2016届河北省衡水中学高考数学二模试卷(文科)(解析版).doc

.2016年河北省衡水中学高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合M=x|x22x30，N=x|log2x0，则MN等于（）A（1，0）B（1，1）C（0，1）D（1，3）2若复数Z的实部为1，且|Z|=2，则复数Z的虚部是（）ABCiD i3若命题p：R，cos（）=cos；命题q：xR，x2+10则下面结论正确的是（）Ap是假命题Bq是真命题Cpq是假命题Dpq是真命题4设函数f（x）=，则f（f（e）=（）A0B1C2Dln（e2+1）5已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（）A1B2C3D46在等差数列an中，a1=2012，其前n项和为Sn，若=2002，则S2014的值等于（）A2011B2012C2014D20137如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90）90，100），则图中x的值等于（）A0.754B0.048C0.018D0.0128函数y=xsinx在，上的图象是（）ABCD9若函数f（x）=2sin（x+）（2x14）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）=（其中O为坐标原点）（）A32B32C72D7210双曲线C1的中心在原点，焦点在x轴上，若C1的一个焦点与抛物线C2：y2=12x的焦点重合，且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，则双曲线C1的实轴长为（）A6B2CD211已知点P是椭圆+=1（x0，y0）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值范围是（）A0，3）B（0，2）C2，3）D0，412已知函数f（x）=，若函数f（x）的图象在A、B两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（）A（2，1）B（1，2）C（1，+）D（ln2，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13若直线axby+1=0平分圆C：x2+y2+2x4y+1=0的周长，则ab的取值范围是14若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i值为15已知变量x，y满足约束条件，且目标函数z=3x+y的最小值为1，则实常数k=16在一个棱长为4的正方体内，最多能放入个直径为1的球三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知等差数列an的首项为a（aR，a0）设数列的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有（1）求数列an的通项公式及Sn；（2）是否存在正整数n和k，使得Sn，Sn+1，Sn+k成等比数列？若存在，求出n和k的值；若不存在，请说明理由18全国第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议，2014年3月在北京开幕期间为了了解国企员工的工资收入状况，从108名相关人员中用分层抽样方法抽取若干人组成调研小组，有关数据见下表：（单位：人）相关人数抽取人数一般职工63x中层27y高管182（1）求x，y；（2）若从中层、高管抽取的人员中选2人，求这二人都来自中层的概率19如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90，BA=BC把BAC沿AC折起到PAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示，点E、F分别为棱PC、CD的中点（1）求证：平面OEF平面APD；（2）求证：CD平面POF；（3）若AD=3，CD=4，AB=5，求三棱锥ECFO的体积20已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P（2，3），Q（2，3）在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由21已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）对于任意的非零实数k，证明不等式（e+k2）ln（e+k2）e+2k2恒成立选修4-1：几何证明选讲22如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E（）求证ABPC=PAAC（）求ADAE的值选修4-4：坐标系与参数方程选讲23已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为（为参数）点A，B是曲线C上两点，点A，B的极坐标分别为（1，），（2，）（）写出曲线C的普通方程和极坐标方程；（）求|AB|的值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x2|2xa|，aR（1）当a=3时，解不等式f（x）0；（2）当x（，2）时，f（x）0恒成立，求a的取值范围2016年河北省衡水中学高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合M=x|x22x30，N=x|log2x0，则MN等于（）A（1，0）B（1，1）C（0，1）D（1，3）【考点】交集及其运算【分析】利用一元二次不等式和对数函数的知识分别求出集合M和集合N，由此能求出MN【解答】解：集合M=x|x22x30=x|1x3，N=x|log2x0=x|0x1，MN=x|0x1=（0，1）故选：C2若复数Z的实部为1，且|Z|=2，则复数Z的虚部是（）ABCiD