陕西省商洛市2016年高考数学模拟试卷（理科）含答案解析

陕西省商洛市 2016 年高考数学模拟试卷（理科） （解析版） 参考答案与试题解析 一、选择题 1在复平面内，复数 对应的点的坐标为（ ） A（ 0， 1） B（ 0， 1） C（ ， ） D（ ， ） 【分析】 化简复数 ，它在复平面内的对应点为（ 0， 1），由此求得结果 【解答】 解：复数 = = = i，它在复平面内的对应点为（ 0， 1）， 故选 A 【点评】 本题主要考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题 2双曲线 的离心率为（ ） A B C 2 D 3 【分析】 求出双曲线的 a， b， c，由离心率公式 e= ，计算即可得到所求值 【解答】 解：双曲线 的 a=1， b= ， 可得 c= =2， 即有 e= =2 故选： C 【点评】 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题 3要得到函数 y=4x ）的图象，只需将函数 y=图象（ ） A向左平移 单位 B向右平移 单位 C向左平移 单位 D向右平移 单位 【分析】 直接利用三角函数的平移原则推出结果即可 【解答】 解：因为函数 y=4x ） =（ x ） ， 要得到函数 y=4x ）的图象，只需将函数 y=图象向右平移 单位 故选： B 【点评】 本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中 x 的系数是易错点 4已知 M=y|y= N=x| +，则 MN=（ ） A （ 1， 1），（ 1， 1） B 1 C 0， D 0， 1 【分析】 求出 M 中 y 的范围确定出 M，求出 N 中 x 的范围确定出 N，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由 M 中 y=0，得到 M=0， +）， 由 N 中 +，得到 x ，即 N= ， ， 则 MN=0， 故选： C 【点评】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 5已知 且 ，则 ） A B 3 C 3 D 【分析】 利用向量共线定理、同角三角函数基本关系式即可得出 【解答】 解： ， ， 则 = = = ， 故选： A 【点评】 本题考查了向量共线定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 6 “x 0”是 “x+1） 0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论 【解答】 解： x 0， x+1 1，当 x+1 0 时， x+1） 0； x+1） 0， 0 x+1 1， 1 x 0， x 0， “x 0”是 x+1） 0 的必要不充分条件 故选： B 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础 7 C：（ x 4） 2+（ y 2） 2=18 上到直线 l： x y+2=0 的距离为 的点个数有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 【分析】 求出 C 圆心 C（ 4， 2），半径 r=3 ，再求出圆心 C（ 4， 2）到直线 l： x y+2=0的距离 d=2 ，由此能求出结果 【解答】 解： C：（ x 4） 2+（ y 2） 2=18 的圆心 C（ 4， 2），半径 r= =3 ， 圆心 C（ 4， 2）到直线 l： x y+2=0 的距离 d= =2 ， C：（ x 4） 2+（ y 2） 2=18 上到直线 l： x y+2=0 的距离为 的点有 3 个 故选： C 【点评】 本题考查满足条件的点的个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质及点到直线的距离公式的合理运用 8如图所示框图，如果输入的 n 为 6，则输出的 （ ） A 16 B 5 C 4 D 25 【分析】 执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n， i 的值，当 i=3 时，不满足条件 i 3，退出循环，计算输出 值为 25 【解答】 解：模拟执行程序，可得 n=6， i=0 不满足条件 n 是奇数， n=3， i=1，满足条件 i 3， 满足条件 n 是奇数， n=10， i=2，满足条件 i 3， 不满足条件 n 是奇数， n=5， i=3，不满足条件 i 3，退出循环，输出 值为 25 故选： D 【点评】 本题主要考察了程序框图和算法，正确得到每次循环 n， i 的值是解题的关键，属于基础题 9 ， B=60，最大边与最小边的比为 ，则 最大角为（ ） A 60 B 75 C 90 D 105 【分析】 设 a 为最大边，根据题意求得 