2016年山西省名校联考高考理科数学押题卷(5月份)含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年山西省省际名校联考高考数学押题卷（理科）（ 5 月份） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1若 i 是虚数单位， 是 z 的共轭复数，若 z= ，则 | |为（ ） A B C D 1 2设集合 A=x|，集合 B=x| 则 A B 等于（ ） A R B 0， +） C（ 0， +） D 3在各项均为正数的等比数列 ， ，则 a4+ ） A有最小值 6 B有最大值 6 C有最大值 9 D有最小值 3 4设 a， b， c 为 三边长，若 c2=a2+ ，则 B 的大小为（ ） A B C D 5如图给出的是计算 + + + + 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ） A i 4030？ B i 4030？ C i 4032？ D i 4032？ 6现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，问这样的分法有（ ）种 A 36 B 9 C 18 D 15 7某四棱锥的 三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ） 第 2 页（共 21 页） A B 34 C D 17 8 M 是 在平面上一点，满足 + + =2 ，则 为（ ） A 1： 2 B 1： 3 C 1： 1 D 1： 4 9下列说法错误的是（ ） A若 a， b R，且 a+b 4，则 a， b 至少有一个大于 2 B若 p 是 q 的充分不必要条件，则 p 是 q 的必要不充分条件 C若命题 p： “ 0”，则 p： “ 0” D ， A 是最大角，则 钝角三角形的充要条件 10在三棱柱 底面 ，则 成的角的大小为（ ） A 60 B 90 C 105 D 75 11已知定义在 R 上的函数 f（ x）满足 x） f（ x） 0，当 0 m n 1 时，下面选项中最大的一项是（ ） A B f（ C D f（ 12过双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点 F 作渐近线的垂线，设垂足为 P（ P 为第一象限的点），延长 抛物线 p 0）于点 Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若 = （ + ），则双曲线的离心率的平方为（ ） A B C +1 D 二、填空题（每题 5 分， 满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知抛物线的方程为 2y=该抛物线的准线方程为 14由直线 x= ， y=x，曲线 y= 所围成封闭图形的面积为 15若将函数 f（ x） =（ x 1） 7 表示为 f（ x） =a0+x+1） +x+1） 2+x+1） 7，其中（ R， i=0， 1， 2， ， 7）为实数，则 于 16已知数列 ，且 1 1（ n 2， n N*），记 bn=1，数列前 n 项和为 满足不等式 成立的最大正整数 n 为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17在 ，内角 A， B， C 所对边长分别是 a， b， c，已知 c=2， C= （ 1）若 面积等于 ，求 a， b； 第 3 页（共 21 页） （ 2）求 +a 的最大值 18某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出 300 人进行统计其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的 60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的 75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有 120 人 （ 1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的 2 2 列联表： 对教师管理水平好评 对教师管理水平不满意 合计 对教师教学水平好评 对教师教学水平 不满意 合计 问：是否可以在犯错误概率不超过 前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关、 （ 2）若将频率视为概率，有 4 人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量 X； 求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数 X 的分布列（概率用组合数算式表示）； 求 X 的数学期望和方差 P（ K2k） k ，其中 n=a+b+c+d） 19如图，已知四棱锥 S 面 边长为 4 的等边三角形，底面菱形，侧面 底面 成的二面角为 120 （ 1）求点 S 到平面 距离； （ 2）若 E 为 