i【考点】复数求模【分析】设出复数，然后利用复数的模求解即可【解答】解：复数Z的实部为1，设Z=1+bi|Z|=2，可得=2，解得b=复数Z的虚部是故选：B3若命题p：R，cos（）=cos；命题q：xR，x2+10则下面结论正确的是（）Ap是假命题Bq是真命题Cpq是假命题Dpq是真命题【考点】复合命题的真假【分析】先判定命题p、q的真假性，再判定各选项是否正确【解答】解：=0时，cos（0）=cos=cos0=1；命题p：R，cos（）=cos是真命题；xR，x2+110，命题q是真命题；A中p是假命题是错误的；B中q是真命题是错误的；C中pq是假命题是错误的；D中pq是真命题正确；故选：D4设函数f（x）=，则f（f（e）=（）A0B1C2Dln（e2+1）【考点】函数的值【分析】从里到外根据自变量的范围选择解析式、逐一求解【解答】解：f（e）=lne=1，所以f（f（e）=f（1）=12+1=2故选C5已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（）A1B2C3D4【考点】由三视图还原实物图【分析】由题意可知，几何体为三棱锥，将其放置在长方体模型中即可得出正确答案【解答】解：由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示（图中红色部分），利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形故选：D6在等差数列an中，a1=2012，其前n项和为Sn，若=2002，则S2014的值等于（）A2011B2012C2014D2013【考点】数列递推式【分析】先根据等差数列的性质和前n项和公式，求出公差，即可求出答案【解答】解：在等差数列an中，an=a1+（n1）d，则其前n项和为Sn=na1+，S2012=2012（2012）+10062011d，S10=10（2012）+59d，=2012+d+2012d=1001d=2002，d=2，S2014=2014（2012）+2=2014（2012+2013）=2014，故选：C7如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90）90，100），则图中x的值等于（）A0.754B0.048C0.018D0.012【考点】频率分布直方图【分析】根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；【解答】解：由图得300.006+100.01+100.054+10x=1，解得x=0.018故选C8函数y=xsinx在，上的图象是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】本题可采用排除法解答，先分析出函数的奇偶性，再求出和f（）的值，排除不满足条件的答案，可得结论【解答】解：y=x和y=sinx均为奇函数根据“奇奇=偶”可得函数y=f（x）=xsinx为偶函数，图象关于y轴对称，所以排除D又，排除B又f（）=sin=0，排除C，故选A9若函数f（x）=2sin（x+）（2x14）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）=（其中O为坐标原点）（）A32B32C72D72【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；平面向量数量积的运算【分析】由f（x）=2sin（x+）=0，结合已知x的范围可求A，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解【解答】解：由f（x）=2sin（x+）=0可得x+=kx=8k2，kZ2x14x=6即A（6，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点B，C 两点关于A对称即x1+x2=12，y1+y2=0则（+）=（x1+x2，y1+y2）（6，0）=6（x1+x2）=72故选：D10双曲线C1的中心在原点，焦点在x轴上，若C1的一个焦点与抛物线C2：y2=12x的焦点重合，且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，则双曲线C1的实轴长为（）A6B2CD2【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可得双曲线C1的一个焦点为（3，0），c=3，可设双曲线C1的方程为再根据抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，求得a的值，可得双曲线C1的实轴长2a的值【解答】解：由题意可得双曲线C1的一个焦点为（3，0），c=3，可设双曲线C1的方程为由，解得 y=，2=4，解得a=，双曲线C1的实轴长为2a=2，故选：D11已知点P是椭圆+=1（x0，y0）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值范围是（）A0，3）B（0，2）C2，3）D0，4【考点】椭圆的简单性质；椭圆的定义【分析】延长PF2，与F1M 交与点G，由条件判断三角形PF1G为等腰三角形，OM为三角形F1F2G的中位线，故OM=F2G=|PF1PF2|=|2a2PF2|，再根据PF2的最值域，求得OM的最值，从而得到结论【解答】解：延长PF2，与F1M 交与点G，则PM是F1PG 的角平分线由=0可得 