离散数学模型与实验

离散模型与实验 第七章 离散模型与实验 7 1截断切割 7 2锁具装箱 7 3钻井布局 7 4讨论题 7 1截断切割 7 1 1问题的提出这是1997年全国大学生数学建模竞赛的B题 问题如下 某些工业加工部门 经常需要从一个长方体中加工出一个尺寸已知 位置预定的长方体 设长方体的对应表面是平面 通常采用截断切割的加工方式 这里 截断切割 是指将物体沿某个切割平面分成两部分 因此 一般情况下 须经过6次截断切割 分别截去原长方体的前后 左右 上下6个方向多余的部分 设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍 且当先后两次垂直切割的平面不平行时 因调整刀具需额外费用e 显然 若截去各个多余小块的先后顺序不同 则加工费用不同 试设计一种确定最优加工次序的方法 使加工费用最少 用以下实例验证你的方法 待加工长方体与成品长方体的长 宽 高分别为10 14 5 19和3 2 4二者左面 前面 底面之间的距离分别为6 7 9 单位cm 垂直切割费用为1元 cm2 r和e的数据有以下4组 a r 1 e 0 b r 1 5 e 0 c r 8 e 0 d r 1 5 2 e 15 7 1 2模型假设及符号说明 1 假设水平工作台接触的长方体底面是事先指定的 2 假设第一次切割前调整刀具的费用不计 3 假设加工前后 两长方体对应的表面平行 4 假设垂直切割费用为1元 cm2 水平切割费用为r元 cm2 5 假设调整一次刀具的费用为e 6 假设总的加工费用为C 7 假设待加工长方体的长 宽 高分别为a b c 为常数 成品长方体的长 宽 高分别为A B C 也是常数 8 假设待加工长方体与成品长方体的左面 前面 后面 下面 上面之间的距离为且为常数 7 1 3问题分析及数学模型根据所给的实际问题 从一个长方体加工出一个尺寸位置预定的长方体 通常情况下 需要经过6次截断切割 如果我们假定这6个切割面分别位于左 右 前 后 下 下面 那么可将它们相应地编号为1 2 3 4 5 6 这样这6个数字的一个全排列代表着一种切割顺序 例如 排列123456代表的的切割顺序为 左前后右下上 我们将这6个数字的所有全排列记为集合S 即 因此问题转化为求总的切割费用C在S上的最小值问题 总的切割费用应包含二部分 一部分为加权的切割面积之和 另一部分是刀具调整费用之和 因此 数学模型为 其中 表示进行切割后 加工面的切割面积 为相应切割面的权 由题意有 为调整刀具的次数 7 1 4模型的分析及计算当e 0时 1 式成为 由于集合S为有限集 只有个元素 代表着720种切割方式 r给定 切割顺序固定则很容易计算出加工费用 比较出所有不同切割方式下的费用 便可得到最小费用下的切割方式 下面给出MATLAB计算程序 1 建立可行的加工顺序表 2 用穷举法求出720种切割方式下的费用 3 求最小费用及其对应的切割方式 在MATLAB编辑器中建立如下文件 截断切割ch711 文件名 ch711 ma0 1014 519 a1 324 d1 679 r 1 d2 a0 a1 d1 d d1 d2 d d 1 4 2 5 3 6 p 0 fori 1 6forj 1 6 if j i 0 fork 1 6 if k i k j 0 forl 1 6 if l i l j l k 0 form 1 6 if m i m j m k m l 0 forn 1 6 if n i n j n k n l n m 0 p p 1 x p ijklmn endendendendendend endendendendendf 112233 forp 1 720o x p cost 0 a a0 fori 1 6j o i aa a aa f j iff j 3cost cost r aa 1 aa 2 elsecost cost aa 1 aa 2 enda f j a f j d j endc p cost endminc min c find c minc minx x ans 执行后输出最小切割费用minc 374最优切割顺序minx 531642536142即当r 1 e 0时最优切割顺序有两条 它们分别是 下前左上后右 和 下前上左后右 