（试题 试卷 真题）第45讲：梯形--基础知识(36页)

第45讲：梯形-基础知识从27讲开始，我们针对中考数学中的热门考点，从数学的基础知识方面分26个专题进行探讨。梯形及特殊梯形（等腰梯形和直角梯形）的性质与判定是中考考查的重点内容之一，常以选择题、解答题的形式出现，选择题主要考查各种图形性质的区别，解答题则是综合利用各种知识证明线段相等或解决其它一些问题。梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。平行的两边叫做梯形的底边，长的一条底边叫下底，短的一条底边叫上底。不平行的两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。解决梯形问题的常用方法： （1）“作对角线”：构造两三角形；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中； （3）“平移一腰”：构造一平行四边形和一三角形；（4）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中；（5）“延长两腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形； （6）“过中点平移两腰”：取一腰中点，平移两腰，构成两平行四边形和一三角形；（7）“过一腰中点作另一腰的平行线”：构成两全等三角形；（8）“顶点连一腰的中点并延长”：构成两全等三角形；（9）取两腰中点，连接，作中位线。结合2013年全国各地中考的实例，我们从三方面进行静态几何之梯形问题的探讨：（1）普通梯形问题；（2）等腰梯形问题；（3）直角梯形问题。一、普通梯形问题：梯形的判定：（1）一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形；（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。梯形的性质：（1）梯形的上下两底平行；（2）梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）平行于两底并且等于上下底和的一半。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究1.（2013年江苏无锡3分）如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD相交于O，AD=1，BC=4，则AOD与BOC的面积比等于【 】A B C D2.（2013年四川巴中3分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC的值是【 】A9 B10.5 C12 D153.（2013年浙江宁波3分）如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=，BC=4，连结BD，BAD的平分线交BD于点E，且AECD，则AD的长为【 】A B C D124.（2013年甘肃天水4分）如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，对角线ACBD，且AC=12，BD=5，则这个梯形中位线的长等于 5.（2013年贵州六盘水4分）如图，梯形ABCD中，ADBC，AD=4，AB=5，BC=10，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于 6.（2013年黑龙江龙东地区3分）梯形ABCD中，ABCD，AB=3，CD=8，点E是对角线AC上一点，连接DE并延长交直线AB于点F，若=2，则= 7.（2013年湖南长沙3分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=50，C=80，AECD交BC于点E，若AD=2，BC=5，则边CD的长是 8.（2013年福建厦门6分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC，BD相交于点E若AE=4，CE=8，DE=3，梯形ABCD的高是，面积是54求证：ACBD9.（2013年山东淄博5分）如图，ADBC，BD平分ABC求证：AB=AD出结论。二、等腰梯形问题：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形的判定：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形；（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。等腰梯形的性质：（1）等腰梯形的两条腰相等；（2）等腰梯形在同一底上的两个底角相等；（3）等腰梯形的两条对角线相等；（4）等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线(过两底中点的直线）；（5）具备梯形的性质。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究1.（2013年上海市4分）在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是【 】（A）BDC =BCD （B）ABC =DAB （C）ADB =DAC （D）AOB =BOC 2.（2013年湖北十堰3分）如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=3，AD=5，C=60，则下底BC的长为【 】A8 B9 C10 D113.（2013年湖南怀化3分）如图，已知等腰梯形ABCD的底角B=45，高AE=1，上底AD=1，则其面积为【 】 A4 B C1 D24.（2013年湖南张家界3分）顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是【 】A矩形 B正方形 C菱形 D直角梯形【答案】C。xyABCDPO5.（2013年江苏南京2分）如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC，AC与BD相交于点P。已知A(2, 3)，B(1, 1)，D(4, 3)，则点P的坐标为（ ， ）。6. （2013年江苏扬州3分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=CD，BC=12，ABC=60，则梯形ABCD的周长为 7. （2013年辽宁盘锦3分）如图，等腰梯形ABCD，ADBC，BD平分ABC，A=120若梯形的周长为10，则AD的长为 8. （2013年山东临沂3分）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，DEBC，BDDC，垂足分别为E，D，DE=3，BD=5，则腰长AB= 9. （2013年山东烟台3分）如图，四边形ABCD是等腰梯形，ABC=60，若其四边满足长度的众数为5，平均数为，上、下底之比为1：2，则BD= 10.