中点，求二面角 A C 的正弦值 20已知 别为椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右两个焦点，椭圆上点 M（ ， ）到 点的距离之和等于 4 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）已知过右焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于点 N（点 N 在第一象限）， E， F 是椭圆C 上的两个动点，如果 ，证明直线 斜率为定值，并求出这个定值 21设函数 f（ x） = 第 4 页（共 21 页） （ 1）求函数 f（ x）在 0， 2上得单调区间； （ 2）当 m=0， k R 时，求函数 g（ x） =f（ x） R 上零点个数 选修 4何证明选讲 22 等腰直角三角形 的中线， 点 M，延长 点 N， 点 F， 于点 E （ 1）求证； （ 2）求证： 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴非负半轴 为极轴，建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为： 6，直线 l 的参数方程为： （ t 为参数），l 与 C 交于 点 （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程及 l 的普通方程； （ 2）已知 3， 0），求 | |的值 选修 4等式选讲 24函数 f（ x） =|x| 2|x+3| （ 1）解不等式 f（ x） 2； （ 2）若存在 x R 使不等式 f（ x） |3t 2| 0 成立，求参数 t 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2016 年 山西省省际名校联考高考数学押题卷（理科）（ 5月份） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1若 i 是虚数单位， 是 z 的共轭复数，若 z= ，则 | |为（ ） A B C D 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求得答案 【解答】 解： z= = ， | |=|z|= 故选： A 2设集合 A=x|，集合 B=x| 则 A B 等于（ ） A R B 0， +） C（ 0， +） D 【考点】 并集及其运算 【分析】 先化简集合 A， B，再根据集合的并集的定义即可求出 【解答】 解：由 = ，得到 x ， A=（ ， +）， 由 得到 0 x ， B=（ 0， ， A B=（ 0， +）， 故选： C 3在各项均为正数的等比数列 ， ，则 a4+ ） A有最小值 6 B有最大值 6 C有最大值 9 D有最小值 3 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由题意设出等比数列的公比，把 公比 表示，然后利用基本不等式求得答案 【解答】 解：设等比数列 公比为 q（ q 0）， ， ， a4+ 第 6 页（共 21 页） 当且仅当 q=1 时上式等号成立 故选： A 4设 a， b， c 为 三边长，若 c2=a2+ ，则 B 的大小为（ ） A B C D 【考点】 余弦定理 【分析】 由 c2=b2+得 由 ，化为 2 = ， A，解得 A即可得出 B 【解答】 解： c2=b2+ ， 2 = ， A ， A+ = ，解得 A= 则 B= = 故选： D 5如图给出的是计算 + + + + 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ） A i 4030？ B i 4030？ C i 4032？ D i 4032？ 【考点】 程序框图 【分析】 程序的功能是求 S= + + + + 的值，且在循环体中， S=S+ 表示，每次累加的是的值，故当 i 4032 应满足条件进入循环，进而得到答案 第 7 页（共 21 页） 【解答】 解： 程序的功能是求 S= + + + + 的值， 且在循环体中， S=S+ 表示，每次累加的是的值， 故当 i 4032 应满足条件进入循环， i 4032 时就不满足条件 分析四个答案可得条件为： i 4032， 故选： C 6现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，问这样 的分法有（ ）种 A 36 B 9 C 18 D 15 【考点】 计数原理的应用 【分析】 由敌意分为两类第一类，先选 1 人得到两本语文书，剩下的 2 人各得一本，第二类，先选 1 人得到一本语文书和一本数学书，其余两人各一本语文书，根据分类计数原理可得 【解答】 解：第一类，先选 1 人得到两本语文书，剩下的 2 人各得一本，有 种， 第二类，先选 1 人得到一本语文书和一本数学书，其余两人各一本语文书，有 种， 根据分类计数原理可得， 6+3=9 种， 故选： B 7某四棱锥的三视图如图所示，则该四 棱锥外接球的表面积是（ ） A B 34 C D 17 