3.1.2指数函数

-2.1.2指数函数及其性质。新课标指出，学生是教学的主体，教师的教应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。我将以此为基础从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学煤体设计、教学过程设计、教学评价设计等环节对本街课加以说明。一 背景分析： 教学任务分析本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数及其图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。 学生的主要任务是从已有的知识出发，采用一贯的顺序既先作出函数图象，然后通过观察图象,从图象的特征上获得对函数性质的直观认识，然后再从数的角度对函数性质做出认定和表述。指数函数是高中新引进的第一个基本初等函数，因此，教科书先给出了指数函数的实际背景，然后对指数函数的概念的建立，指数函数图象的绘制及基本性质与初步应用作了完整的介绍，对于两个问题的解决结果也为本节内容设置了很好的开端，既让学生感受到了其中的函数模型，也对函数概念进行了巩固和引申。由此，我将本节课教学重点确立为：（）指数函数的概念。（）指数函数的图像、性质及其简单运用学情分析在学习本节课之前学生已具备了函数概念、作图，实数指数幂及其运算等基础知识和基本技能。又从解答课本25,组第1题的过程中积累了一点从图象观察函数定义域、值域的方法，同时通过对函数图象的学习，学生可以通过观察函数图象，用语言对定义域、值域及其性质进行表述。当然，学生对抽象的指数函数及其图象缺乏感性认识，且指数函数是高中新引进的第一个函数，而在教学过程中让学生自己去感受指数函数的生成过程以及图象和性质是这一堂课的突破口。因此，我将本节课的难点确立为： （1）用数形结合的方法从具体到一般的探索、概括指数函数性质，以及其性质的应用。 （2）对底数 在 和 时,函数值变化情况的区分。二 教学目标设计教科书通过比较本节开始的问题（）（）引入指数函数，以利于学生体会指数函数的概念来自实践，又服务于生活的的哲理。我引导学生在教科书给出的两个函数图象的基础上，绘制其它底数互为倒数的函数图象，加之我利用信息技术对底数和的两类指数函数图象进行动态演示，学生可在我的引导下对指数函数的图象进行观察进而归纳出其性质。鉴于以上，我将本节课教学目标定为：（）通过实际问题了解指数函数的实际背景，让学生体会指数函数的概念来自实践，又服务于生活的的哲理。（）使学生掌握指数函数的概念、图象和性质。培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会具体到一般的数学讨论方式和数形结合的思想。（）能利用指数函数的性质比较某些幂形数的大小。培养学生分析问题的能力。 三课堂结构设计课堂上，学生是学习的主人。教师应推出判断，引导学生独立思考，并在此基础上进行合作交流，努力实现师生互动、这是新课标的要求，也是时代发展的必然。本节课所面对的是高中一年级的学生，这个年龄段的学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待我引导。结合本节课知识的逻辑顺序，从学生原有的知识和能力出发，我将带领学生创设疑问，通过合作交流、共同探索来寻求解决问题的方法。根据新课标的理念，我把整个的教学过程分为六个环节，创设实际背景，引入课题即：发现问题，形成概念作出指数函数的图象 探索指数函数的性质当堂训练，巩固提高。课堂小节与作业 即先从实际问题的引入创设情景，用函数的观点分析两个实际问题中变量间的对应关系，提炼出指数函数模型，得出指数函数概念。接着由作出的图象探索函数的性质，然后通过对例的解答，让学生知道明确底数是确定指数函数的要素，加之例7的解答更让学生体会到数学学有所用，最后让学生归纳本节内容，便于提高学生的归纳概括能力，进一步加深对本节课的理解，使知识系统化。