的值，进而利用正弦的两角和公式展开后，化简整理求得 值，进而求得 A 【解答】 解：不妨设 a 为最大边由题意， ， 即 = ， = ， 整理可得：（ 3 ） 3+ ） + ， A=75 故选： B 【点评】 本题主要考查了正弦定理的应用解题的关键是利用正弦定理把题设中关于边的问题转化为角的关系，属于中档题 10已知某几何体的三视图（如图），其中俯视图和侧（左）视图都是腰 长为 4 的等腰直角三角形，正（主）视图为直角梯形，则此几何体的体积 V 的大小为（ ） A B 12 C 16 D 【分析】 由三视图知几何体为四棱锥，其直观图如图所示，即可得出 【解答】 解：由三视图知几何体为四棱锥，其直观图如图： 四棱锥的高为 4，底面为直角梯形的面积 S= 4=10， 几何体的体积 V= 10 4= 故选： D 【点评】 本题考查了三视图的有关计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 11若 ，则 的展开式中的常数项（ ） A B C 20 D 15 【分析】 先根据定积分的几何意义求出 a 的值，再再由二项式展开式的通项公式，令 x 的次数为 0，即可求得 【解答】 解： 表示以原点为圆心，以 1 为半径的圆的面积的二分之一， 故 = ， 则 =（ ） 6， 其通项公式为 ） 6 k（ ） k=） 6 k（ 1） 2k， 令 6 2k=0，即 k=3， 故常数项为 ） 6 3（ 1） 3= ， 故选： B 【点评】 本题考查定积分的运算，考查二项式定理的运用求特定项，属于中档题 12设函数 f（ x）是奇函数 f（ x）（ x R）的导函数， f（ 1） =0，当 x 0 时， x） f（ x） 0，则使得 f（ x） 0 成立的 x 的取值范围是（ ） A（ ， 1） （ 0， 1） B（ 1， 0） （ 1， +） C（ ， 1） （ 1，0） D（ 0， 1） （ 1， +） 【分析】 由已知当 x 0 时总有 x） f（ x） 0 成立，可判断函数 g（ x） = 为减函数，由已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，可证明 g（ x）为（ ， 0） （ 0， +）上的偶函数，根据函数 g（ x）在（ 0， +）上的单调性和奇偶性，模拟 g（ x）的图象，而不等式 f（ x） 0 等价于 x） 0，数形结合解不等式组即可 【解答】 解：设 g（ x） = ，则 g（ x）的导数为： g（ x） = ， 当 x 0 时总有 x） f（ x）成立， 即当 x 0 时， g（ x）恒小于 0， 当 x 0 时，函数 g（ x） = 为减函数， 又 g（ x） = = = =g（ x）， 函数 g（ x）为定义域上的偶函数 又 g（ 1） = =0， 函数 g（ x）的图象性质类似如图： 数形结合可得，不等式 f（ x） 0x） 0 或 ， 0 x 1 或 x 1 故选： A 【点评】 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题 二 13抛物线 x 的焦点到直线 x y=0 的距离是 1 【分析】 由抛物线 x 得焦点 F（ 2， 0），再利用点到直线的距离公式可得点 F（ 2， 0）到直线 x y=0 的距离 【解答】 解：由抛物线 x 得焦点 F（ 2， 0）， 点 F（ 2， 0）到直线 x y=0 的距离 d= =1 故答案为： 1 【点评】 熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键 14经过圆 x2+y2=一点 M（ 切线方程为 比上述性质，可以得到椭圆 + =1 类似的性质为：经过椭圆 + =1 上一点 P（ 切线方程为 【分析】 由过圆 x2+y2=一点的切线方程 们不难类比推断出过椭圆上一点的切线方程：用 可得 【解答】 解：类比过 圆 x2+y2=一点 M（ 切线方程为 类比推理得： 过椭圆 + =1（ a b 0），上一点 P（ 的切线方程为： 故答案： 【点评】 本题考查椭圆的应用、利用类比推理得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的 结论 15从一架钢琴挑出的 7 个音键中，分别选择 3 个， 4 个， 5 个， 6 个， 7 个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同和声数为 99 （用数字作答） 【分析】 共有 5 种不同的类型，当有 3 个键同时按下，有 结果， 以此类推，根据分类计数原理得到共有的结果数 【解答】 解：由题意知本题是一个分类计数问题， 共有 5 种不同的类型， 当有 3 个键同时按下，有 结果， 当有 4 个键同时按下，有 结果， 当有 5 个键同时按下，有 结果 当有 6 个键同时按下，有 结果 ， 当有 7 个键同时按下，有 结果 根据分类计数原理得到共有 74+76+5+35+21+7+1=99 故答案为： 99 