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是一个四棱锥，并画出对应的长方体，由三视图求出几何元素的长度，由长方体求出外接球的半径，由球体的表面积公式求出该四棱锥外接球的表面积 【解答】 解：根据三视图 可知几何体是一个四棱锥 P 图： 且四棱锥 P 长方体的一部分， 、 D=3， 该四棱锥和正方体的外接球相同，设外接球的半径是 R， 则 2R= = ， R= ， 该四棱锥外接球的表面积 S=44， 故选： B 第 8 页（共 21 页） 8 M 是 在平面上一点，满足 + + =2 ，则 为（ ） A 1： 2 B 1： 3 C 1： 1 D 1： 4 【考点】 向量的线性运算性质及几何意义 【分析】 如图所示，由 + + =2 ，可得 + + =2 ，化为： = ，因此 3C， 利用三角形面积计算公式即可得出 【解答】 解：如图所示， + + =2 ， + + =2 ， 化为： = ， 3C， 则 = = 故选： C 9下列说法错误的是（ ） A若 a， b R，且 a+b 4，则 a， b 至少有一个大于 2 B若 p 是 q 的充分不必要条件，则 p 是 q 的必要不充分条件 C若命题 p： “ 0”，则 p： “ 0” D ， A 是最大角，则 钝角三角形的充要条件 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 A利用反证法进行证明 B根据充分条件和必要条件的定义结 合逆否命题的等价性进行判断 第 9 页（共 21 页） C根据命题的否定进行判断 D根据正弦定理和余弦定理进行判断 【解答】 解： A若 a， b 至少有一个大于 2 不成立，则都不大于 2，则 a 2， b 2，则 a+b 4，与 a+b 4 矛盾，故假设不成立，则若 a， b R，且 a+b 4，则 a， b 至少有一个大于2 正确， B若 p 是 q 的充分不必要条件，则 q 是 p 的充分不必要条件，即 p 是 q 的必要不充分条件，正确， C若命题 p： “ 0”，则 p： “ 0 或 x 1=0”，故 C 错误， D ， A 是最大角，则 b2+ 0，则 A 是钝角，则 钝角三角形， 若 钝角三角形， A 是最大角， A 是钝角，则 0，即 b2+ 立，即 钝角三角形的充要条件正确， 故选： C 10在三棱柱 底面 ，则 成的角的大小为（ ） A 60 B 90 C 105 D 75 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 根据条件可作出图形，并且得到 1B，根据向量的加法及数乘的几何意义便可得到 ， ，从而可求得 ，这样即可得出 成角的大小 【解答】 解：如图，根据条件， 1B； 又 ， ； ； ； 成的角的大小为 90 故选： B 第 10 页（共 21 页） 11已知定义在 R 上的函数 f（ x）满足 x） f（ x） 0，当 0 m n 1 时，下面选项中最大的一项是（ ） A B f（ C D f（ 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 通过构造新函数构造函数 F（ x） =x）得出 F（ x）在 R 上是增函数，得到 m）最大，从而得出答案 【解答 】 解：构造函数 F（ x） = ， x） f（ x） 0， 则 F（ x） = 0， 即 F（ x）在 R 上是增函数， 又由 0 m n 1，知 1， 而 n） m） =1， m） n） =1， 故在 n）， m）中 m）最大， 故 F（ m） =f（ 大 故选： B 12过双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点 F 作渐近线的垂线，设垂足为 P（ P 为第一象限的点），延长 抛物线 p 0）于点 Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若 = （ + ），则双曲线的离 心率的平方为（ ） A B C +1 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由 = （ + ），可得 P 为 中点，设 F（ c， 0），一条渐近线方程和垂直的垂线方程，求得交点 P 的坐标，由中点坐标公式可得 Q 的坐标，代入抛物线的方程，结合离心率公式，解方程可得所求值 第 11 页（共 21 页） 【解答】 解：由 = （ + ），可得 P 为 中点， 设 F（ c， 0），由渐近线方程 y= x， 可设直线 方程为 y= （ x c）， 由 解得 P（ ， ）， 由中点坐标公式可得 Q（ c， ）， 代入抛物线的方程可得 =2p（ c）， 由题意可得 c= ，即 2p=4c， 即有 ， 由 e= 可得 1=0， 解得 故选： D 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知抛物线的方程为 2y=该抛物线的准线方程为 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 先根据抛物线的标准方程得到焦点在 y 轴上以及 2p，再直接代入即可求出其准线方程 【解答】 解：因为抛物线的标准方程为： y，焦点在 y 轴上； 