四 教学媒体设计传统教学中，由于技术的限制，通过老师几个特殊函数的图象以片概全的得出指数函数的性质。这样，整个过程中学生对于为什么要画这几个函数图象，为什么有限几个函数图象就可以代表一般的函数图象，为什么要把底数分为和两类等，都是不得而知的。无法快速展示学生自主探究和合作交流的成果，甚至不能完成教学任务。若使用多媒体教学，可以避免上述问题的发生，而且可以设计科学合理的板书，还可以增加教学容量。比如板书设计如下： 指数函数图象和性质一指数函数的概念二图象与性质例定义图象几点说明性质 例7练习图象特征函数性质五教学过程设计本节课我设计了六个教学环节，具体如下：（一）创设实际背景，引入课题（多媒体出示两个问题）问题碳含量与时间的对应关系及值与时间的对应关系能否构成函数？设计意图：用函数的观点分析两个模型中变量的对应关系，为引出函数概念作准备，同时让学生体会其中隐含的函数关系。学生能给出正确的判断，但不能给出合理的解释。我引导学生从函数的定义出发进行解释，这样函数的概念又得到了进一步巩固。（二）发现问题，形成概念问题这两个函数有什么共同特征？设计意图：能从上述两个关系式中提炼出指数函数模型。学生可能没有明确的观察方向，我引导学生得出以下表格：问题对应关系定义域问题（）且问题（）从底数、自变量及函数值三个方面观察，若用表示各式中的底数，则两个问题中的函数模型具有共性：可写为形式，注意取值范围。（多媒体出示指数函数的定义） 问题指数函数的定义域是什么？ 设计意图：训练学生观察分析的能力。学生会很快得出结论，若否，我会引导学生回顾指数范围,指数可取实数, 是一个确定的实数, 又注意到底数的取值条件，所以指数函数的定义域为 ，同时学生还会感受到幂指数扩充的应用价值。 问题为何规定指数函数的底数且？设计意图：复习巩固指数幂的概念与运算性质。对a范围的具体分析，有利于学生对指数函数一般形式的掌握，同时为后面研究函数的图象和性质埋下了伏笔。为什么要规定底数且呢?学生会感到有困难，我提示学生将问题分解为：若 会有什么问题?如 ,此时 , 等在实数范围内相应的函数值不存在。若 对于 都无意义。若 则 无论 取何值,它的值总是1，没有研究的必要。为了避免上述各种情况的发生,所以规定 且 。对a的范围的具体分析，有利于学生对指数函数一般形式的掌握，同时为后面研究函数的图象和性质埋下了伏笔。在给出定义后可能会有学生感觉定义的形式十分简单，此时我给出问题，打破学生对定义的轻视。 问题下列函数中哪些是指数函数？(1) , (2) , (3) (4) , (5) . 设计意图：会用定义判断指数函数，从整体的角度认识指数函数。 我先让学生回答并说理由,再据情况作点评。指出只有(1)、(3)是指数函数,(3)中可写成 ,也是指数函数。最后提醒学生指数函数的定义是形式定义,就必须在形式上完全一致，即：一看底数是否为一常数，二看自变量是否是一个x且在指数的位置上。光有定义是远远不够的，还要对一个函数的图像和性质进行进一步的研究。我带领学生进入下一个环节。 （3） 作出指数函数的图象指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到的第一个具体函数，在这部分的安排上我更注重学生思维习惯的养成，即应从哪些方面、角度去探索一个具体函数。问题以前是如何研究一个函数性质的？思路是什么？指数函数呢？ 设计意图：给出研究函数性质的思路，培养学生数形结合的思想。 学生独立思考，提出先画图。具体研究什么呢？我引导学生回顾学过函数的那些性质，让学生讨论研究的方法，强调数形结合，强调图象在研究性质中的作用，注意具体到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养。 问题如何作出指数函数和的图象呢？ 设计意图：会用描点法画这两个函数的图象，培养学生的动手能力。学生回顾描点法作图。教科书已给出了和的图象，我将学生分成两个小组，分别在课本上和的图象所在坐标系中完成指数函数和的图象，相互交流；我将画得好的部分学生的图象用实物投影仪进行展示。 （四）探索指数函数的性质我以怎样得到指数函数的图像为载体，带领学生进入本环节。