增，故当时，满足于是有，这就证得同理可证为递减而有下界的情形试用区间套定理证明聚点定理证设为实轴上的一个有界无限点集，欲证必定存在聚点因有界，故，使得，现设，则然后用逐次二等分法构造一区间套，使得每次所选择的都包含了中的无限多个点由区间套定理，最后应用区间套定理的推论，当充分大时，使得；由于中包含了的无限多个点，因此中也包含了的无限多个点，根据聚点定义，上述即为点集的一个聚点试用有限覆盖定理证明区间套定理证设为一区间套，欲证存在惟一的点下面用反证法来构造的一个无限覆盖倘若不存在公共点，则中任一点都不是区间套的公共点于是，即与某个不相交（ 注：这里用到了为一闭区间 ）当取遍时，这无限多个邻域构成的一个无限开覆盖：依据有限覆盖定理，存在的一个有限覆盖：，其中每个邻域若令，则，从而（）但是覆盖了，也就覆盖了，这与关系式（）相矛盾所以必定存在（有关惟一性的证明，与一般方法相同）设为非空有界数集证明：证设（ 若，则为单元素集，结论显然成立 ）记，欲证首先，有，这说明是的一个上界又因 不再是的上界，故，使,所以是的最小上界，于是所证结论成立证明：若数集存在聚点，则必能找出一个各项互异的数列，使证 依据聚点定义，对一般地，对于，如此得到的数列必定满足：；设为实轴上的一个无限点集试证：若的任一无限子集必有属于的聚点，则（）为有界集；（）的所有聚点都属于证 （）倘若无上界，则对；一般地，对于这就得到一个各项互异的点列的这个无限子集没有聚点，与题设条件相矛盾，所以必有上界同理可证必有下界，故为有界集（）因为有界无限点集，故必有聚点倘若的某一聚点，则由聚点的性质，必定存在各项互异的数列据题设条件，的惟一聚点应属于，故又导致矛盾所以的所有聚点都属于证明：，则必有举例说明，当上述属于时，结论不一定成立证利用1.3 例4，使，这说明是的一个聚点又因又是的上界，故不可能再有比更大的聚点所以是的上极限当时，结论不一定成立例如，显然不是的上极限指出下列数列的上、下极限：（）；（）；（）；（）；（）解（）（），故（）， 故（）故（），故设为有界数列，证明：