2018—2019学年北京八中第一学期高三期中考试数学理科试题解析版.docx

20182019学年北京八中第一学期高三期中考试数学（理科）试题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1已知m,nR, 集合A = 2, log7m, 集合B =m, n,若AB =0, 则m + n =A0 B1 C7 D82已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|=2|AF|，则AFK的面积为A4 B8 C16 D323“x0”是“x+sinx0”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4函数fx=x-1xcosx（-x且x0）的图象可能为A B C D5在ABC中, M是BC的中点, AM = 3, 点P在AM上, 且满足AP=2PM, 则 PA(PB+PC)的值为A4 B2 C2 D46如图，点O为坐标原点，点A(1,1)，若函数y=ax（a0，且a1）及y=logbx（b0，且b1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足Aab1 Bbaa1 Dab17已知f(x)=1x-1,x1,lnx,0x1,若函数g(x)=f(x)-kx+k只有一个零点，则k的取值范围是A(-,-1)(1,+) B(-1,1) C0,1 D(-,-10,18设f(x)=asin2x+bcos2x，其中a,bR，ab0，若f(x)|f(6)|对一切xR恒成立，则下列结论正确的是f(1112)=0；函数y=f(x)既不是奇函数也不是偶函数；f(x)的单调递增区间是k+6,k+23 (kZ)；存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交A B C D二、填空题9在极坐标系中,圆=2的圆心到直线cos+sin=2上的动点的距离的最小值为_.10若双曲线x2+y2m=1的一条渐近线的倾斜角为60，则m=_11已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0，l2:x+ay+2=0若l1l2，则实数a的值是 12若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件x+y-30x-2y-30xm，则实数m的取值范围 .13如图，线段AB=2，点A，B分别在x轴和y轴的非负半轴上运动，以AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，BC=1设O为原点，则OCOD的取值范围是_14对于函数y=f(x)，若在其定义域内存在x0，使得x0f(x0)=1成立，则称函数f(x)具有性质P（1）下列函数中具有性质P的有_f(x)=-2x+22 f(x)=sinx(x0,2)f(x)-x+1x,(x(0,+) f(x)=ln(x+1)（2）若函数f(x)=alnx具有性质P，则实数a的取值范围是_三、解答题15某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）（1）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（2）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望16函数f(x)cos(x)0 f (x); （）若x1 (0, 1), x2(1, +), 且 f (x1) = f (x2), 求证: x1 + x2 2.19已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上的点到它的两个焦的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点（1）求圆O和椭圆C的方程（2）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N求证：MQN为定值20将所有平面向量组成的集合记作R2, f是从R2到R2的映射, 记作y=f(x)或(y1,y2)=f(x1,x2), 其中x1,x2,y1,y2都是实数. 定义映射f的模为: 在|x|=1的条件下|y|的最大值, 记做f. 若存在非零向量xR2, 及实数使得f(x)=x, 则称为f的一个特征值. （）若f(x1,x2)=(12x1,x2), 求f; （）如果f(x1,x2)=(x1+x2,x1-x2), 计算f的特征值, 并求相应的x; （）试找出一个映射f, 满足以下两个条件: 有唯一的特征值, f=|. (不需证明)20182019学年北京八中第一学期高三期中考试数学（理科）试题数学 答 案参考答案1B【解析】【分析】根据AB=0，得出log7m=0，求出m的值，从而得出n的值，再求出m+n的值【详解】根据A=2，log7m，B=m，n，且AB=0，得log7m=0，解得m=1；n=0，m+n=1+0=1故选：B【点睛】本题考查了集合交集的定义与应用问题，是基础题目2B【解析】试题分析：解：F（2，0）K（-2，0），过A作AM准线，则|AM|=|AF|，|AK|=2|AM|，AFK的高等于|AM|，设A（m2，22m）（m0）则AFK的面积=422m12=42m又由|AK|=2|AF|，过A作准线的垂线，垂足为P，三角形APK为等腰直角三角形，所以m=2AFK的面积=422m12=8故答案为B考点：抛物线的简单性质点评：本题主要考查了抛物线的简单性质考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握3C【解析】令f(x)=x+sinx，则f(x)=1+cosx0，f(x)单调递增，且f(0)=0，“x0”是”x+sinx0”的必要条件故选C4A【解析】 