（2013年海南省4分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=AD=5，B=60，则BC= 11.（2013年广东深圳8分）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD/BC，AB=DC，AC与BD交于点O，廷长BC到E，使得CE=AD，连接DE。（1）求证：BD=DE。（2）若ACBD，AD=3，SABCD=16，求AB的长。12. （2013年广西百色6分）如图，在等腰梯形ABCD中，DCAB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F。（1）求证：ABFECF（2）如果AD5cm，AB8cm，CF2cm，求CE的长。13.（ 2013年广西柳州10分）如图，四边形ABCD为等腰梯形，ADBC，连结AC、BD在平面内将DBC沿BC翻折得到EBC （1）四边形ABEC一定是什么四边形？（2）证明你在（1）中所得出的结论14. （ 2013年广西钦州6分）如图，梯形ABCD中，ADBC，ABDE，DEC=C，求证：梯形ABCD是等腰梯形15.（2013年湖北恩施8分）如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形16.（2013年山东滨州10分）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）【答案】解：如图，设BM与AD相交于点H，CN与AD相交于点G，由题意得，MH=8cm，BH=40cm，则BM=32cm，四边形ABCD是等腰梯形，AD=50cm，BC=20cm，17.（2013年四川南充8分）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD3，BC7，B60，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作APEB，PE交CD 于E.（1）求证:APBPEC;（2）若CE3,求BP的长.A B D CB PB E BP的长为：3或4。18. （2013年云南八地市9分）如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴交于点E（0，1），点C的坐标为（2，3）（1）求A、D两点的坐标；（2）求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式；（3）在y轴上是否在点P，使ACP是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由，解得。抛物线的关系式为：y=x22x+3。19. （2013年浙江杭州8分）如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF求证：GAB是等腰三角形三、直角梯形问题：一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。直角梯形的判定：有两个内角是直角的梯形是直角梯形。直角梯形的性质：（1）直角梯形有两个角是直角；（2）具备梯形的性质。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究1.（2013年广东广州3分）如图，四边形ABCD是梯形，ADBC，CA是BCD的平分线，且ABAC，AB=4，AD=6 ，则=【 】 A B C D 2.（2013年黑龙江龙东地区3分）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BCD=90，ABC=45，AD=CD，CE平分ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作ANBC，垂足为N，AN交CE于点M则下列结论；CM=AF；CEAF；ABFDAH；GD平分AGC.其中正确的个数是【 】A1 B2 C3 D43.（2013年山东淄博4分）如图，直角梯形ABCD中，ABCD，C=90，BDA=90，AB=a，BD=b，CD=c，BC=d，AD=e，则下列等式成立的是【 】A b2=ac Bb2=ce Cbe=ac Dbd=ae4.（2013年云南曲靖3分）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，C=45，AD=1，BC=4，则CD= 5.（ 2013年广西贵港7分）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AGCD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形6.（ 2013年广西玉林、防城港10分）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADDC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延长线与BC的延长线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点（1）求证：四边形EMCN是矩形；（2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的长和宽7. （2013年黑龙江大庆9分）如图所示，在直角梯形ABCD中，AB为垂直于底边的腰，AD=1，BC=2，AB=3，点E为CD上异于C，D的一个动点，过点E作AB的垂线，垂足为F，ADE，AEB，BCE的面积分别为S1，S2，S3（1）设AF=x，试用x表示S1与S3的乘积S1S3，并求S1S3的最大值；（2）设=t，试用t表示EF的长；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S22=4S1S38.（2013年江苏宿迁12分）如图，在梯形ABCD中，ABDC，B=90，且AB=10，BC=6，CD=2点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EFAD交边AB于点F将BEF沿EF所在的直线折叠得到GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动设BE=x，GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y（1）证明AMF是等腰三角形；（2）当EG过点D时（如图（3），求x的值；（3）将y表示成x的函数，并求y的最大值9. （2013年江苏扬州12分）如图1，在梯形ABCD中，ABCD，B=90，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PEPA交CD所在直线于E设BP=x，CE=y（1）求y与x的