空间向量及其运算

精品文档 1欢迎下载 8 58 5 空间向量及其运算空间向量及其运算 1 空间向量的概念 1 定义 空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量 2 向量的夹角 过空间任意一点O作向量a a b b的相等向量和 则 AOB叫作向量 OA OB a a b b的夹角 记作 a a b b 0 a a b b 2 共线向量定理和空间向量基本定理 1 共线向量定理 对空间任意两个向量a a b b b b 0 a a b b的充要条件是存在实数 使得a a b b 2 空间向量基本定理 如果向量e e1 1 e e2 2 e e3 3是空间三个不共面的向量 a a是空间任一向量 那么存在唯一一组 实数 1 2 3使得a a 1e e1 2e e2 3e e3 其中e e1 e e2 e e3叫作空间的一个基底 3 空间向量的数量积及运算律 1 定义 空间两个向量a a和b b的数量积是一个数 等于 a a b b cos a a b b 记作a a b b 2 空间向量数量积的运算律 结合律 a a b b a a b b 交换律 a a b b b b a a 分配律 a a b b c c a a b b a a c c 4 空间向量的坐标表示及应用 1 数量积的坐标运算 设a a a1 a2 a3 b b b1 b2 b3 则a a b b a1b1 a2b2 a3b3 2 共线与垂直的坐标表示 设a a a1 a2 a3 b b b1 b2 b3 则a a b b a a b b a1 b1 a2 b2 a3 b3 R R a a b b a a b b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 a a b b均为非零向量 3 模 夹角公式 设a a a1 a2 a3 b b b1 b2 b3 精品文档 2欢迎下载 则 a a a a a aa2 1 a2 2 a2 3 cos a a b b a a 0 b b 0 a a b b a a b b a1b1 a2b2 a3b3 a2 1 a2 2 a2 3 b2 1 b2 2 b2 3 1 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 空间中任意两非零向量a a b b共面 2 在向量的数量积运算中 a a b b c c a a b b c c 3 对于非零向量b b 由a a b b b b c c 则a a c c 4 两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同 5 若A B C D是空间任意四点 则有 0 AB BC CD DA 6 a a b b a a b b 是a a b b共线的充要条件 2 如图所示 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 M为A1C1与B1D1 的交点 若 a a b b c c 则下列向量中与相等的向 AB AD AA1 BM 量是 A a a b b c c B a a b b c c 1 2 1 2 1 2 1 2 C a a b b c c D a a b b c c 1 2 1 2 1 2 1 2 答案 A 解析 BM BB1 B1M AA1 1 2 AD AB c c b b a a a a b b c c 1 2 1 2 1 2 3 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 点E为上底面A1C1的中心 若 x y 则 AE AA1 AB AD x y的值分别为 A x 1 y 1 B x 1 y 1 2 C x y D x y 1 1 2 1 2 1 2 答案 C 解析 如图 AE AA1 A1E AA1 1 2A1C1 AA1 1 2 AB AD 4 同时垂直于a a 2 2 1 和b b 4 5 3 的单位向量是 精品文档 3欢迎下载 答案 或 1 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 3 解析 设与a a 2 2 1 和b b 4 5 3 同时垂直的单位向量是c c p q r 则Error Error 解得Error Error 或Error Error 即同时垂直于a a b b的单位向量为 或 1 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 3 5 在四面体O ABC中 a a b b c c D为BC的中点 E为 OA OB OC AD的中点 则 用a a b b c c表示 OE 答案 a a b b c c 1 2 1 4 1 4 解析 OE 1 2OA 1 2OD 1 2OA 1 4OB 1 4OC a a b b c c 1 2 1 4 1 4 题型一 空间向量的线性运算 例 1 三棱锥O ABC中 M N分别是OA BC的中点 G是 ABC 的重心 用基向量 表示 OA OB OC MG OG 思维启迪 利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可 解 MG MA AG 1 2OA 2 3AN 1 2OA 2 3 ON OA 1 2OA 2 3 1 2 OB OC OA 1 6OA 1 3OB 1 3OC OG OM