由f(-x)=(-x+1x)cos(-x)=-(x-1x)cosx=-f(x)，所以函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称，故排除C,D；当x=时，f()=(-1)cos=1-0，排除B，故选A.5D【解析】【分析】由平行四边形法则，可得PB+PC=2PM又AP=2PM，可得AP=23AM，PM=13AM代入PA(PB+PC)即可得出【详解】由平行四边形法则，可得PB+PC=2PM=AP，AP=23AM，PM=13AMAM=3，PA(PB+PC)=23AM23AM=-49AM2=4932=4故选：D【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量的平行四边形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6A【解析】由图象可以知道，函数均为减函数，所以0a1，0b0，且b0）的图象经过点N，根据对数函数的图象和性质可知：ab，aba2+b2，平方得b2a2+b2矛盾，故假设不成立，所以经过点(a,b)的所有直线均与函数y=f(x)的图象相交，故不正确考点：三角函数的图象变换、两角和与差的正弦函数9C.【解析】解：在极坐标系中，圆=2x2+y2=4的圆心（0,0）到直线cos+sin=2即为x+y=2的距离为10-3【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为y=-mx，其中一条渐近线的倾斜是60，-m=3，故m=-3110或3【解析】试题分析：由题意得：考点：直线位置关系12(-,1【解析】试题分析：由题意，由y=2xx+y-3=0，可求得交点坐标为(1,2)，要使直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件x+y-30,x-2y-30,xm,，如图所示，可得m1，则实数m的取值范围(-,1考点：线性规划131,3【解析】解：如图令OAB=，由于AB=2故0A=2cos，OB=2sin，如图DAX=2-，BC=1，故xD=2cos+cos（2-）=2cos+sin，yD=sin（2-）=cos故OB=（2cos+sin，cos）同理可求得C（sin，cos+2sin），即OC=（sin，cos+2sin），OBOC=（cos+2sin，cos）（sin，2cos+sin）=2+sin2，OBOC=（cos+2sin，cos）（sin，2cos+sin）=2+sin2，OBOC的最大值是3，最小值是1，故答案是：1，314（1）（2）a0或a-e【解析】试题分析：（1）在 x0时，f（x）=1x有解，即函数具有性质P，令-2x+22=1x，即-2x2+22x-1=0=8-8=0，故方程有一个非0实根，故f（x）=-2x+22具有性质P；f（x）=sinx（x0，2）的图象与y=1x有交点，故sinx=1x有解，故f（x）=sinx（x0，2）具有性质P；令x+1x=1x，此方程无解，故f（x）=x+1x，（x（0，+）不具有性质P；综上所述，具有性质P的函数有：，（2）f（x）=alnx具有性质P，显然a0，方程 xlnx=1a有根，g（x）=xlnx的值域-1e，+）1a-1e解之可得：a0或 a-e考点：本题考查方程和函数的综合点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大15（1）4960；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）求得所有基本事件的种数以及符合题意的基本事件种数，利用古典概型从而求解；（2）求得X=0，1，3时的概率，得到分布列后即可求解期望试题解析：（1）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则P(A)=C31C72+C30C73C103=4960，选出的3名同学来自班级的概率为4960；（2）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，则P(X=0)=C30C73C103=724；P(X=1)=C31C72C103=2140；P(X=2)=C32C71C103=740；P(X=3)=C33C70C103=1120，随机变量X的分布列是X0123P72421407401120随机变量X的数学期望E(X)=0724+12149+2740+31120=910考点：1随机变量的概率分布及其期望；2古典概型16（1）=6，x0=53；（2）见解析【解析】试题分析：（1）将点0,32代入，由已给条件可求得=6；由cosx0+6=32并结合图象可求得x0=53.（2）由（1）可得到f(x)+fx+13=3cosx+3，由x-12,13，得-6x+323，可得在x+3=0和x+3=23时，函数g(x)分别取得最大值和最小值。试题解析：（）图象过点0,32，cos=32，又02，=6，由cosx0+6=32，得x0=2k或x0=-13+2k，kz，又f(x)的周期为2，结合图象知0x02，x0=53（）由题意可得fx+13=cosx+13+6=cosx+2=-sinx，f(x)+fx+13=cosx+6-sinx=cosxcos6-sinxsin6-sinx=32cosx-12sinx-sinx=32cosx-32sinx=3cosx+3，x-12,13，-6x+323，当x+3=0，即x=-13时，f(x)取得最大值3，当x+3=23，即x=13时，g(x)取得最小值-32点睛:三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.17（1）y = 0 或 x 2y + 2 = 0 （2）(6, +)【解析】【分析】（1）当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=0；当直线l的斜率不为0时，设直线方程为y=k（x+2），联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0求得k值，则直线方程可求.