【点评】 本题考查分类计数原理，考查组合数的性质，考查利用排列组合知识解决实际问题，本题是一个易错题，易错点是组合数的运算不正确 16将一个质点随机投放在关于 x， y 的不等式组 所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于 1 的概率是 【分析】 画出关于 x， y 的不等式组 所构成的三角形区域，求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于 1 的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对立事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都不小于1 的地方的概率 【解答】 解：画出关于 x， y 的不等式组 所构成的三角形区域，如图 三角形 面积为 3 4=6， 离三个顶点距离都不大于 1 的地方的面积为 所以其恰在离三个顶点距离都不小于 1 的地方的概率为 P=1 = 故答案为： 【点评】 本题考查几何概型概率公式、对立事件概率公式、三角形的面积公式、扇形 的面积公式 三 17设 等比数列，公比为 q（ q 0 且 q 1）， 432等差数列，且它的前 4项和为 5 （ 1）求 项公式； （ 2）令 bn=n（ n=1， 2， 3），求 前 n 项和 【分析】 （ 1）通过 432等差数列，利用首项、公比表示出前三项计算可知公比为 2，利用前四项和计算可知首项，进而可得通项公式； （ 2）通过（ 1）可知 n 1+2n，进而利用分组法求和即可 【解答】 解：（ 1） 432等差数列， 2 3 又 数列 等比数列， 6 ，即 3q+2=0， 解得： q=2 或 q=1（舍）， 又 5， =15，即 ， 数列 首项为 1、公比为 2 的等比数列， 数列 项公式 n 1； （ 2）由（ 1）可知 n 1+2n（ n=1， 2， 3）， 数列 前 n 项和为 +2 =2n+n2+n 1 【点评】 本题考查数列的通项及前 n 项和，考查分组法求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题 18城市规划管理意见中提出 “新建住宅原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院逐步打开 ”，此消息在网上一石激起千层浪各种说法不一而足，为了了解居民对 “开放小区 ”认同与否，从 25， 55岁人群中随机抽取了 n 人进行问卷调查，得如下数据： 组数 分组 认同人数 认同人数占 本组人数比 第一组 25， 30） 120 二组 30， 35） 195 p 第三组 35， 40） 100 四组 40， 45） a 五组 45， 50） 30 六组 50， 55） 15 1）完成所给频率分布直方图，并求 n， a， p （ 2）若从 40， 45）， 45， 50）两个年龄段中的 “认同 ”人群中，按分层抽样的方法抽 9 人参与座谈会，然后从这 9 人中选 2 名作为组长，组长年龄在 40， 45）内的人数记为 ，求随机变量 的分布列和期望 【分析】 （ 1）由频率 = ，利用已知条件能完成所给频率分布直方图，并能求出 n， a，p （ 2）由 40， 45）年龄段中认同人数为 60 人， 45， 50）两段中认同人数为 30 人，按分层抽样的方法抽 9 人参与座谈会， 40， 45）年龄段中抽取 6 人， 45， 50）年龄段中抽取 3人， 的可能取值为 0， 1， 2，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ 1）设 25， 30）年龄段人数为 x 人， 由题意 ，解得 x=200， 25， 30）年龄段人数的频率为 5= ，解得 n=1000 30， 35）年龄段人数的频率为： 1（ 5= 30， 35）年龄段人数为 1000=300， p= = 40， 45）年龄段人数的频率为 5= 40， 45）年龄段人数为 1000=150， a=150 0 完成频率分布直方图如下： （ 2）由（ 1）得 40， 45）年龄段中认同人数为 60 人， 45， 50）两段中认同人数为 30 人， 按分层抽样的方法抽 9 人参与座谈会， 40， 45）年龄段中抽取 6 人， 45， 50）年龄段中抽取 3 人， 的可能取值为 0， 1， 2， P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， 的分布列为： 0 1 2 P = 【点评】 本题考查频率分布直方图、频率分布列的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用 19如图，矩形 ， ， ，半圆 O 以 直径，平面 直于半圆O 所在的平面， P 为半圆周上任意一点（与 B、 C 不重合） （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若 