MG 1 2OA 1 6OA 1 3OB 1 3OC 1 3OA 1 3OB 1 3OC 思维升华 用已知向量来表示未知向量 一定要结合图形 以图形为指导是解题的关 精品文档 4欢迎下载 键 要正确理解向量加法 减法与数乘运算的几何意义 首尾相接的若干向量之和 等 于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 我们可把这个法则称为向量加法的多 边形法则 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 O为AC的中 点 1 化简 A1O 1 2AB 1 2AD 2 用 表示 则 AB AD AA1 OC1 OC1 答案 1 2 A1A 1 2AB 1 2AD AA1 解析 1 A1O 1 2AB 1 2AD A1O 1 2AC A1O AO A1A 2 OC1 OC CC1 1 2AB 1 2AD AA1 题型二 共线定理 空间向量基本定理的应用 例 2 已知E F G H分别是空间四边形ABCD的边AB BC CD DA的中点 1 求证 E F G H四点共面 2 求证 BD 平面EFGH 3 设M是EG和FH的交点 求证 对空间任一点O 有 OM 1 4 OA OB OC OD 思维启迪 对于 1 只要证出向量 即可 对于 2 只要证出与共线即可 EG EF EH BD EH 对于 3 易知四边形EFGH为平行四边形 则点M为线段EG与FH的中点 于是向量 可由向量和表示 再将与分别用向量 和向量 表示 OM OG OE OG OE OC OD OA OB 证明 1 连接BG 则 EG EB BG EB 1 2 BC BD EB BF EH EF EH 由共面向量定理的推论知 E F G H四点共面 2 因为 EH AH AE 精品文档 5欢迎下载 1 2AD 1 2AB 1 2 AD AB 1 2BD 所以EH BD 又EH 平面EFGH BD平面EFGH 所以BD 平面EFGH 3 找一点O 并连接OM OA OB OC OD OE OG 由 2 知 同理 EH 1 2BD FG 1 2BD 所以 即EH綊FG EH FG 所以四边形EFGH是平行四边形 所以EG FH交于一点M且被M平分 故 OM 1 2 OE OG 1 2OE 1 2OG 1 2 1 2 OA OB 1 2 1 2 OC OD 1 4 OA OB OC OD 思维升华 1 证明点共线的方法 证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题 如证明A B C三点共线 即证明 AB 共线 亦即证明 0 AC AB AC 2 证明点共面的方法 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题 如要证明P A B C四点共面 只要能 证明 x y或对空间任一点O 有 x y或 PA PB PC OA OP PB PC x y zOC x y z 1 即可 共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直 OP OA OB 线共面的充要条件 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 E是A1B上的点 F是AC上的点 且A1E 2EB CF 2AF 则EF与平面A1B1CD 的位置关系为 答案 平行 解析 取 a a b b c c为基底 AB AD AA1 易得 a a b b c c EF 1 3 而 a a b b c c 即 故EF DB1 DB1 EF DB1 精品文档 6欢迎下载 且EF平面A1B1CD DB1 平面A1B1CD 所以EF 平面A1B1CD 题型三 空间向量数量积的应用 例 3 如图所示 已知空间四边形AB CD的各边和对角线的长都等于a 点M N分别是AB CD的中点 1 求证 MN AB MN CD 2 求MN的长 3 求异面直线AN与CM所成角的余弦值 思维启迪 两条直线的垂直关系可以转化为两个向量的垂直关系 利用 a a 2 a a a a可以 求线段长 利用 cos 可求两条直线所成的角 a a b b a a b b 1 证明 设 p p q q r r AB AC AD 由题意可知 p p q q r r a 且p p q q r r三向量两两夹角均为 60 q q r r p p MN AN AM 1 2 AC AD 1 2AB 1 2 q q r r p p p p q q p p r r p p p p2 MN AB 1 2 1 2 a2cos 60 a2cos 60 a2 0 1 2 MN AB 即MN AB 同理可证MN CD 2 解 由 1 可知 q q r r p p MN 1 2 2 q q r r p p 2 MN 1 4 q q2 r r2 p p2 2 q q r r p p q q r r p p 1 4 a2 a2 a2 2 1 4 a2 2 a2 2 a2 2 2a2 1 4 a2 2 a MN 2 2 MN的长为a 2 2 精品文档 7欢迎下载 3 解 设向量与的夹角为 AN MC q q r r AN 1 2 AC AD 1 2 q q p p MC AC AM 1 2 q q r r q q p p AN MC 1 2 1 2 q q2 q q p p r r q q r r p p 1 2 1 2 1 2 a2 a2cos 60 a2cos 