高考数学 第五章 第三节等比数列及其前n项和课件 理.ppt

第三节等比数列及其前n项和 1 等比数列的定义 1 条件 一个数列从第二项起 等于同一个常数 2 公比 3 定义表达式 每一项与它前一项的比 常数 通常用字母q表示 q 0 即时应用 判断下列数列是否为等比数列 请在括号中填 是 或 否 1 数列0 0 0 0 0 2 数列1 1 2 4 8 16 32 3 数列a a a a a 4 数列1 1 1 1 1 解析 1 不是 等比数列中的项不能为0 2 第二项与第一项的比值不等于常数2 故不是等比数列 3 当a 0时 不满足等比数列的概念 故不一定是等比数列 4 是等比数列 答案 1 否 2 否 3 否 4 是 2 等比数列的通项公式若等比数列 an 的首项是a1 公比是q 则其通项公式为 an a1qn 1 n n 即时应用 1 等比数列 的第11项为 2 在等比数列 an 中 若a3 2 a6 16 则数列的通项公式为 解析 1 2 设等比数列的公比为q 则解得答案 1 2 an 2n 2 3 等比中项如果 成等比数列 那么g叫做a与b的等比中项 即 g是a与b的等比中项 a g b成等比数列 a g b g2 a b 即时应用 1 b2 ac是a b c成等比数列的 条件 2 若等比数列 an 的前三项依次为a 1 a 1 a 4 则它的第5项为 解析 1 当a 0 b 0 c 1时 满足b2 ac 但a b c不成等比数列 反之 若a b c成等比数列 则必有b2 ac 故b2 ac是a b c成等比数列的必要不充分条件 2 由题意知 a 1 2 a 1 a 4 解得a 5 a1 4 q 答案 1 必要不充分 2 4 等比数列的前n项和公式 1 当公比q 1时 sn 2 当公比q 1时 sn na1 即时应用 1 在等比数列 an 中 a1 2 4 q 1 5 n 5 则sn 2 在等比数列 an 中 a1 8 q an 则sn 3 设等比数列 an 的公比q 2 前n项和为sn 则 解析 1 答案 热点考向1等比数列的基本运算 方法点睛 1 等比数列运算的通性通法等比数列运算问题的一般方法是设出首项和公比 然后根据通项公式或前n项和公式转化为方程组求解 2 等比数列前n项和公式的应用在使用等比数列的前n项和公式时 应首先判断公比q能否为1 若能 应分q 1与q 1两种情况求解 提醒 在运算过程中 应善于运用整体代换的思想简化运算的过程 例1 1 2012 浙江高考 设公比为q q 0 的等比数列 an 的前n项和为sn 若s2 3a2 2 s4 3a4 2 则q 2 设等比数列 an 的前n项和为sn 已知a2 6 6a1 a3 30 求an和sn 规范解答 1 由s2 3a2 2 s4 3a4 2相减可得 a3 a4 3a4 3a2 同除以a2可得2q2 q 3 0 解得或q 1 因为q 0 所以答案 2 设 an 的公比为q 由题意得解得当a1 3 q 2时 an 3 2n 1 sn 3 2n 1 当a1 2 q 3时 an 2 3n 1 sn 3n 1 互动探究 本例 2 中 若将 a2 6 6a1 a3 30 改为 a1 a2 12 a2a4 1 试求an和sn 解析 设等比数列 an 的公比为q 由题意知 解得当a1 9 q 时 an 9 n 1 33 n sn 27 33 n 当a1 16 q 时 an 16 n 1 1 n 143 n sn 64 1 n 43 n 变式备选 1 已知sn为等比数列 an 的前n项和 sn 93 an 48 公比q 2 则项数n 2 已知四个实数 前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 首末两数之和为37 中间两数之和为36 求这四个数 解析 1 由sn 93 an 48 公比q 2 根据等比数列的前n项和公式和通项公式可得答案 5 2 方法一 设前2个数分别为a b 则第3 4个数分别为36 b 37 a 则 解得所以这四个数分别为12 16 20 25或者 方法二 设第2 3个数分别为b c 则第1个数为2b c 第4个数为 则或所以这四个数分别为12 16 20 25或者 方法三 设第1 3个数分别为a c 则第2 4个数分别为 然后根据题意可知解得或者 从而解得这四个数分别为12 16 20 25或者 热点考向2等比数列的判定与证明 方法点睛 等比数列的判定方法 1 定义法 若 q为非零常数 n n 或 q为非零常数且n 2 n n 则 an 是等比数列 2 中项公式法 若数列 an 中 an 0且an 12 an an 2 n n 则数列 an 是等比数列 3 通项公式法 若数列通项公式可写成an c qn c q均是不为0的常数 n n 则 an 是等比数列 4 前n项和公式法 若数列 an 的前n项和sn k qn k k为常数且k 0 q 0 1 则 an 是等比数列 提醒 