最小切割费用为374元 当e 0时 模型为 1 式 即 由于垂直切割的方向有两个 因此至少调整一次刀具 而垂直切割共进行四次 故调整刀具的次数至多 于是额外费用有e 2e 3e 三种可能 所以我们把全体切割顺序按刀具的调整费用分类 共分三类 同类的刀具调整费用是相等的 故可先分别求出在e 0时每一类的最小费用及加工顺序 再将每一类的最小切割费用加上相应的刀具调整费用 便得到总的加工费用 从而比较各类加工顺序求出整体最优的加工顺序 下面给出MATLAB计算程序 1 计算出三类可行的加工顺序及相应的切割费用表 2 对每一个最小费用的切割顺序 与刀具调整费用结合考虑 3 求出总的费用最小时的切割顺序及调整刀具次数 截断切割ch712 文件名 ch712 mfunction minc minx1 minx2 minx3 cutorde a0 a1 d1 r minc inf inf inf minx1 minx2 minx3 k1 0 k2 0 k3 0 v1 123456 建立可行的加工顺序表x1 x2 x3及相应的切割费用表fori1 1 6 o1 v1 i1 v2 v1 v2 i1 fori2 1 5 o2 v2 i2 v3 v2 v3 i2 fori3 1 4 o3 v3 i3 v4 v3 v4 i3 fori4 1 3 o4 v4 i4 v5 v4 v5 i4 fori5 1 2 o5 v5 i5 o6 v5 3 i5 x o1 o2o3o4o5o6 c cost x a0 a1 d1 r z adjustnum x switchzcase1 k1 k1 1 x1 k1 x c1 k1 c case2 k2 k2 1 x2 k2 x c2 k2 c case3 k3 k3 1 x3 k3 x c3 k3 c endendendendendendminc min c1 min c2 min c3 find c1 minc 1 minx1 x1 ans find c2 minc 2 minx2 x2 ans find c3 minc 3 minx3 x3 ans 求切割费用的子函ch713 mfunctionc cost x a0 a1 d1 r c 0 d2 a0 a1 d1 a a0 forp 1 6switchx p case1 c c a 2 a 3 a 1 a 1 d1 1 case2 c c a 2 a 3 a 1 a 1 d2 1 case3 c c a 1 a 3 a 2 a 2 d1 2 case4 c c a 1 a 3 a 2 a 2 d2 2 case5 c c r a 1 a 2 a 3 a 3 d1 3 case6 c c r a 1 a 2 a 3 a 3 d2 3 endend 求调整刀具次数的子函数ch714 mfunctionz adjustnum x z 1 v0 0 forp 1 6ifx p 5ifx p 3v 1 elsev 2 endif v0 v 0z z 1 v0 v endendend 在窗口中输入主程序ch715 ma0 10 14 5 19 a1 3 2 4 d1 6 7 9 r 1 5 minc minx1 minx2 minx3 cutorde a0 a1 d1 r 执行后输出minc 442 5000456 5000437 5000minx1 354162minx2 135462minx3 315462351462 每一类的最小费用为 调整一次刀具 切割顺序为 354162调整二次刀具 切割顺序为 135462调整三次刀具 切割顺序为 315462351462在坐标系中 画出三条曲线l1 l2 l3 求出它们的交点 如图7 1 由图可得全体加工顺序中最小费用为 当时 最小费用为437 5 3e 对应的加工顺序为3 1 5 4 6 2和3 5 1 4 6 2 当时 最小费用为442 5 e 对应的加工顺序为3 5 4 1 6 2 图7 1 图7 1 7 1 5问题的进一步讨论在 1 式中 为不同的切割方式的总数 由于相邻二个平行面的次序交换并不影响总费用C 因此 由容斥原理可计算出可减少至426 同时考虑到切割面k到相应的边界面的距离 称为切割厚度 不失一般性 假定a1 a2 b1 b2 c1 c2 2 当 