60 a2cos 60 1 2 1 2 1 2 a2 1 2 a2 4 a2 2 a2 4 a2 2 又 a AN MC 3 2 cos a a cos AN MC AN MC 3 2 3 2 a2 2 cos 2 3 向量与的夹角的余弦值为 从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为 AN MC 2 3 2 3 思维升华 1 当题目条件有垂直关系时 常转化为数量积为零进行应用 2 当异面直线所成的角为 时 常利用它们所在的向量转化为向量的夹角 来进行计 算 应该注意的是 0 0 所以 cos cos 2 a a b b a a b b 3 立体几何中求线段的长度可以通过解三角形 也可依据 a a 转化为向量求解 a a2 已知空间中三点A 2 0 2 B 1 1 2 C 3 0 4 设a a b b AB AC 1 求向量a a与向量b b的夹角的余弦值 2 若ka a b b与ka a 2b b互相垂直 求实数k的值 解 1 a a 1 1 0 b b 1 0 2 a a b b 1 1 0 1 0 2 1 又 a a 12 12 022 b b 1 2 02 225 cos a a b b a a b b a a b b 1 10 10 10 精品文档 8欢迎下载 即向量a a与向量b b的夹角的余弦值为 10 10 2 方法一 ka a b b k 1 k 2 ka a 2b b k 2 k 4 且ka a b b与ka a 2b b互相垂直 k 1 k 2 k 2 k 4 k 1 k 2 k2 8 0 k 2 或k 5 2 当ka a b b与ka a 2b b互相垂直时 实数k的值为 2 或 5 2 方法二 由 1 知 a a b b a a b b 1 25 ka a b b ka a 2b b k2a a2 ka a b b 2b b2 2k2 k 10 0 得k 2 或k 5 2 两向量同向 意义不清致误 典例 5 分 已知向量a a 1 2 3 b b x x2 y 2 y 并且a a b b同向 则x y的值 分别为 易错分析 将a a b b同向和a a b b混淆 没有搞清a a b b的意义 a a b b方向相同或相反 解析 由题意知a a b b 所以 x 1 x2 y 2 2 y 3 即Error Error 把 代入 得x2 x 2 0 x 2 x 1 0 解得x 2 或x 1 当x 2 时 y 6 当x 1 时 y 3 当Error Error 时 b b 2 4 6 2a a 两向量a a b b反向 不符合题意 所以舍去 当Error Error 时 b b 1 2 3 a a a a与b b同向 所以Error Error 答案 1 3 温馨提醒 1 两向量平行和两向量同向不是等价的 同向是平行的一种情况 两向量同向 能推出两向量平行 但反过来不成立 也就是说 两向量同向 是 两向量平行 的 充分不必要条件 2 若两向量a a b b满足a a b b b b 0 且 0 则a a b b同向 在a a b b的坐标都是非零的条 精品文档 9欢迎下载 件下 a a b b的坐标对应成比例 方法与技巧 1 利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础 2 利用共线向量定理 共面向量定理可以证明一些平行 共面问题 利用数量积运算可以 解决一些距离 夹角问题 3 利用向量解立体几何题的一般方法 把线段或角度转化为向量表示 用已知向量表示未 知向量 然后通过向量的运算或证明去解决问题 失误与防范 1 向量的数量积满足交换律 分配律 但不满足结合律 即a a b b b b a a a a b b c c a a b b a a c c 成立 a a b b c c a a b b c c 不一定成立 2 求异面直线所成的角 一般可以转化为两向量的夹角 但要注意两种角的范围不同 最 后应进行转化 A 组 专项基础训练 时间 40 分钟 一 选择题 1 空间直角坐标系中 A 1 2 3 B 2 1 6 C 3 2 1 D 4 3 0 则直线AB与 CD的位置关系是 A 垂直 B 平行 C 异面 D 相交但不垂直 答案 B 解析 由题意得 3 3 3 1 1 1 AB CD 3 AB CD 与共线 又与没有公共点 AB CD AB CD AB CD 2 已知O A B C为空间四个点 又 为空间的一个基底 则 OA OB OC A O A B C四点不共线 精品文档 10欢迎下载 B O A B C四点共面 但不共线 C O A B C四点中任意三点不共线 D O A B C四点不共面 答案 D 解析 为空间的一个基底 所以 不共面 但 A B C 三种情况都有 OA OB OC OA OB OC 可能使 共面 OA OB OC 3 已知a a 1 0 2 b b 6 2 1 2 若a a b b 则 与 的值可以是 A 2 B 1 2 1 3 1 2 C 3 2 D 2 2 答案 A 解析 由题意知 Error Error 解得Error Error 或Error Error 4 空间四点A 2 3 6 B 4 3 2 C 0 0 1 D 2 0 2 的位置关系是 A 共线 B 共面 C 不共面 D 无法确定 答案 C 解析 2 0 4 2 3 5 0 3 4 AB AC AD 假设四点共面 由共面向量定理得 存在实数x y 使 x y 即Error Error AD AB AC 