问题观察上面几个函数图象有什么类似的特点？(多媒体出示以上几个函数在同一坐标系的图像）设计意图：观察图像，讨论交流，概括总结指数函数的基本性质。 利用图像便于学生发现、概括、记忆函数的性质。我用几何画板画这几个函数的图象，且让学生猜想若将函数的图象和的图象也一一画在同一坐标系中，它们会位于已有函数图像的哪一侧呢？接下来由我通过底数的连续动态变化展示函数图象的分布情况，让学生填写下表： 图像特征 函数性质图像左右无限延伸，无止境图像全部位于x轴上方x取任何实数时，都有图像过（0，1）点无论为何正数，总有自左向右看：当a1时，图像逐渐上升；当0a10a1 图像 y 0 x y 0 x性质定义域 R 值域 （0，+）恒过（0，1）点在R上是增函数在R上是减函数说明：我将给出表格，引导学生根据图像填写。让学生充分感受以图像为基础研究函数的性质这一重要的数学思想。表格的完成将会使学生体会到很大的成功感，也将学生思考的热情带入高峰。问题9 函数的图像与函数 的图像有什么关系？可否利用的图像画出的图像？设计意图：让学生获得“函数的图像和的图象关于y轴对称”的结论。总结出两个指数函数图像关于y轴对称时其解析式的特点，并利用轴对称性画指数函数的图像。这样做可以引导学生用联系的观点看问题，通过逻辑推理获得数学结论。我用投影仪展示课本标2-1和2-2，以及图2.1-2和2.1-3，由学生观察图像及表格并表述自己的的发现，最后我通过多媒体，让学生更直观的体会指数中图像的变化规律，同时引导学生从对称性的角度上观察图像得到：底互为倒数的两个函数图像关于y轴对称。最后概括出据对称性画指数函数图像的方法。问题10 指数函数底数的变化与图像位置之间是否也存在着联系呢？设计意图：让学生充分经历知识的形成过程，从而形成自己对此问题的理解和解决策略，培养学生的直觉和感悟能力。此问题的提出将带领学生进入本节课研究与探索的高潮。学生可能从不同的视角观察图像，从而得出自己发现的规律，但此时我并没急着给出结论，而是让学生充分经历知识的形成过程，从而形成自己对此问题的理解和解决策略，培养学生的直觉和感悟能力。最后我通过多媒体，让学生更直观的体会指数中图像的变化规律，即：在第一象限中，随着底增大图像位置升高。在这一环节中，通过教师的指引和学生的积极思考使图像与低的关系自然浮出水面，而非强加给学生，真正实现难点的突破。（五）当堂训练，巩固提高。通过前面几个环节，学生已基本掌握了本节课指数函数的相关知识，此时我带领学生体验运用新知识去解决问题的乐趣，进入本环节当堂训练，巩固提高。 例6 已知指数函数的图象经过点（3，），求的值。设计意图：明确底数a是确定指数函数的要素。通过此问题的解答不仅可以使学生再次熟悉函数值的记号而且还可以让学生学习用代定系数法求底数a的值。例7 比较下列各题中两值的大小（1） 1.72.5 , 173; （2） 0.8-0。1, 0.8-0。2 （3）1.70.3,0.93.1 设计意图：应用指数函数的单调性“比较两个数的大小”，熟悉指数函数的性质，使学生形成用函数观点解决问题的意识。补充练习：1.（1） 与 （2） 与 （3）(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 2.已知下列不等式 , 比较的大小 : (l) (2) (3) （且）设计意图：对知识进行逆用，建立学生的函数思想及分类讨论思想。 （六）课堂小节与作业 1 . 这节课同学们在知识和方法上有哪些收获呢？ 设计意图：让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础。 在小结归纳中我从学生的知识，方法和体验入手，带领学生从以下三个方面进行小结：（1）通过本节课的学习，你学到了那些知识？（2）你又掌握了哪些学习方法？（3）你能将指数函数的学习与实际生活联系起来吗？2. 布置作业，提高升华我将作业分为必做题和选作题两部分，必做题面向全体，注重知识反馈，选作题更注重知识的延伸性和连贯性，可让让有能力的同学去探求。必做题：1、阅读教材P54P