P 为半圆周中点，求此时二面角 P D 的余弦值 【分析】 （ 1）根据面面垂直的判定定理证明 面 可证明平面 平面 （ 2）连接 直 立以 O 为坐标原点的空间直角坐标系如图：求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可二面角 P D 的余弦值 【解答】 证明：（ 1） 半圆 O 以 直径， 平面 直于半圆 O 所在的平面， 矩形， 底面 P=B， 面 面 平面 平面 （ 2）连接 直 立以 O 为坐标原点， 别为 x， y， z 轴的空间直角坐标系如图： 则 P（ 1， 0， 0）， C（ 0， 1， 0）， D（ 0， 1， 1）， A（ 0， 1， 1） =（ 1， 1， 1）， =（ 1， 1， 0）， 则平面 一个法向量为 =（ 1， 0， 0）， 设 =（ x， y， z）是平面 法向量， 则 ， 令 x=1，则 y=1， z=2，即 =（ 1， 1， 2）， ， = = = ， 二面角 P D 是钝二面角， 二面角 P D 的余弦值是 【点评】 本题主要考查空间面面垂直的判断以及空间二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决二面角常用的方法 20椭圆 E： + =1（ a b 0）的焦点到直线 x 3y=0 的距离为 ，离心率为 ，抛物线 G： p 0）的焦点与椭圆 E 的焦点重合；斜率为 k 的直线 l 过 G 的焦点与 ， B，与 G 交于 C， D （ 1）求椭圆 E 及抛物线 G 的方程； （ 2）是否存在学常数 ，使 为常数，若存在，求 的值，若不存在，说明理由 【分析】 （ 1）由点到直线的距离公式列式求出 c 的值，结合土偶眼离心率求出 a 的值，再由抛物线 G： p 0） 的焦点与椭圆 E 的焦点重合即可求得椭圆方程和抛物线方程； （ 2）依次射出 A， B， C， D 四点的坐标，设出直线 l 的方程，联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数关系分别写出 A， B 两点横坐标的和与积，写出 C， D 两点横坐标的和与积，利用弦长公式求出 长度，代入 后可求出使 为常数的 的值 【解答】 解：（ 1）设 E、 G 的公共焦点为 F（ c， 0），由题意得 ， 联立解得 所以椭圆 E： ，抛物线 G： x （ 2）设 A（ B（ C（ D（ 直线 l 的方程为 y=k（ x 2），与椭圆 E 的方程联立 ，得（ 1+52005=0 =40020（ 5）（ 41） =20（ ） 0 = 直线 l 的方程为 y=k（ x 2）， 与抛物线 G 的方程联立 ，得 4） x+4 = 要使 为常数，则 20+ =4，得 故存在 ，使 为常数 【点评】 本题主要考查了曲线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，训练了设而不求 的解题思想方法，考查了弦长公式的用法，直线与圆锥曲线问题的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题 21已知函数 f（ x） =a （ 1）若函数 y=f（ x）在 x=e 处的切线方程为 y=2x，求实数 a 的值； （ 2）设 m 0，当 x m， 2m时，求 f（ x）的最小值； （ 3）求证： , en 11(11 【分析】 （ 1）求出切点坐标，代入函数进行求解即可 （ 2）求好的导数，判断函数的单调性进行求解即可 （ 3）令 x= ，利用（ 2）的结论，构造不等式进行证明即可 【解答】 解：（ 1） 函数 y=f（ x）在 x=e 处的切线方程为 y=2x， 此时 y=2e，即切点坐标为（ e， 2e）， 则切点也在函数 f（ x）上，则 f（ e） =a=e+a=2e， 则 a=e， （ 2）函数的导数 f（ x） =， 由 f（ x） 0 得 x ，由 f（ x） 0 得 0 x ， 即函数在（ ， +）上为增函数，在（ 0， ）上为减函数， 当 2m ，即 m 时， f（ x） f（ 2m） =2a， 当 m 2m，即 m 时， f（ x） f（ ） = +a， 当 m 时， f（ x） f（ m） =a （ 3）令 x= ，则 x ， 由（ 2）知， a +a， 即 ，当 x= 时，取等号， ，则 ，即 e ，即 1+ ） e 1+ ， , en 11(11 【点评】 本题主要考查导数的综合应用以及利用导数证明不等式，综合性较强，难度较大 选做题 几何证明选讲 22如图，已知圆 O 是 外接圆， C， 上的高， 圆 O 的直径过点 C 作圆 O 的切线交 延长线于点 F （ ）求证： C=E； （ ）若 ， ，求 长 【分析】 （ I）如图所示，连接 于 O 的直径，可得 0利用 E 与 是 所对的圆周角，可得 E= 而得到 可得到 （ 用切割线定理可得 得 利用 得 C：而根据 ，即可得出答案 【解答】 证明：（ I）如