所以： 2p=2，即 p=1， 所以准线方程 y= = 故答案为： 14由直线 x= ， y=x，曲线 y= 所围成封闭图形的面积为 【考点】 定积分在求面积中的应用 【分析】 先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示面积，即可求得结论 【解答】 解：由 ，解得 x=1， y=1， 第 12 页（共 21 页） 直线 x= ， y=x，曲线 y= 所围成封闭图形的面积为 S= （ x） =（ ）（ ） =， 故答案为： 15若将函数 f（ x） =（ x 1） 7 表示为 f（ x） =a0+x+1） +x+1） 2+x+1） 7，其中（ R， i=0， 1， 2， ， 7）为实数，则 于 280 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 根据题意可得 于 2+（ x+1） 7 的展开式中（ x+1） 4 的系数，再利用二项展开式的通项公式求得 值 【解答】 解：将函数 f（ x） =（ x 1） 7= 2+（ x+1） 7 表示为 f（ x） =a0+x+1） +x+1）2+x+1） 7， 其中（ R， i=0， 1， 2， ， 7）为实数，则 于（ x+1） 4 的系数， （ 2） 3= 280， 故答案为： 280 16已知数列 ，且 1 1（ n 2， n N*），记 bn=1，数列前 n 项和为 满足不等式 成立的最大正整数 n 为 7 【考点】 数列的求和 【分析】 先根据递推公式求出数列 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列，求出 求出 据裂项求和求出 解不等式即可 【解答】 解： 1 1， =1， 第 13 页（共 21 页） ， =1， 数列 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列， =1+n 1=n， 即 ， 当 n=1 是成立， bn=1= = （ ）， Tn=b1+（ 1 + + ） = （ 1 ） = ， ， （ 1 ） ， 2n+1 17， 即 n 8， 满足不等式 成 立的最大正整数 n 为 7， 故答案为： 7 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17在 ，内角 A， B， C 所对边长分别是 a， b， c，已知 c=2， C= （ 1）若 面积等于 ，求 a， b； （ 2）求 +a 的最大值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由 c=2， C= ，利用余弦定理可得： a2+，根据三角形的面积，联立方程组解出即可得出 （ 2）利用正弦定理、和差公式、三角函数的单调性值域即可得出 【解答】 解：（ 1） c=2， C= ，由余弦定理 c2=a2+2： a2+， ， ， 联立方程组 ，解得 a=2， b=2 第 14 页（共 21 页） （ 2）由题意 = = ， 则 = ，（其中 ）， 当 B+） =1 时， 的最大值为 18某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出 300 人进行统计其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的 60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的 75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有 120 人 （ 1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的 2 2 列联表： 对教师管理水平好评 对教师管理水平不满意 合计 对教师教学水平好评 对教师教学水平不满意 合计 问 ：是否可以在犯错误概率不超过 前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关、 （ 2）若将频率视为概率，有 4 人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量 X； 求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数 X 的分布列（概率用组合数算式表示）； 求 X 的数学期望和方差 P（ K2k） k ，其中 n=a+b+c+d） 【考点】 独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）根据题意，可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的 2 2 列联表，计算证 否大于 可得出结论； （ 2） 分别求出 X 所有可能取值的概率，得出 X 的分布列； 由于 X B（ 4， ），即可计算数学期望和方差 【解答】 解：（ 1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的 2 2 列联表： 对教师管理 水平好评 对教师管理水平不满意 