（试题 试卷 真题）r2007022009270444

透视06高考把握07复习一、06年试题概况试 卷考 题题 量分 值难 度37份81题2-4题15不 一一份试题不能考全所有的考点，但81条不同的立几题覆盖所有的考点。其中线面垂直、二面角出现的频率最高。二、06年立体几何试题分析1、 一种考法考查基础知识的同时，注重考查能力浙江理（14）正四面体ABCD的棱长为1，棱AB平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是. 【说明】本题考查正四面体的性质、线段在平面内的射影；空间想象能力、等价转化能力 (安徽卷）理科数学（16）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3； 4； 5； 6； 7以上结论正确的为_。（写出所有正确结论的编号）ABCDA1B1C1D1A1解：如图，B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选。【说明】本题考查正方体的性质、点面距离、空间想象能力和迁移能力（天津卷）数学（理工类）6、设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（B）A B C D【说明】本题考查线线、线面、面面的平行垂直关系（湖南卷）数学（理工农医类）3. 过平行六面体任意两条棱的中点作直线, 其中与平面平行的直线共有D A4条 B6条 C8条 D12条【说明】本题主要考查了三种平行关系之间的转化。2、两类题型（重庆卷）数学试题卷（文史类）（4）若是平面外一点，则下列命题正确的是D（A）过只能作一条直线与平面相交 （B）过可作无数条直线与平面垂直（C）过只能作一条直线与平面平行 （D）过可作无数条直线与平面平行【说明】过一点作已知平面的垂线有且只有一条（唯一性）过平面外一点可作无数直线与已知平面平行（存在性）06重庆(文)4直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（ ）（A）平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互为异面直线 分析：A反例：lB反例：lD反例：lC：l斜交垂直 l【说明】本题考查线线关系、线面关系、分类思想、任意性问题(06上海文)19、（本题满分14）在直三棱柱中，. （1）求异面直线与所成的角的大小；ACBB1C1A1说明：图中现成的角ACB4519.解：(1) BCB1C1, ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角) ABC=90, AB=BC=1, ACB=45, 异面直线B1C1与AC所成角为45. (福建文)（19）（本小题满分12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。【说明】 1.过空间特殊点E引平行线得所求角 2.过异面直线中一条线引另一直线的平行线得所求角3.建立空间直角坐标系，利用向量的知识解决。【说明】异面直线所成角1）图中有现成角2）过其中一条直线上的点作另一条直线的平行线3）过不在已知直线上的特殊点分别引这两条直线的平行线 4)向量法（19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在中，是直角斜边AC上的中线，异面直线AB与CD所成角的大小为方法二：（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则异面直线AB与CD所成角的大小为(浙江文)（17）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,ADBC,BAD=90,PA底面ABCD，且PAAD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.()求证：PBDM; ()(文)求BD与平面ADMN所成的角。(理) 求CD与平面ADMN所成的角分析：先证PB平面ADMN，则BDN为BD与平面ADMN所成角【说明】图中有现成角分析：取AD中点E，BECD，则BEN为CD与平面ADMN所成角【说明】利用线线平行，转化线面成角方法二:该图形非常有利于建立空间直角坐标系，17本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力。满分 14分。 解：方法一： （）(文)连结DN， 因为PB平面ADMN，所以BDN是BD与平面ADMN所成的角. 在中, 故BD与平面ADMN所成的角是.方法二： 如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系,设BC=1，则 （）因为 所以PBAD. 又PBDM. 因此的余角即是BD与平面ADMN.所成的角. 因为 所以= 因此BD与平面ADMN所成的角为. (理) （II）取的中点，连结、，则，所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.因为平面，所以是与平面所成的角.在中，.故与平面所成的角是.方法二：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则.（II） 因为，所以，又因为，所以平面因此的余角即是与平面所成的角.因为，所以与平面所成的角为.【说明】直线与平面所成角1）图中现成角2）利用平行关系转化3）定义法4）向量法(湖北文)18、（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN2C1N.（）求二面角B1AMN的平面角的余弦值；（）求点B1到平面AMN的距离。【说明】图中有现成的二面角的平面角18本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法1：（）因为M是底面BC边上的中点，所以AMBC，又AMC,所以AM面BC，从而AMM, AMNM，所以MN为二面角，AMN的平面角。又M=,MN=,连N，得N，在MN中，由余弦定理得。故所求二面角AMN的平面角的余弦值为。（）过在面内作直线，为垂足。又平面，所以AMH。于是H平面AMN，故H即为到平面AMN的距离。在中，HM。故点到平面AMN的距离为1。解法2：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1），M（0，0）,C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以，,。因为所以,同法可得。故为二面角AMN的平面角故所求二面角AMN的平面角的余弦值为。（）设n=(x,y,z)为平面AMN的一个法向量，则由得 故可取设与n的夹角为a，则。所以到平面AMN的距离为。（17）（本小题共14分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点.（）求证：；（）求证：平面；（）求二面角的大小.【说明】1.利用三垂线定理作二面角的平面角 2.利用二面角的和差求二面角解：（1）由平面可得PAAC又，所以AC平面PAB，所以（2）如图，连BD交AC于点O，连EO，则EO是PDB的中位线，EOPBPB平面（3）如图，取AD的中点F，连EF，FO，则EF是PAD的中位线，EFPA又平面，EF平面同理FO是ADC的中位线，FOABFOAC由三垂线定理可知EOF是二面角EACD的平面角.又FOABPAEFEOF45而二面角与二面角EACD互补，故所求二面角的大小为135.（19）（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如图1）。将AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（）求证：A1E平面BEP；（）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；图1图2（）求二面角BA1PF的大小（用反三角函数表示）19(06年江苏19分)本小题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力。