2 式不成立时 假定即可 其它的作类似处理 在 2 式成立时 只考虑S的一个子集 即只考虑1在2前 3在4前 5在6前的那些排列 这个子集中含有元素720 23 90 1 e 0时的优化方法这时的优化准则为 将排列成不增序列 相应的指标序列即为切割面的最优序列 在证明中 若假设r 1 否则在垂直方向作一个因子为1 r的变换 其切割面积和的最小化相当于原来的加权面积和最小化 因此在证明中便不妨假设同时考虑到e 0的情形 于是 1 式成立 3 其中 下面性质被称为相邻交换原则 设 此时假定第j个切割厚度大于或等于第k个切割厚度 将相邻加工面k与j交换后得 则对 3 式给出的函数 必有 4 这个原则也就说明了上述的优化准则了 这主要是因为 从任何一个最优解出发 如果第j个厚度最大 第j个切割面通过交换总可度调到第一个位置 由于 4 式保持为最优解 对于切割厚度次大者 也可以这样做 相邻交换原则的简单证明 设相应于切割方式中加工面j k的切割面积为 设相应于切割方式中加工面k j的切割面积为 由几何知识可得 5 其中为切割厚度 事实上 上式二者均等于在加工方式x 或 下加工面k与j被切割之前与切割之后的体积差 由 5 式移项得 由于 因此有 即 而与所含有的各项相同 从而便证明了结论 4 2 e 0时的优化方法用表达式 1 建立截断切割的数学模型之后 通常可采用分支定界法来求解 每一个分支相当于前面n个面的切割方式已经确定的情形 这时 后面n个面的切割面还可以用多种方式排列 相应费用的下界可以由二部分和组成 一部分为加权切割面的面积之和 它可以由e 0时的优化准则得到 另一部分为刀具的调整费用的下界 它为0或e 借助于e 0时的解来求e 0时的解 是一种较为简单的方法 当e 0时的最优解的调整刀具次数q x 为1时 x使 1 式中的C取最小值 当x的刀具调整次数q x 为2时 则只能断言 x使 1 式在所有刀具调整次数大于1的切割方式中达到最小 为求 1 式的整体最小 还应考虑刀具调整次数q x 为1的切割方式 由前面所述 不妨设 2 式成立 这时 可只考虑1在2前 3在4前 5在6前的那些切割方式 在刀具调整次数为1时 在那些切割方式中 加工面1 2 3 4的排列方式只可能是1 2 3 4与3 4 1 2 然后将加工面5与6按照相邻交换原则插入到适当的位置 可以得到几个候选的切割方式 它们相当于一定意义下的局部解 这些局部解与上述x组成候选解 比较所有的候选解 便得到e 0时的最优切割方式 由于按排列1 2 3 4的次序至多有2个单调下降段 可知加工面5与6按相邻单调下降方式插入时 至多可得到3个局部解 对排列3 4 1 2就是这样 所以q x 2时 候选解总数至多为3 3 1 7 当x的刀具调整次数q x 为3时 除了补充考虑刀具调整次数为1的切割方式外 还必须补充考虑刀具调整次数为2的切割方式 它们可由加工面5与6按照相邻交换原则插入到1 3 4 2与3 1 2 4 它们各具有2个单调下降段 二者的插入方式各不超过3 或者 二者之一具有3个单调下降段 而另一个则必定只有一个单调下降段 前者的插入方式不超过6 后者的插入方式为1 总数不超过7 所以候选解的总数不超过7 6 1 14 这样就很容易求出 0时的最优切割顺序 7 2锁具装箱 7 2 1问题的提出这是1994年全国大学生数学建模竞赛的B题 问题如下 某厂生产一种弹子锁具 每个锁具的钥匙有5个槽 每个槽的高度从 1 2 3 4 5 6 6个数 单位略 中任取一个数 由于工艺及其它原因 制造锁具时对5个槽的高度还有两个限制 至少有3个不同的数 相邻两槽的高度之差不能为5 满足以上条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批 从顾客的利益出发 自然希望在每批锁具中 一把钥匙开一把锁 但是在当前工艺条件下 对同一批中两个锁具是否能够互开 有以下试验结果 若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同 另一个槽的高度差为1 则能互开 在其它情况下 不可能互开 先前 销售部门随意地在一批锁具中取每60个装一箱出售 团体顾客往往购买几箱到几十箱 他们抱怨购得的锁具会出现互开的情形 现聘你为顾问 