合计 对教师教学水平好评 120 60 180 对教师教学水平不满意 105 15 120 合计 225 75 300 第 15 页（共 21 页） 2 分 ， 可以在犯错误概率不超过 前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关； 5 分 （ 2） 对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为 ，且 X 的取值可以是 0， 1， 2，3， 4，其中 ； ； ； ， 8 分 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 10 分 由于 X B（ 4， ），则 ， 12 分 19如图，已知四棱锥 S 面 边长为 4 的等边三角形，底面菱形，侧面 底面 成的二面角为 120 （ 1）求点 S 到平面 距离； （ 2）若 E 为 中点，求二面角 A C 的正弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算 【分析】 （ 1）解：作 平面 接 于点 F，连接 导出 而 侧面 底面 成的二面角的平面角，由此能求出点 S 到平面 距离 （ 2）以 O 为坐标原点，使 y 轴与 行， 在直线分别为 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A C 的正弦值 【解答】 解：（ 1）如图，作 平面 足为点 O 连接 于点 F，连接 D， D 点 F 为 中点，所以 由此知 侧面 底面 成的二面角的平面角， 20， 第 16 页（共 21 页） 侧面 边长为 4 的等边三角形， =2 ， F2 =3， 即点 S 到平面 距离为 3 （ 2）如图以 O 为坐标原点，使 y 轴与 行， 在直线分别为 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系， 由已知得： A（ ， 2， 0）， D（ ， 0）， C（ 3 ， 4， 0）， E（ ， 2， ）， =（ 0， 4， 0）， =（ ， 0， ）， =（ ， 2， ）， 设平面 法向 量为 ， 则 令 x= ，得 =（ ， 0， 1） 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，令 x= ，得 =（ ， 3， 1）， 设二面角的平面角为 ， 则 = = ， = ， 二面 角 A C 的正弦值为 20已知 别为椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右两个焦点，椭圆上点 M（ ， ）到 点的距离之和等于 4 第 17 页（共 21 页） （ 1）求椭圆 C 的 方程； （ 2）已知过右焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于点 N（点 N 在第一象限）， E， F 是椭圆C 上的两个动点，如果 ，证明直线 斜率为定值，并求出这个定值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由已知求得 a，把已知的坐标代入椭圆方程得到关于 a， b 的关系式，把 a 代入求得 b，则椭圆方程可求； （ 2）求出 N 的坐标，设出 在直线方程，与椭圆方程联立求得 E 的坐标，同理求得 入两点求斜率公式可得直线 斜率为定值 【解答】 解：（ 1）依据椭圆的定义 2a=4a=2， 在椭圆 上， ，把 a=2 代入可得 椭圆方程 ； （ 2）由（ 1）得， c=1，则 N（ 1， ）， 设直线 方程为： ， 代入 ，得 设 E（ F（ 点 在椭圆上， 由韦达定理得： 又直线 斜率与 斜率互为相反数， 在上式中以 k 代 k，可得 ， xF+， 直线 斜率 第 18 页（共 21 页） = ， 即直线 斜率为定值，其值为 21设函数 f（ x） = （ 1）求函数 f（ x）在 0， 2上得单调区间； （ 2）当 m=0， k R 时，求函数 g（ x） =f（ x） R 上零点个数 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理 【分析】 （ 1）求出函数的导数，通过讨论 m 的范围，确定导数的符号，从而求出函数的单调区间即可； （ 2）将 m=0 代入 g（ x），令 g（ x） =0，分离出 k，根据函数的单调性求出 k 的范围，从而判断出零点的个数 【解答】 解：（ 1） ， 当 2 m 0，即 m 2 时， x 0， 2， f（ x） 0， f（ x）在 0， 2上单调递增； 当 0 m 2 时，令 f（ x） 0，得 0 x 2 m，令 f（ x） 0，得 2 m x 2， 所以 f（ x）在 0， 2 m上单调递减，在 2 m， 2上单调递增； 当 m 0 时， f（ x） 0， f（ x）在 0， 2上单调递减 （ 2）由 g（ x） =f（ x） ， 令 ， ，由 或 ， 由 或 ， h（ x）在 上单调递减，在 上单调递增 在 x 0 时，当 时， h（ x）取得极小值，且 ， 当 x 时， h（ x） +； x0 时， h（ x） + 在 x