由 得x y 1 代入 式不成立 矛盾 假设不成立 故四点不共面 5 如图所示 已知空间四边形OABC OB OC 且 AOB AOC 3 则 cos 的值为 OA BC A 0 B 1 2 C D 3 2 2 2 答案 A 解析 设 a a b b c c 则 b b c c OA OB OC a a b b a a c c c c b b 3 BC 精品文档 11欢迎下载 a a c c b b a a c c a a b b OA BC a a c c cos a a b b cos 0 3 3 cos 0 OA BC OA BC 二 填空题 6 已知 2a a b b 0 5 10 c c 1 2 2 a a c c 4 b b 12 则以b b c c为方向 向量的两直线的夹角为 答案 60 解析 由题意得 2a a b b c c 0 10 20 10 即 2a a c c b b c c 10 又 a a c c 4 b b c c 18 cos b b c c b b c c b b c c 18 12 1 4 4 1 2 b b c c 120 两直线的夹角为 60 7 已知a a 1 t 1 t t b b 2 t t 则 b b a a 的最小值为 答案 35 5 解析 b b a a 1 t 2t 1 0 b b a a 1 t 2 2t 1 2 5 t 1 5 2 9 5 当t 时 b b a a 取得最小值 1 5 35 5 8 如图所示 已知PA 平面ABC ABC 120 PA AB BC 6 则 PC等于 答案 12 解析 因为 PC PA AB BC 所以 2 2 2 2 2 PC PA AB BC AB BC 36 36 36 2 36cos 60 144 所以 12 PC 三 解答题 9 已知向量a a 1 3 2 b b 2 1 1 点A 3 1 4 B 2 2 2 1 求 2a a b b 精品文档 12欢迎下载 2 在直线AB上是否存在一点E 使得 b b O为原点 OE 解 1 a a 1 3 2 b b 2 1 1 2a a b b 0 5 5 2a a b b 5 02 5 2 522 2 假设存在点E 其坐标为E x y z 则 AE AB 即 x 3 y 1 z 4 1 1 2 Error Error E 3 1 2 4 3 1 2 4 OE 又 b b 2 1 1 b b OE b b 2 3 1 2 4 5 9 0 OE E 9 5 6 5 14 5 2 5 在直线AB上存在点E 使 b b 6 5 14 5 2 5 OE 10 如图所示 四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面为平行四边形 以顶点A为端点的三条棱长都为 1 且两两夹角为 60 1 求AC1的长 2 求BD1与AC夹角的余弦值 解 记 a a b b c c AB AD AA1 则 a a b b c c 1 a a b b b b c c c c a a 60 a a b b b b c c c c a a 1 2 1 2 a a b b c c 2 AC1 a a2 b b2 c c2 2 a a b b b b c c c c a a 1 1 1 2 6 1 2 1 2 1 2 即AC1的长为 AC1 66 2 b b c c a a a a b b BD1 AC BD1 2 AC 3 精品文档 13欢迎下载 b b c c a a a a b b BD1 AC b b2 a a2 a a c c b b c c 1 cos BD1 AC BD1 AC BD1 AC 6 6 BD1与AC夹角的余弦值为 6 6 B 组 专项能力提升 时间 30 分钟 1 若向量c c垂直于不共线的向量a a和b b d d a a b b R R 且 0 则 A c c d d B c c d d C c c不平行于d d c c也不垂直于d d D 以上三种情况均有可能 答案 B 解析 由题意得 c c垂直于由a a b b确定的平面 d d a a b b d d与a a b b共面 c c d d 2 以下命题中 正确的命题个数为 若a a b b共线 则a a与b b所在直线平行 若 a a b b c c 为空间一个基底 则 a a b b b b c c c c a a 构成空间的另一个基底 若空间向量m m n n p p满足m m n n n n p p 则m m p p 对空间任意一点O和不共线三点A B C 若 x y z 其中x y z R R OP OA OB OC 则P A B C四点共面 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 由共线向量知a a与b b所在直线可能重合知 错 若a a b b b b c c c c a a共面 则存在实数x y 使a a b b x b b c c y c c a a ya a xb b x y c c a a b b c c不共面 y 1 x 1 x y 0 x y无解 a a b b b b c c c c a a 能构成空间的一个基底 正确 由向量相等的定义知 正确 由共面向量定理的推论知 当x y z 1 时 P A B C四点共面 不正确 故 选 B 精品文档 14欢迎下载 3 如图 在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是A1B1 和BB1的中点 那么