回答并解决以下的问题 1 每一批锁具有多少个 装多少箱 2 为销售部门提出一种方案 包括如何装箱 仍是60个锁具一箱 如何给箱子以标志 出售时如何利用这些标志 使团体顾客不再或减少抱怨 3 采取你提出的方案 团体顾客的购买量不超过多少箱 就可以保证一定不会出现互开的情形 4 按照原来的装箱办法 如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度 试对购买一 二箱者给出具体结果 7 2 2模型假设及符号说明 1 假设按工艺要求生产出的每个锁具都为合格品 没有因质量问题造成可以互开的情形 2 假设题中的试验互开的情况是唯一的 即只有当二个锁具相对应的5个槽的高度中的4个相同 另一个槽的高度差为1则能互开 否则不管什么情况 都不能互开 3 假设相邻槽高之差为5的锁具集合记为A n A 表示集合A中的元素个数 4 假设表示锁具第n个槽的高度 7 2 3问题分析及数学模型根据所给的实际问题 要对所生产的锁具进行分类 装箱 使同一箱中的锁具不能互开 在批量销售时尽可能地减少互开现象 从而减少团体顾客的抱怨 因为弹子锁具的钥匙有5个槽 每个槽的高度从 1 2 3 4 5 6 这6个数中任取一数 且对5个槽的高度必须满足两个条件 1 至少有三个不同的数 2 相邻两槽的高度之差不能为5 所以我们在求一批锁具的总数时 可以把问题化为三种情况 即5个槽的高度由5个不同数字组成 由4个不同数字组成 由3个不同数字组成 分别计算出各种情况的锁具个数 然后相加便得到一批锁具的总数 在分别求这三种情况的锁具个数时 先求出满足条件1 的锁具个数 再减去不满足条件2 的锁具个数 它等价于求出有5个槽 每个槽有6个高度的所有可能的个数 再减去不满足要求的锁具个数 对于只有5个槽 每个槽有6个高度的所有可能的个数为n1 6 7776 为求出一批锁具的个数 应从n1中减去不满足1 2 的锁具 只有一个槽高的锁具数目为只有二个槽高的锁具数目为对于相邻槽高之差为5的锁具 若记为集合A 则A可以分解为以下4种集合 或 或 或 或 其中 为1 2 3 4 5 6这6个数中任意一个 显然 则由集合论知识可知A中的锁具个数为 5个槽中只有两个槽高 且相邻高差为5的锁具个数为所以 我们得到一批锁具的个数为 7 2 4模型的分析与计算由上面的分析 显然 匀们只需计算出n A 即可 A1A2的槽高为 1 6 1 x1 x2 或 6 1 6 x1 x2 因此n A1A2 2 62 72 同理 n A2A3 n A3A4 72 A1A3的槽高为 1 6 1 6 x1 或 1 6 6 1 x1 或 6 1 1 6 x1 或 6 1 6 1 x1 因此 n A1A3 4 6 24 同理 n A1A4 n A2A4 24 A1A2A3的槽高为 1 6 1 6 x1 或 6 1 6 1 x1 因此 n A1A2A3 2 6 12 同理 n A2A3A4 12 A1A2A4的槽高为 1 6 1 1 6 或 1 6 1 6 1 或 6 1 6 1 6 或 6 1 6 6 1 因此 n A1A2A4 4 同理 n A1A3A4 4 A1A2A3A4的槽高为 1 6 1 6 1 或 6 1 6 1 6 因此 n A1A2A3A4 2 故而得到一批锁具的个数为 5880所以每批锁具有5880把 可以装98箱 下面给出MATLAB计算程序 算法 1 设5个槽高为 对它们从1到6进行循环 2 为除掉仅有一个槽高的情况 可以用进行判断 3 为除掉相邻高差为5的情况 可以用进行判断 4 为除掉只有二个槽高的情况 可以令 当时 令 否则当时 令 利用进行判断 锁具装箱ch72 文件名 ch72 mb2 0 o 0 g1 1 fora1 1 6fora2 1 6fora3 1 6fora4 1 6fora5 1 6g1 1 ifabs a1 a2 abs a2 a3 abs a3 a4 abs a4 a5 4 5 除掉高差为5的情况 g1 0 elseh1 a1 ifabs a1 a2 0 5h2 a2 elseifabs a2 a3 0 5h2 a3 elseifabs a3 a4 0 5h2 a4 elseifabs a4 a5 0 5h2 a5 end 除去只有二个高差的情况ifabs a3 h1 