F1M垂直PM，可得三角形PF1G为等腰三角形，故M为F1G的中点，由于O为F1F2的中点，则OM为三角形F1F2G的中位线，故OM=F2G由于PF1=PG，所以F2G=PF1PF2，OM=|PF1PF2|=|2a2PF2|问题转化为求PF2的最值而PF2的最小值为ac，PF2的最大值为a+c，即PF2的值域为ac，a+c故当PF2=a+c，或PF2=ac时，|OM|取得最大值为|2a2PF2|=|2a2（ac）|=c=2；当PF2=a时，P在y轴上，此时，G与PF2重合，M与O重合，|OM|取得最小值为0，|OM|的取值范围是（0，），故选：B12已知函数f（x）=，若函数f（x）的图象在A、B两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（）A（2，1）B（1，2）C（1，+）D（ln2，+）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出a=lnx2（1）21，构造h（t）=lnt+t2t，（0t1），最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围【解答】解：当x0时，f（x）=x2+x+a的导数为f（x）=2x+1；当x0时，f（x）=lnx的导数为f（x）=，设A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）为该函数图象上的两点，且x1x2，当x1x20，或0x1x2时，f（x1）f（x2），故x10x2，当x10时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）处的切线方程为y（x12+x1+a）=（2x1+1）（xx1）；当x20时，函数f（x）在点B（x2，f（x2）处的切线方程为ylnx2=（xx2）两直线重合的充要条件是=2x1+1，lnx21=x12+a，由及x10x2得01，由得a=lnx2（1）21，令t=，则0t1，且a=lnt+t2t，设h（t）=lnt+t2t，（0t1）则h（t）=+t0，即h（t）在（0，1）为减函数，则h（t）h（1）=ln11=1，则a1，可得函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围是（1，+）故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13若直线axby+1=0平分圆C：x2+y2+2x4y+1=0的周长，则ab的取值范围是【考点】直线与圆相交的性质【分析】依题意知直线axby+1=0过圆C的圆心（1，2），故有a+2b=1，再利用ab=（12b）b之和为 二次函数的最值，求得ab的取值范围【解答】解：直线axby+1=0平分圆C：x2+y2+2x4y+1=0的周长，直线axby+1=0过圆C的圆心（1，2），有a+2b=1，ab=（12b）b=2（b）2+，ab的取值范围是（，故答案为：14若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i值为8【考点】程序框图【分析】根据框图流程依次计算运行的结果，直到满足条件n=1，求得此时i的值，即可得解【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行n=10，i=2；第二次运行n=5，i=3；第三次运行n=35+1=16，i=4；第四次运行n=8，i=5；第五次运行n=4，i=6；第六次运行n=2，i=7；第七次运行n=1，i=8满足条件n=1，程序运行终止，输出i=8故答案为：815已知变量x，y满足约束条件，且目标函数z=3x+y的最小值为1，则实常数k=9【考点】简单线性规划【分析】由题意作平面区域，化简目标函数z=3x+y为y=3x+z，从而利用数形结合求解【解答】解：由题意作平面区域如下，结合图象可知，当过点A（x，2）时，目标函数z=3x+y取得最小值1，故3x+2=1，解得，x=1，故A（1，2），故1=42k，故k=9，故答案为：916在一个棱长为4的正方体内，最多能放入66个直径为1的球【考点】球内接多面体【分析】根据球体的特点，最多应该是放5层，确定各层的个数，进一步求出最多可以放入小球的个数即可【解答】解：根据球体的特点，最多应该是放5层，第一层能放16个；第2层放在每4个小球中间的空隙，共放9个；第3层继续往空隙放，可放16个；第4层同第2层放9个；第5层同第1、3层能放16个，所以最多可以放入小球的个数：16+9+16+9+16=66（个）故答案为：66三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知等差数列an的首项为a（aR，a0）设数列的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有（1）求数列an的通项公式及Sn；（2）是否存在正整数n和k，使得Sn，Sn+1，Sn+k成等比数列？若存在，求出n和k的值；若不存在，请说明理由【考点】等差数列的前n项和；等比关系的确定；数列的求和【分析】（1）设等差数列an的公差为d，把n=1代入已知式子可得=3，可得d=2a，可得通项公式，进而可得前n项和；（2）由（1）知，进而可得Sn+1，Sn+k的表达式，由等比数列可得S2n+1=SnSn+k，化简可得n（k2）=1，由于n、k均是正整数，可得n=1，k=3【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，在中，令n=1 