河北省保定市2015-2016年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2015年河北省保定市高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1已知 A=x|x+1 0， B=x|x2+x 2 0，则 A B=（ ） A（ 2， +） B（ 2， 1） C（ 1， 1） D（ 1， +） 2复数 z= 的共轭复数 为（ ） A 3 i B i C + i D i 3 （ ） A B C D 4某算法的程序框图如图所示，则执行该算法后输出的结果为（ ） A B C D 5已知 0 ，则 1 是 （ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 6若非零向量 ， 满足（ ） ，则 的最大值 为（ ） A B 1 C D 7已知 是由曲线 y= 与 x 轴围成的封闭区域，若将质点 P（ x， y）投入区域 中，则 x y 的概率为（ ） A B C D 第 2 页（共 20 页） 8明代程大位所著算法统宗中记载 “远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”这首古诗描述宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，总共有灯 381 盏，为这个塔顶层有几盏灯？（ ） A 2 盏 B 3 盏 C 4 盏 D 5 盏 9球 O 的表面上有 3 个点 A、 B、 C，且 ， 外接圆半径为 1，则该球的表面积为（ ） A 6 B 10 C 12 D 10若变量 x， y 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A 0 B 1 C 3 D 4 11一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A B C D 12已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l： 3x 4y=0 交椭圆 E 于 A， B 两点，若 |4，点 M 到直线 l 的距离不小于 ，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A（ 0， B（ 0， C ， 1） D ， 1） 二、填空题 :本大题共 4 小题。每小题 5 分，共 20 分 . 13已知双曲线过点 且渐近 线方程为 y= x，则该双曲线的标准方程是 14在 ， a， b， c 分别为内角 A， B， C 所对的边长，且 3 3b 2c） 3c b） 15已知变量 x 与 y 线性相关，且满足如下数据表： x 0 1 2 m y 1 2 6 n 第 3 页（共 20 页） 若 y 与 x 的回归直线必经过点（ ， 4），则 m+n= 16已知函数 f（ x） =g（ x） = ，则 f（ x） g（ x）的零点个数是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答写出文字说明、证明或验算步骤 17已知函数 f（ x） =2 f（ x）的最小正周期及在区间 0， 上的最小值 18已知数列 前 n 项和为 任意 n N*满足 3 （ 1）求 通项公式； （ 2）若 cn=数列 前 n 项和 19为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对此班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 5 女生 10 合计 50 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 （ 1）请将上面的列联表补充完整； （ 2）是否有 把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （ 3）已知喜爱打篮球的 10 位女生中， 喜欢打羽毛球， 喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出 1 名进行其他方面的调查，求 全被选中的概率 下面的临界值表供参考： p（ k） k 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d） 20如 图所示，四棱锥 S 底面 等腰梯形， 足为O，侧面 底面 ， ， ， ， M 为 中点 （ 1）求证 平面 （ 2）求三棱锥 B 体积 第 4 页（共 20 页） 21在平面直角坐标系 ，以动圆经过点（ 1， 0）且与直线 x= 1 相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线 E （ 1）求曲线 E 的方程； （ 2）已知点 A（ 5， 0），倾斜角为 的直线 l 与线段 交（不经过点 O 或点 A）且与曲线 E 交于 M、 N 两点，求 积的最大值，及此时直线 l 的方程 22已知函数 f（ x） =g（ x） = （ 1）若函数 （ x） =f（ x） ，求函数 （ x）的单调区间； （ 2）设直线 l 为函数 f（ x）的图象上一点 A（ f（ 处的切线，在区间（ 1， +）上是否存在 得直线 l 与曲线 y=g（ x）相切，若存在，求出 个数；若不存在，请说明理由 第 5 页（共 20 页） 2015年河北省保定市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1已知 