a3 h2 abs a4 h1 a4 h2 abs a5 h1 a5 h2 0 5g1 0 endend ifg1 1b2 b2 1 A a1 a2 a3 a4 a5 o o 1 BB o A 1 elseendendendendendendBBfprintf 个数一共有 b2 fprintf 箱数为 s ceil b2 60 savesy1BB执行后输出b2 5880s 98 7 2 5问题的进一步讨论 1 问题2 3的进一步讨论首先对锁具进行分类 当两个锁相对应的5个槽的高度中有4个相同 另一个槽的高度差为1时 它们可以互开 从下面的定理中可以看出它们的规律 定理 在一批锁具中 设能够互开的两锁具的槽高排列为和 其各槽高度之和和 必然具有不同的奇偶性 因为互开的两个锁具有四个槽高度相同 仅有一个槽高度差1 那么高度之和和必为两个相邻的自然数 而两个相邻的自然数中 必有一个为奇数 另一个为偶数 我们可将锁具按槽高之和H的奇偶分为两类 H为奇数的属于奇类 H为偶数的属于偶类 这样便可把能够互开的锁具分开 其次求解奇类和偶类中锁具的个数 对一个锁具的钥匙槽高的排列 可以用7分别减去每个高度 形成另一个与其对偶的排列 记原排列的高度和为 新排列的高度之和为 则有要使上式成立 H0 H1中必有一个偶数和一个奇数 而每一个奇 偶 类中的排列必能从偶数 奇数 类中找出与其对应的对偶排列 这种对偶关系是一一对应的 所以 奇类中锁具数 偶类中锁具数 5880 2 2940 基于以上讨论 我们有如下装箱方案 1 生产锁具过程中记录每个钥匙槽的高度 从而确定H的奇偶性 将生产出来的锁具分奇类和偶类 2 将奇类和偶类分别装为49箱并做 奇 和 偶 的标志 这样 销售部门可根据所做的 奇 偶 类标记 只选同类的箱子售给团体顾客 只要他们一次购得的箱数不超过49箱 就可以保证不会出现锁具互开的现象 2 问题4的进一步讨论对于顾客的抱怨程度 可以用每批锁具中平均每把锁互开对数来确定 由前面的分析可知 给箱子进行奇偶标志后再出售 只要顾客购买量k不超过49箱 就可以保证不出现互开的情况 顾客自然不会抱怨 当购买量k超过49箱时 可以 先从奇 偶 类锁具中取出49箱 再从偶 奇 锁具中任取k 49箱出售给顾客 互开对显然只产生在49箱奇 偶 类锁具与k 49箱偶 奇 类锁具之间 此时 k箱锁具中的平均互开对数为 对 当k 49时 E mk 0 此时顾客的抱怨被避免了 当49 k 98时 E mk 0 即为顾客的抱怨程度 7 3钻井布局 7 3 1问题的提出这是1999年全国大学生数学建模竞赛的B题 问题如下 已知勘探部门在某地区找矿 初步勘探时已在若干位置上钻井 取得了地质资料 进行系统勘探时期后 要在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位 进行 撤网式 全面钻探 由于钻一口井的费用很高 因此应尽量利用旧井 少打新井 设平面上有n个点Pi 其坐标为 I 1 2 n 表示已有的n个井位 新布置的井位是一个正方形网格N的所有结点 指每个格子都是正方形网格 结点是指纵与横线的交叉点 假定每个格子边长 井位的纵横间距 都是非曲直单位 整个网格是可以在平面上任意移动 若一个已知点Pi与某个网格点xi的距离不超过给定误差e 0 05单位 则认为Pi处的旧井资料可以利用 不必在结点xi处新打井了 为进行辅助决策 勘探部门要求我们研究如下问题 1 假定网格的横向和纵向是固定的 比如东西和南北向 并规定两点间的距离为其横向距离 横坐标之差绝对值 及纵向距离 纵坐标之差绝对值 的最大值 在平面上平行移动网格N 使可利用的旧井数尽可能大 试提供数值计算方法 并对下面的数值例子用计算机进行计算 2 在欧氏距离的误差意义下 考虑网格的横向不固定 可以旋转 的情形 给出算法及计算的结果 3 如果有n口井 给出判定这些井均可以利用的条件和算法 你可以任意选定一种距离 数值例子 n 12个点的坐标如下表示 7 3 2模型假设及符号说明 1 假设n口旧井都可以进行生产 没有废弃的井 2 假设在一定的范围内 任何地点钻新井都可以产油 3 假设钻新井的费用只与井口数有关 与其它条件无关 4 假设在某直角坐标系下 旧井位置 5 假设网格N中离直角坐标系原点O最近的结点坐标为 