（2）联立联立y=k(x+2)y2=4x，得k2x2+（4k24）x+4k2=0，利用判别式大于0求得k的范围，再由抛物线的焦半径公式及根与系数的关系可得x1+x2=4-4k2k2则|FA|+|FB|的取值范围可求【详解】（1）如图，当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=0；当直线l的斜率不为0时，设直线方程为y=k（x+2），联立y=k(x+2)y2=4x，得k2x2+（4k24）x+4k2=0由=（4k24）216k4=32k2+16=0，解得k=22直线方程为y=22(x+2)综上，若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，直线l的方程为：y=0或y=22(x+2)；（2）联立联立y=k(x+2)y2=4x，得k2x2+（4k24）x+4k2=0设A（x1，y1），B（x2，y2）当k0时，由=32k2+160，得22k2222k0或0k22x1+x2=4-4k2k2|FA|=x1+p2=x1+1，|FB|=x2+p2=x2+1，则|FA|+|FB|=x1+x2+2=4-4k2k2+2=-2+4k2，0k212，1k22，则2+4k26|FA|+|FB|的取值范围是（6，+）【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题18（1）在(-,1)内是增函数, 在(1,+)内是减函数.在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1e（2）见解析(3)见解析【解析】【分析】（）直接利用函数的导数，求出极值点，判断导函数的符号，即可求函数f（x）的单调区间及极值；（）令g（x）=f（x）f（2x）求出g（x）=（x1）（e2x21）ex，通过x1，判断g（x）在1，+）上是增函数，即可证明当x1时，f（x）f（2x）；（）因为x1，x2分别在（0，1）和（1，+）利用函数的关系式，证明x1+x22【详解】解：f(x)=（1x）ex令f(x)=0，则x=1当x变化时，f(x)，f（x）的变化情况如下表：x（，1）1（1，+）f(x)+0f（x）极大值f（x）在（，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数f（x）在x=1处取得极大值1e；（）证明：令g（x）=f（x）f（2x）则g（x）=xex（2x）ex2g（x）=（x1）（e2x21）ex当0x1时, 2x-20,从而e2x-2-10所以g(x)0,从而函数g(x)在(0,1)是增函数.ex0，g（x）0，g（x）在1，+）上是增函数又g（1）=00x1时,g（x）g（1）=0即当0x1时，f（x）f（2x）() 证明:0x11由()得:f(x1)f(2-x1) f(x1)=f(x2)f(x2)2-x1即x1+x22【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性的判断极值的求法，考查分析问题解决问题的能力19（1）x2+y2=2；x24+y22=1；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义知2a=4，又b=c，因此易求得a,b，得椭圆方程，从而也得到圆的方程；（2）设出P(x0,y0)，Q(x1,y0)，分别代入椭圆方程和圆的方程得到两个关系式，写出直线AP的方程，求出M点坐标，同理写出BP方程，求出N点坐标，再求得向量QM,QN，并计算数量积QMQN，结果为0，可得MQN=90试题解析：（1）依题意2a=4b=ca2=b2+c2，得a=2，b=c=2，圆方程x2+y2=2，椭圆C方程x24+y22=1（2）设P(x0,y0)，Q(x1,y0)，x024+y022=1，x12+y02=2，y00，AP方程y=y0x0+2(x+2)，令x=0时，M0,2y0x0+2，BP方程为y=y0x0-2(x-2)，令x=0得N0,-2y0x0-2，QM=-x1,2y0x0+2-y0，QN=-x1,2y0x0-2-y0，QMQN=x12+x02y02x02-4=2-y02+(4-2y02)y02-2y02=0，MQN=90点睛：“设而不求”是解题过程中根据需要设邮变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系（如和、差、积）来表示变量之间的联系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到种“化难为易、化繁为简”的效果，在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，步骤一般如下：（1）设直线方程y=kx+b与椭圆为mx2+ny2=1的两个交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)；（2）联立直线与椭圆的方程组成方程组，消元得一元二次方程；（3）利用韦达定理得x1+x2,x1x2，y1+y2,y1y2，然后再求弦长以及面积，或求其他量（如本题向量的数量积）20（1）1（2）=2 ,x=m(2+1,1), =-2, x=m(1-2,1) (3)见解析.【解析】【分析】（1）由新定义可得y12+y22=14x12+x22，利用x12+x22=1，可得y