解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3在图3中，过F作FM A1P与M，连结QM,QF,CP=CF=1, C=600,FCP是正三角形，PF=1.有PF=PQ,A1E平面BEP, A1E=A1Q, A1FPA1QP从而A1PF=A1PQ, 由及MP为公共边知FMPQMP, QMP=FMP=90o,且MF=MQ,从而FMQ为二面角BA1PF的平面角. 在RtA1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又. MQA1P在FCQ中,FC=1,QC=2, C=600,由余弦定理得在FMQ中，二面角BA1PF的大小为【解后反思】在立体几何学习中,我们要多培养空间想象能力, 对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后的不变量,二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一.是高考数学必考的知识点之一.作,证,解,是我们求二面角的三步骤.作:作出所要求的二面角,证:证明这是我们所求二面角,并将这个二面角进行平面化,置于一个三角形中,最好是直角三角形,利用我们解三角形的知识求二面角的平面角.向量的运用也为我们拓宽了解决立体几何问题的角度,不过在向量运用过程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托题目的图形,坐标才会容易求得.06浙江(理)17如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,ADBC,BAD=90,PA底面ABCD,且PAAD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.变式1：求面PAB与面PCD所成角利用面积射影或转化为有棱二面角变式2：E为AD中点,求面PAB与面PCE所成角【说明】这是一个”无棱”的二面角,可用面积射影定理,亦可作出二面角的棱转化为有棱的二面角QRLE点面距离06湖南(理)18如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4. ()证明PQ平面ABCD; ()求异面直线AQ与PB所成的角;()求点P到平面QAD的距离.QPADCBQBCPADzyxO解法一：（）连结AC、BD，设.由PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以PO平面ABCD，QO平面ABCD.从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ平面ABCD. （II）由题设知，ABCD是正方形，所以由（I），平面，故可以分别以直线CA、DB、QP为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如上图），由题设条件，相关各点的坐标分别是，所以,于是从而异面直线AQ与PB所成的角是.()由（），点D的坐标是（0，0），设是平面QAD的一个法向量，由 得.取x=1，得.所以点P到平面QAD的距离.解法二：（）取AD的中点M，连结PM，QM.因为PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以ADPM，ADQM. 从而AD平面PQM.又平面PQM，所以PQAD.同理PQAB，所以PQ平面ABCD.（）连结AC、BD设，由PQ平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.取OC的中点N，连结PNQBCPADOM因为，所以，从而AQP.BP（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.连接BN，因为所以从而异面直线AQ与PB所成的角是()由（）知，AD平面PM，所以平面PM平面QAD. 过作于，则平面QAD，所以的长为点P到平面QAD的距离连结OM，则.所以，又，于是.即点P到平面QAD的距离是.【说明】点面距离1)定义法2)等体积法3)距离的转化 4)向量法球面距离（理科）浙江卷（9）如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是B(A) (B) (C) (D)【说明】球面距离EF球面距离EOFEF题设条件3.三种问题接切问题、截面问题、折叠问题，非主干知识，考查的频率不高，但它们不会被遗忘1)接切问题往往需要根据图形的对称性，进行空间想象，合情推理，画出合理的截面图例1 06全国()9已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A16 B20 C24 D32 说明】几个结论：1）正四棱柱的对角线是外接球的直径2）正方体的对角线是外接球的直径3）正方体的棱长是内切球的直径4）若球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线是球的直径例2 06江苏9 两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（A）1个（B）2个（C）3个（D）无穷多个两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（A）1个（B）2个（C）3个（D）无穷多个【思路点拨】本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积【正确解答】由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D. 2)截面问题难有定式可循，往往难度较大棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 C A B C D 3)折叠与展开折叠与展开的关键是在折叠与展开的过程中各元素之间位置关系与数量关系是否变化折叠所得立体图形中元素之间的位置关系，数量关系需要在平面图形中寻找展开所得平面图形中元素之间的位置关系，数量关系需要在立体图形中寻找，展开体现了降维、化归思想(06山东理12题)如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,DAB=60,E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则PDCE三棱锥的外接球的体积为C(A) (B) (C) (D) (06江西文)15如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为10解：将正三棱柱沿侧棱CC1展开，其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论。4.四点加强1)加强设问的开放性2)加强元素的不定性3)加强条件的隐蔽性4)加强知识的综合性1)加强设问的开放性,就是改变以往”从条件到结论的直线思维模式”，增加过程的探索性06辽宁(理)18 (18) (本小题满分12分)已知正方形.、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为.(I) 证明平面;(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值.AACBDEFBCDEF 2)加强元素形式的不定性,就是增加过程中元素的运动变化，其表现可以语言表达，也可引入参数，这就需要答题者寻求规律、抓住本质.06浙江14：正方体在平面上的射影面积06湖北18：引入参数，点P在CC1上运动06江西15：折叠，P在BC1上运动，求PCA1P的最小值还有题目中未出现运动迹象，但需要我们用运动变化的思想去解决的