A=x|x+1 0， B=x|x2+x 2 0，则 A B=（ ） A（ 2， +） B（ 2， 1） C（ 1， 1） D（ 1， +） 【考点】 并集及其运算 【 分析】 求出 A 与 B 中不等式的解集分别确定出 A 与 B，找出两集合的并集即可 【解答】 解：由 A 中不等式解得： x 1，即 A=（ 1， +）， 由 B 中不等式变形得：（ x 1）（ x+2） 0， 解得： 2 x 1，即 B=（ 2， 1）， 则 A B=（ 2， +）， 故选： A 2复数 z= 的共轭复数 为（ ） A 3 i B i C + i D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z，则答案可求 【解答】 解：由复数 z= = ， 得复数 z 的共轭复数 为： 故选： C 3 （ ） A B C D 【考点】 两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值 【分析】 利用两角和差的正弦公式，进行化简即可 【解答】 解： 15 45） = = ， 故选： C 4某算法的程序框图如图所示，则执行该算法后输出的结果为（ ） 第 6 页（共 20 页） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，进而找到此程序框图的功能是利用循环计算并输出 S= + + 的值，利用裂项求和法即可计算得解 S 的值 【解答】 解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是利用循环计算并输出 S= + 的值， 由于： S= + + =（ 1 ） +（ ） +（ ） =1 = 故选： B 5已知 0 ，则 1 是 （ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据同角的三角函数的关系和充分必要条件的定义即可判断 【解答】 解 ： 0 ， 1， 1， 0， 当 时， 0， 0， 0， 故 1 是 充分不必要条件， 故选： B 第 7 页（共 20 页） 6若非零向量 ， 满足（ ） ，则 的最大值为（ ） A B 1 C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据（ ） 得出（ ） =0，从而求出 | |= | |求的最大值 【解答】 解：非零向量 ， 满足（ ） ， （ ） =0， 即 =0， 即 = ； | |= | | 为 、 的夹角； = = ， 即 的最大值为 故选： D 7已知 是由曲线 y= 与 x 轴围成的封闭区域，若将质点 P（ x， y）投入区域 中，则 x y 的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 根据题意画出图形，结合图形求出对应图形的 面积比即可 【解答】 解：曲线 y= 与 x 轴围成的封闭区域为半圆，且半径为 2， 其面积为 S= 22=2； 其中点 P（ x， y）投入区域 且 x y 的面积为： S= 22= ，如图 所示； 所以，所求的概率为： P= = = 故选： A 第 8 页（共 20 页） 8明代程大位所著算法统宗中记载 “远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”这首古诗描述宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，总共有灯 381 盏，为这个塔顶层有几盏灯？（ ） A 2 盏 B 3 盏 C 4 盏 D 5 盏 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 设这个塔顶层有 a 盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前 n 项公式列出方程，求出 a 的值 【解答】 解：设这个塔顶层有 a 盏灯， 宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍， 从塔顶层依次向下每层灯数是以 2 为公比、 a 为首项的等比数列， 又总共有灯 381 盏， 381= =127a，解得 a=3， 则这个塔顶层有 3 盏灯， 故选 B 9球 O 的表面上有 3 个点 A、 B、 C，且 ， 外接圆半径为 1，则该球的表面积为（ ） A 6 B 10 C 12 D 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 根据 ，可得 两互相垂直， C=用 外接圆半径为 1，可求球 O 的半径，即可求得球的表面积 【解答】 解： ， 两互相垂直， C= 外接圆半径为 1，三角形的高为： B 第 9 页（共 20 页） 球的表面积为： =6 故选： A 10若变量 x， y 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A 0 B 1 C 3 D 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件 的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值 【解答】 解：满足约束条件 的可行域如下图中阴影部分所示： 的几何意义是区域内的点与（ 4， 4）连线的斜率， 的最大值在（ 3， 1）处取得，为 3， 故选： C 