前两种方法是判定等比数列的常用方法 常用于证明 而后两种方法常用于选择 填空题中的判定 例2 设数列 an 的前n项和为sn 已知a1 1 sn 1 4an 2 1 设bn an 1 2an 证明数列 bn 是等比数列 2 在 1 的条件下证明 是等差数列 并求an 解题指南 1 利用sn 1 4an 2 寻找bn与bn 1的关系 2 先求bn 再证明数列 是等差数列 最后求an 规范解答 1 由a1 1 及sn 1 4an 2 有a1 a2 4a1 2 a2 3a1 2 5 b1 a2 2a1 3 由sn 1 4an 2 知当n 2时 有sn 4an 1 2 得an 1 4an 4an 1 an 1 2an 2 an 2an 1 又 bn an 1 2an bn 2bn 1 bn 是首项b1 3 公比为2的等比数列 2 由 1 可得bn an 1 2an 3 2n 1 数列 是首项为 公差为的等差数列 an 3n 1 2n 2 反思 感悟 在证明本题时 首先利用转化的思想 把sn 1 4an 2转化为an 1与an的关系 然后作商或 在作商时 无论使用 还是 都要考虑比值中是否包含了这一项 这是很容易被忽视的地方 变式训练 数列 an 的前n项和为sn 若an sn n cn an 1 求证 数列 cn 是等比数列 证明 an sn n a1 s1 1 得 c1 a1 1 又an 1 sn 1 n 1 2an 1 an 1 即2 an 1 1 an 1 又 a1 1 即 数列 cn 是以为首项 以为公比的等比数列 热点考向3等比数列的性质及应用 方法点睛 等比数列的常见性质 1 若m n p q 2k m n p q k n 则am an ap aq ak2 2 通项公式的推广 an am qn m m n n 3 若数列 an bn 项数相同 是等比数列 则 an an2 an bn 0 仍然是等比数列 4 在等比数列 an 中 等距离取出若干项也构成一个等比数列 即an an k an 2k an 3k 为等比数列 公比为qk 5 若公比不为 1的等比数列 an 的前n项和为sn 则sn s2n sn s3n s2n成等比数列 其公比为qn 而当公比为 1时 则sn s2n sn s3n s2n不一定构成等比数列 例3 1 已知各项均为正数的等比数列 an 中 a1 a2 a3 5 a7 a8 a9 10 则a4 a5 a6 a b 7 c 6 d 2 已知等比数列 an 满足an 0 n 1 2 且a5 a2n 5 22n n 3 则log2a1 log2a3 log2a2n 1等于 a n 2n 1 b n 1 2 c n2 d n 1 2 解题指南 1 利用a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9成等比数列求解 2 根据a5 a2n 5 an2先求an 再代入求解 规范解答 1 选a a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9成等比数列 a4 a5 a6 2 a1 a2 a3 a7 a8 a9 50 又an 0 a4 a5 a6 2 选c a5 a2n 5 an2 22n且an 0 an 2n a2n 1 22n 1 log2a2n 1 2n 1 log2a1 log2a3 log2a2n 1 1 3 5 2n 1 n2 反思 感悟 1 解答本例 1 时 也可用整体代入的方法求解 但不如用等比数列的性质简单 2 利用等比数列的性质解决问题时 一定要注意每一项的下标 不要犯a2 a5 a7的错误 变式备选 在等比数列 an 中 an 0 若 2a4 a2 a6 a4 36 则a3 a5 解析 an 是等比数列 an 0 2a4 a2 a6 a4 2a42 a2 a4 a6 a4 a32 a52 2a3 a5 a3 a5 2 36 a3 a5 6 答案 6 1 2012 新课标全国卷 已知 an 为等比数列 a4 a7 2 a5a6 8 则a1 a10 a 7 b 5 c 5 d 7 解析 选d an 为等比数列 a5a6 a4a7 8 联立解得或 或q3 2 故a1 a10 2 2012 湖北高考 定义在 0 0 上的函数f x 如果对于任意给定的等比数列 an f an 仍是等比数列 则称f x 为 保等比数列函数 现有定义在 0 0 上的如下函数 f x x2 f x 2x f x f x ln x 则其中是 保等比数列函数 的f x 的序号为 a b c d 解析 选c 则对于可知 符合题意 对于 结果不能保证是定值 对于 可知也符合题意 此时可知结果 3 2013 福州模拟 已知等比数列 an 中 a1 2 且有a4a6 4a72 则a3 a b 1 c 2 d 解析 选b 因为 an 为等比数列 且a4a6 4a72 所以a52 4a72 即求得q2 所以a3 a1 q2 2 1 故选b 4 201