数学建模地砖铺设.doc

论文题目：地板铺设模型摘要：人们为了尽量美化自己的住所，绞尽脑汁的想出了许多铺设地板的方案，而铺设地板也是数学建模中经典的案例。数学建模的核心问题是如何铺设使住户所承担的费用最小且美化程度最高。本文对地板铺设成本问题进行数学建模并设计计算求最优解。对于问题一，将问题定义为线性规划模型。将题目中所给的布局划分为矩形，考虑每个矩形的成本，进行叠加，求取总成本。列出总成本最低的目标函数以及其约束条件。对于问题二，运用摊还分析思想解答，根据地板砖的性价比顺序和所剩条形的长度，先铺设完整地板，然后所剩区域再用300300规格的地板砖切割。优先使用废料，然后所剩区域用300300规格的和废料进行切割、填报。结合建模所求得的数据，并考虑到实际的情况，对地板铺设提出了一下意见。关键词： 线性规划 摊还分析 美化程度1、 问题概述： 随着居民生活水平的提高，房屋装潢已是入住新居和装修房屋的必须环节。而对装潢材料的正确地选材与购买时为房主节约花费与减少浪费的重要手段。假设每块地板只能沿平行于边长的方向进行切割，且最多只切割一次，切割费用与切割长度成正比。1、综合考虑影响地板铺设成本的因素，建立计算地板铺设总成本。2、当使用一种尺寸的地板进行铺设，设计一种算法进行地板砖的自动铺设，并计算铺设地板的块数，利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板铺设成本最低。3、使用多种尺寸的地板进行混合铺设，又如何实现地板的自动铺设各种尺寸的地板，利用率和总费用。4、根据所建模型、算法和计算结果，为地板铺设提出些许意见建议。二、问题分析： 1、对问题的分析问题一要求建设地板铺设总成本的模型，以铺设成本为函数，以寻求该函数的最小值为目标，以房间面积为约束条件，且决定变量取整数，符合线性规划的定义。2、对问题二的分析： 当用多种地板砖进行铺设，选择分析各种规格的性价比，选出单位面积价格最低的地板进行优化整块铺设。然后根据性价比由高及低进行整块填充，以此同时还要考虑切下废料的整块铺设，最后剩余部分，考虑切割废料和300300的成本，来进行填充，然后进行总费用、总块数、利用率以及美观程度的计算，得出最优解。三、模型的基本假设 1、每块地板只能沿平行于边的方向切割，最多只能切割一次，且切割费用与切割长度成正比。2、地板切割切割成本考虑地板的单价、切割成本、忽略其他因素的影响。3、铺设地板时部考虑家具等限制，仅考虑墙面限制，进行地面全面铺设。4、切割之后破损的地板不能重新利用。5、地板砖是铺设没有间隙，使相邻地板之间严格无缝对接。符号说明：5I:房间标号J:地板规格标号F:总费用Fi:第i个费用mij :i区所用j种完整地板的块数Nig:i区所用j种非完整地板的块数Vj:j规格地板单价Vj:j种规格被切后的单价Aj:j地板长度Bj:j地板宽度Aj:j种地板被切后长度Bj:j种地板被切后长度Si:i区面积Ci:I区长Di:I区宽Ni:I区域所用地板总砖块4 模型的建立与求解 问题一的解决 对于问题一的总成本模型的建立，考虑到所给平面布局，有很多规则的房间，为建立一个总成本模型。将不规则房间划为N区域，对每个区域分析、建模，求出总成本模型。 （见图一）将整个平面区域划分为13个区域，然后利用线性规划知识对模型进行建立： 以上为建立的总费用模型，值得注意对单独区域进行矩形划分，划分界限两边尽量保证都为未切割的地板，保证美化效果。问题二的解决 对于问题二，用多种地板进行铺设，首先将房间分为13个区，运用摊还分析和二维下料的方法针对每一区进行铺设。对其总费用、利用率、总块数以及美化程度进行计算。目标函数：具体分析： 1.求出每种地板单位面积的价钱，的性价比最高的地板，即主铺地板。地板规格mm*mm800*800600*600600*300400*400300*300性价比（元/mm)281.25361.11444.40450.00500.00 对于图二所示区域尽量不切，尽量选性价比高的原则，按600*600,600*300,400*400,300*300进行填补,剩余区域如图三所示。 图三所示区域中最窄边一定小于300mm，继续切割填补，根据所剩条状面积尺寸，先600*300或300*300的地板沿边长为600或300进行切割铺设，如图四。按800*800和300*300分别铺设，有两边不铺满的情况下，如图五。当剩余部分边长小于300mm的矩形，用300*300切割填补。对废料收集分类，提高废料利用率，确定最小支出的方案。利用率：通过查询资料及数学软件求解：地板规格（mm*mm)整块（块）被切割数（块）800*8001700600*600210600*3004646400*40041300*300225总费用42193.16利用率0.9819美化程度0.93五、解决问题1.铺设地板时应尽量选择性价比高的地板铺设。2.地板利用率与美化程度难以趋近于完美，可在保证美化程度的前提下，提高利用率。3.在实际中，应参考市场价格进行合理的规划，还有提高废料的利用率及再利用率，以达到支出总费用最小。参考文献【1】姜启源.数学建模【M】