11一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） 第 10 页（共 20 页） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是一个半球挖去正四棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由球体、锥体体的积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个半球挖去正四棱锥所得的组合体， 且球的半径是 1，四棱锥底面是边长是 的正方形、高是 1， 该几何体的体积 V= = ， 故选： D 12已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l： 3x 4y=0 交椭圆 E 于 A， B 两点，若 |4，点 M 到直线 l 的距离不小于 ，则椭圆E 的离心率的 取值范围是（ ） A（ 0， B（ 0， C ， 1） D ， 1） 【考点】 直线与圆锥曲线的关系 【分析】 如图所示，设 F为椭圆的左焦点，连接 则四边形 平行四边形，可得 4=|+|2a取 M（ 0， b），由点 M 到直线 l 的 距离不小于 ，可得 ，解得 b 1再利用离心率计算公式 e= = 即可得出 【解答】 解：如图所示，设 F为椭圆的左焦点，连接 则四边形 平行四边形， 4=|+|2a， a=2 取 M（ 0， b）， 点 M 到直线 l 的距离不小于 ， ，解得 b 1 第 11 页（共 20 页） e= = = 椭圆 E 的离心率的取值范围是 故选： A 二、填空题 :本大题共 4 小题。每小题 5 分，共 20 分 . 13已知双曲线过点 且渐近线方程为 y= x，则该双曲线的标准方程是 【考点】 双曲线的标准方程 【分析】 设双曲线方程为 ，代入点 ，求出 ，即可求出双曲线的标准方程 【解答】 解：设双曲线方程为 ， 代入点 ，可得 3 =， = 1， 双曲线的标准方程是 故答案为： 14在 ， a， b， c 分别为内角 A， B， C 所对的边长，且 3 3b 2c） 3c b） 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 利用正弦定理化简已知的等式，再利用余弦定理把表示出 得出的等式整理后代入表示出的 ，从而可求出 值 【解答】 解：利用正弦定理 ， 化 简已知的等式得： 3a2=b（ 3b 2c） +c（ 3c b）， 整理得： a2=b2+ b2+a2= 由余弦定理得： = 第 12 页（共 20 页） 故答案为： 15已知变量 x 与 y 线性相关，且满足如下数据表： x 0 1 2 m y 1 2 6 n 若 y 与 x 的回归直线必经过点（ ， 4），则 m+n= 10 【考点】 线性回归方程 【分析】 先利用数据平均值的公式求出 x， y 的平均值，以平均值为横、纵坐标的点在回归直线上，即样本中心点在线性回归直线上代入，即可得出结论 【解答】 解： = = ， = = 线性回归方程所表示的直线必经过点（ = ， ）， y 与 x 的回归直线必经过点（ ， 4）， = ， =4， m=3， n=7， m+n=10 故答案为： 10 16已知函数 f（ x） =g（ x） = ，则 f（ x） g（ x）的零点个数是 4 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 由 f（ x） g（ x） =0 得 f（ x） =g（ x），利用函数与方程的关系转化为两个函数 f（ x）和 g（ x）的交点个数，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：由 f（ x） g（ x） =0 得 f（ x） =g（ x）， 作出函数 f（ x）和 g（ x）在 ， 3内 的图象， 由图象知两个函数有 4 个交点， 故函数 f（ x） g（ x）的零点个数是 4， 故答案为： 4 第 13 页（共 20 页） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答写出文字说明、证明或验算步骤 17已知函数 f（ x） =2 f（ x）的最小正周期及在区间 0， 上的最小值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 利用二 倍角的余弦公式变形，两角差的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出 f（ x）的最小正周期，由 x 的范围和正弦函数的图象与性质，求出 f（ x）在区间 0，上的最小值 【解答】 解：由题意得， f（ x） =2 （ 1 = = ， 由 T= 得， f（ x）的最小正周期是 ， 由 得， ， 则 ， 即 ， 所以 f（ x）在区间 0， 上的最小值是 18已知数列 前 n 项和为 任意 n N*满足 3 （ 1）求 通项公式； （ 2）若 cn=数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）当 n=1 时求得 ，当 n 2 时， n 1=221，整理得 1，数列 以 3 为首项，以 2 为公比的等比数列，根据等比数列通项公式求得 通项公式； （ 2）求得数列 通项公式，采用 “错位相减法 ”即可求得数列 前 n 项和 【解答】 解：（ 1）当 n=1， 1=23，解得 ， 当 n 2 时， 1=21 3 第 14 页（共 20 页） n 1=23 21+3， 1， 数列 以 3 