s t 6 假设 表示Pi与网格结点xi的距离误差 7 假设 e 表示e的取整 8 假设网格的旋转角度为 7 3 3问题分析及数学模型 网格横向和纵向均固定的情况对于给定的直角坐标系Oxy 已知Pi点的坐标为 ai bi 1 i n 而在网格N中 由假设已知 离坐标原点O最近的结点为 s t 于是 且对于网格N中的任一结点可表示为 其中x y都为整数 那么问题转化为对于给定的网格N的设计参数s t 如何计算可利用旧井数目问题 已知点Pi与结点xi的距离误差是沿坐标轴方向的 由题意可知Pi与xi的距离应小于或等于 即要求正方形邻域 中存在结点时 旧井Pi才可以利用 否则不能利用 若设表示旧井Pi可以利用 则此时 否则 上述过程可以用模型表示为 1 其中INT表示向方向取整 若设可利用旧井数为f s t 则 2 问题归结为当 时求f s t 的极大值问题 将s t的取值离散化 对满足 1 式的i进行计数 可求得 2 式的值 对于网格横向不固定的情况首先我们考虑用欧氏距离表示误差 而网格N不旋转的情况 由题意可知 当且仅当圆形领域内存在结点 时 结点Pi才可以利用 此时仍记 否则 而此时的圆形邻域含于问题1的正方形邻域之中 而唯一可能含于正方形邻域中的结点是因此 旧井Pi才可以利用的条件为 此时 所以旧井可以利用的个数为 对于网格可以旋转的情况原坐标系Oxy 旋转一角度 得到新坐标系为 其中轴与轴的夹角为 0 由坐标旋转公式 可得点Pi在新坐标系下的坐标为 3 此处坐标原点O不一定是网格N的结点 假设在坐标系中 网格N中距离原点最近的结点为 s t 则 于是网格N的设计参数就是 s t 对 的取值范围 离散化 对每个 的值 运用公式 3 计算出各点Pi的新坐标 然后再用上面的方法 进行搜索求解 3 对于n口井均可以利用的情况不防假设指定的井就是Pi i 1 2 n 则符合题意的网格N 应满足 4 其中及满足 3 式 z为整数集合 而对于 4 式有解的条件为 由于它们的形式一样 所以这里我们只研究其中一组 如 对于 由于 故而 其中 当 0 25时 有 因此 整数变量至多有两个可能值 参数s的取值范围 可从下面的命题中看出 命题 当且仅当如下二者之一成立时 不等式组 有解 证明 若 成立 则可取若 成立 则可取反之 设 有解 xi 及s 若s 0 则可知事实上 若 则自然有 否则 注意 由 可知 即 因此 从而条件 成立 同理 若s 0 则可断言 从而条件 成立 基于上述命题 可得判定不等式组 3 4 是否有解的算法 基本步骤是 过程 对计算若或 输出 有解 否则输出 无解 算法 1 对 的取值范围 离散化 令j 0 2 对 按公式 3 算出Pi的坐标 i 1 2 n 3 执行过程 若无解 则转5 若有解 则记录 4 执行过程 若无解 则转5 若有解 则记录 转6 5 若j m 则终止 问题无解 否则令j j 1 转2 6 输出 s t 终止 问题有解 7 3 4模型分析及计算由于问题 1 中要只要求沿着横向和纵向移动网格 因此可按步长为0 025 或以更小的步长 单位进行移动 由于给定的已知井位均位于第一条限 所以在平移时把网格向负方向移动即可 问题 2 中要求网格的横向不固定 可以旋转搜索 此时可把直角坐标系转化为极坐标系 点的位置由极角和极径给出 利用对角度 以0 5 步长进行搜索 从而转化为问题 1 进行求解 下面给出问题 1 2 的MATLAB计算程序 钻井布局ch73 文件名 ch73 mdianxy 0 5 1 41 3 3 37 3 4 4 72 4 72 5 43 7 57 8 38 8 98 9 5 2 3 5 1 5 3 51 5 5 2 6 24 4 1 2 01 4 5 3 41 0 8 wce 0 05 jnum jno ydian zjing dianxy wce jnum jno ydian jiao zjing2 dianxy wce function jnum jno ydian zjing dianxy wce jnum 0 ttdiannum size dianxy 2 diany dianxy 2 开始搜索ch731 mfori 0 wce 2 1dianxy 1 dianxy 1 i dianxy 2 diany forj