可得=3，即故d=2a，an=a1+（n1）d=（2n1）a经检验，恒成立所以an=（2n1）a，Sn=1+3+（2n1）a=n2a，（2）由（1）知，假若Sn，Sn+1，Sn+k成等比数列，则S2n+1=SnSn+k，即知a2（n+1）4=an2a（n+k）2，又a0，n，kN*，（n+1）2=n（n+k），整理可得n（k2）=1，由于n、k均是正整数，n=1，k=3故存在正整数n=1和k=3符合题目的要求18全国第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议，2014年3月在北京开幕期间为了了解国企员工的工资收入状况，从108名相关人员中用分层抽样方法抽取若干人组成调研小组，有关数据见下表：（单位：人）相关人数抽取人数一般职工63x中层27y高管182（1）求x，y；（2）若从中层、高管抽取的人员中选2人，求这二人都来自中层的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法【分析】本题的关键是利用分层抽样的基本理论求出一般职工、中层被抽出的人数，在根据古典概型的计算方法求出概率【解答】解：（1）由分层抽样可知，所以x=7，y=3（2）记从中层抽取的3人为b1，b2，b3，从高管抽取的2人为c1，c2，则抽取的5人中选2人的基本事件有：（b1，b2），（b1，b3），（b1，c1），（b1，c2），（b2，b3），（b2，c1），（b2，c2），（b3，c1），（b3，c2），（c1，c2）共10种设选中的2人都来自中层的事件为A，则A包含的基本事件有：（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共3种因此故选中的2人都来自中层的概率为0.319如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90，BA=BC把BAC沿AC折起到PAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示，点E、F分别为棱PC、CD的中点（1）求证：平面OEF平面APD；（2）求证：CD平面POF；（3）若AD=3，CD=4，AB=5，求三棱锥ECFO的体积【考点】平面与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）证明平面OEF平面APD，只需证明OE平面PAD，OF平面PAD；（2）证明CD平面POF，只需证明OFCD，POCD；（3）求出以，E到平面CFO的距离为，利用体积公式，即可求三棱锥ECFO的体积【解答】（1）证明：因为点P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，所以PO平面ADC，所以POAC 因为AB=BC，所以O是AC中点，所以OEPA，因为PA平面PAD所以OE平面PAD同理OF平面PAD又OEOF=O，OE、OF平面OEF所以平面OEF平面APD； （2）证明：因为OFAD，ADCD所以OFCD又PO平面ADC，CD平面ADC所以POCD 又OFPO=O所以CD平面POF； （3）解：因为ADC=90，AD=3，CD=4，所以，而点O，E分别是AC，CD的中点，所以，由题意可知ACP为边长为5的等边三角形，所以高，即P点到平面ACD的距离为，又E为PC的中点，所以E到平面CFO的距离为，故20已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P（2，3），Q（2，3）在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由已知条件设椭圆C的方程为，并且b=2，由此能求出椭圆C的方程（2）由已知条件设PA的直线方程为y3=k（x2），PB的直线方程为y3=k（x2），A（x1，y1），B（x2，y2），由已知条件推导出，由此能求出AB的斜率为定值【解答】解：（1）椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，设椭圆C的方程为，ab0，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点，b=2，a2=b2+c2，a=4，椭圆C的方程为（2）当APQ=BPQ时，PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜为k，则PB的斜率为k，设A（x1，y1），B（x2，y2），设PA的直线方程为y3=k（x2），由，消去y并整理，得：（3+4k2）x2+8（32k）kx+4（32k2）48=0，设PB的直线方程为y3=k（x2），同理，得=，kAB=，AB的斜率为定值21已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）对于任意的非零实数k，证明不等式（e+k2）ln（e+k2）e+2k2恒成立【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）求得f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，可得极大值，无极小值；（2）由题意可得要证原不等式成立，令x=e+k2，可得原不等式即为xlnx2xe，即证xe时，即xlnx2x+e0，令g（x）=xlnx2x+e（xe），求出导数，判断单调性，即可得证【解答】解：（1）函数f（x）=（x0）的导数为f（x）=，令=0，可得x=e，当xe时，f（x）0；当0xe时，f（x）0可得f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+）；f（x）的极大值为f（e）=，无极小值；（2）证明：要证原不等式成立，令x=e+k2，可得原不等式即为xlnx2xe，即证xe时，xlnx2xe，即xlnx2x+e0，令g（x）=xlnx2x+e（xe），可得g（x）=1+lnx2=lnx1，当xe时，g（x）0，g（x）递增；即有g（x）g（e）=elne2e+e=0，则xe时，xlnx2xe成立，即有对于任意的非零实数k，不等式（e+k2）ln（e+k2）e+2k2恒成立选修4-1：几何证明选讲22如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E（）求证ABPC=PAAC（）求ADAE的值【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）由已知条件推导出PABPCA，由此能够证明ABPC=PAAC（2）由切割线定理求出PC=40，BC=30，由已