为首项，以 2 为公比的等比数列； 2n 1； （ 2） cn=n2n 1， 数列 前 n 项和 （ 1 1+2 21+3 22+n2n 1） 2（ 1 2+2 22+3 23+n2n） 两式相减： （ 1+2+22+2n 1 n2n）， =3（ n2n）， =3（ 1 n） 2n 1， （ n 1） 2n+3 19为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对此班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 5 女生 10 合计 50 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 （ 1）请将上面的列联表补充完整； （ 2）是否有 把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （ 3）已知喜爱打篮球的 10 位女生中， 喜欢打羽毛球， 喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出 1 名进行其他方面的调查，求 全被选中的概率 下面的临界值表供参考： p（ k） k 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d） 【考点】 独立性检验 【分析】 （ 1）根据在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率，做出喜爱打篮球的人数，进而做出男生的人数，填好表格 （ 2）根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握说明打篮球和性别有关系 （ 3）从 10 位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各 1 名，其一切可能的结 果组成的基本事件有 5 3 2，而满足条件的事件 全被选中，通过列举得到事件数，求出概率 【解答】 解：（ 1） 在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 第 15 页（共 20 页） 在 50 人中，喜爱打篮球的有 =30， 男生喜爱打篮球的有 30 10=20， 列联表补充如下： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 （ 2） 有 把握认为喜爱打篮球与性别有关 （ 3）从 10 位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各 1 名， 其一切可能的结果组成的基本事件有 5 3 2=30 种，如下：（ （ （ （ （ （ （ （ 1， （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 1， （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 3， 基本事件的总数为 30， 用 M 表示 “全被选中 ”这一事件， 则其对立事件 表示 “被选中 ”这一事件， 由于 由（ （ （ （ （ 5 个基本事件组成， ， 由对立事件的概率公式得 20如图所示，四棱锥 S 底面 等腰梯形， 足为O，侧面 底面 ， ， ， ， M 为 中点 （ 1）求证 平面 （ 2）求三棱锥 B 体积 第 16 页（共 20 页） 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）根据面面垂直的性质得出 平面 据等腰梯形及对角线垂直计算出 B， C，故而 是 平面 （ 2）计算 出 S 是 M 【解答】 证明：（ 1） 梯形 等腰梯形， D= B= 34=32+ ， 平面 平面 面 面 D，且 ， 平面 =8， = B， C M 是 中点， 又 面 面 M=M， 平面 （ 2） M 是 中点， M 到平面 距离 h= = B+ ， ， S = M = = 第 17 页（共 20 页） 21在平面直角坐标系 ，以动圆经过点（ 1， 0）且与直线 x= 1 相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线 E （ 1）求曲线 E 的方程； （ 2）已知点 A（ 5， 0），倾斜角为 的直线 l 与线段 交（不经过点 O 或点 A）且与曲线 E 交于 M、 N 两点，求 积的最大值，及此时直线 l 的方程 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ 1）由抛物线的定义求得抛物线方程 （ 2）直线和圆锥曲线联立方程组，构造关于 m 的函数，利用导数求得最大值 【解答】 解：（ 1）由题意得圆心到（ 1， 0）的距离等于直线 x= 1 的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程为： x （ 2）由题意，可设 l 的方程为 y=x m，其中， 0 m 5 由方程组 ，消去 y，得 2m+4） x+， 当 0 m 5 时，方程 的判别式 =（ 2m+4） 2 46（ 1+m） 0 成立 设 M（ N（ 则 ， 又 点 A 到直线 l 的距离为 令 f（ m） =95m+25，（ 0 m 5） f（ m） =318m+15=3（ m 1）（ m 5），（ 0 m 5） 函数 f（ m）在（ 0， 1）上单调递增，在（ 1， 5）上单调递减 当 m=1 时， f（ m）有最大值