《 抛物线的性质》 第二课时教学案例.doc

几何画板技术与教学实际的整合 抛物线的性质第二课时教学案例饶庆军背景分析: 本节课是在学生学习了抛物线的基本性质的基础上进行的，是对抛物线的性质在运用上的进一步的认识。既要注重知识的前后联系，也要体现了知识的灵活性、趣味性和创新性特点。教学中力求实现以教师为主导，以学生为主体，充分结合多媒体技术，以“形”为诱导，以抛物线的三种弦为载体，以培养学生的思维能力，探究能力为重点的教学思想。数形结合的思想始终贯穿其中，体现了新课标的一些基本理念。教学目标:知识目标：抛物线的相关的基本性质。能力目标：对抛物线的基本性质进行简单乃至较复杂的运用。情感与态度目标：通过数形结合提高学习数学的兴趣，体现数学的美学价值。教学重点及难点：围绕抛物线的一些基本性质解决抛物线的三种弦的相关问题。教学关键：如何利用多媒体技术与教学实际进行整合。教学方法：启发引导，创设情景，注重探究。案例过程：如图1投影一条带有垂直于对称轴的弦抛物线的图象。并拖动这条弦，且使弦始终与对称轴垂直。学生很惊奇这一动态的演示。师：这是一条抛物线的垂直于对成轴的弦，大家一定很奇怪这条动态的弦是怎么作出来的。教师演示：在抛物线上任取原点除外的一点。以x轴为镜面反射出另一点，然后连接这两点，作出这条弦。师：大家有没有发现我在作这条弦时用到了抛物线的那条性质呢？生：抛物线的对称性。师：很好，今天我们就先来研究抛物线的第一种特殊弦-和对称轴垂直的弦。连接抛物线的顶点和该弦的两个端点，并投影出问题1：已知抛物线y2=2px（p0）,弦ABx轴,AOB=60o，求弦AB的长.（如图2） 学生很快利用该弦的特点和抛物线的对称性解出AB=2yA=4p.师：那么以抛物线的顶点0为一个顶点的内接正三角形OAB的边AB一定关于抛物线的对称轴对称吗？接着投影出问题2：已知点A、B为抛物线y2=2px(p0)上两点，若|OA|=|OB|, 求证:弦ABx轴.一名同学也很快利用点A、B在抛物线上，它们的坐标满足抛物线的方程，以及条件|OA|=|OB|，证出|yA|=|yB|,即弦ABx轴. 师：以上两个问题其实是我对教材121页的例3所给问题的一个分解，该问题可以充分利用抛物线的与对称轴垂直的弦的特点，来解决抛物线内接正三角形的边长问题，但边AB与x轴垂直是要证明的，这也充分体现了数学解题思维的严谨性，当然我们以后还是可以直接利用这一结论的。如图3再投影一条带有焦点弦的抛物线的图象。并拖动这条弦，且使弦始终过焦点。学生对新的动态演示又产生很高的兴趣。师：这是抛物线的一条焦点弦，大家也一定好奇这条弦我又是如何作出来的。其实我开始作了一个尝试，但是却失败了。演示：在抛物线上取顶点外一点，并与焦点F确定一条直线，结果该直线与抛物线的另一个交点却显示不出来，隐藏了直线就无法连出焦点弦。师：看来作出该直线与抛物线的另一个交点是作出焦点弦的关键，不过这次我先不演示我的做法，大家先看我给出的几个问题，在解决了这几个问题之后便会知道我是如何作出来的。问题1：已知抛物线y2=2px(p0)，过通径AB的端点B作BQ平行x轴交准线于Q点，求证：A、0、Q三点共线. （如图4）学生利用A（,p）,O(0,0),Q(,-p),得出kAO=kBO,从而证出A、0、Q三点共线.拖动A点，把通径变成一条一般的焦点弦（图5），并投影出问题2：已知抛物线y2=2px(p0)，过焦点弦AB的端点B作BQ平行x轴交准线于Q点，求证：A、0、Q三点共线.由于失去了通径的特殊性，学生按照问题1的思路虽可设出A（x1,y1）,O(0,0),Q(,y2), 及算出kAO= =, kBO=,如何证明 kAO=kBO还是存在障碍，此时点拨利用教材习题中抛物线的一个很隐蔽的性质结论，即以x轴为对称轴的抛物线的焦点弦的端点的纵坐标之积y1 y2=-p2,该问题便迎刃而解了。师：问题2还可以引申出几个变式问题，都可利用结论y1 y2=-p2加以解决，例如变式1：已知抛物线y2=2px(p0)，过焦点的直线与抛物线交于AB两点，经过点A和抛物线顶点的直线交准线于点Q，则BQ平行x轴（教材习题）. 变式2：已知抛物线y2=2px(p0)，点A是抛物线上除顶点外任意一点，直线AO交准线于Q点，过Q作x轴的平行线，交直线AF于B点，则点B必在抛物线上。（如图6）师：变式2其实已经帮我们把AF与抛物线的另一个交点作出来了。下面我给大家作个演示。演示：在抛物线上取顶点外一点A，并与焦点F确定一条直线AF，再连结AO交准线于Q点，过Q作x轴的平行线，交直线AF于B点，用线段连接A、B两点，然后隐藏直线AQ、BQ和AB，一条漂亮的动态的焦点弦便作了出来！如图7再投影一条带有定长弦的抛物线的图象，拖动定长弦，并让学生观察弦的特点。师：该弦有什么特征？生：运动过程中长度保持不变。师：不错，该弦是长度不变的动弦，我们可以称其为定长弦，对于定长弦也有一个很经典的问题，大家请看问题：已知抛物线y2=2px(p0)，动弦AB的长为定值m(m2p)，求AB中点M横坐标的最小值.经过一段时间思考，学生普遍感到手足无措，无从下手。师：由于这种弦只是长度不变，缺乏与x轴垂直或过焦点的特殊性,确实很难入手，但请大家观察，现在我连结AF和BF，这两条线段可称作什么？（如图8）生：焦半径。师：而且当AB不过焦点时，A、B、F三点确定一个三角形，现在大家能否利用三角形的三边的关系定理及焦半径公式找出AB中点坐标与线段AB长度的关系？于是有学生很快得出|AB|师：这样显然是没有最小值的，该不等式能取到等号吗？生：可以，当该弦刚好过焦点时。师：定长弦在运动过程中一定能保证可以过焦点吗？生：不一定，过焦点的弦不应小于通径，而该题目已经给出了该定长弦不小于通径的条件。师：很好，问题解决了，可能同学们还有一个疑问，这种弦老师又是怎么作出来的，不过这次老师可能会让大家失望了，因为这种弦的制作方法相当复杂，老师只是利用别人的成果，老师希望你们能刻苦学习，将来青出于蓝而胜于蓝。案例分析信息技术在教学中的应用，给传统教学内容结构带来了强大的冲击。那些强调知识内在联系、基本理论、与真实世界相关的教学内容变得越来越重要，教学过程的多媒化，利用多媒体，尤其是超媒体技术，建立教学内容的结构化、动态化、形象化表示也日益受到重视。计算机辅助教学进人数学课堂，可使抽象的概念具体化、形象化，尤其是计算机能进行动态的演示，弥补了传统教学方式在直观感、立体感和动态感等方面的不足，利用这个特点可处理其他教学手段难以处理的问题，并能引起学生的兴趣，增强他们的直观印象，为教师化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率和教学效果提供了一种现代化的教学手段。几何画板作为一种数学教学应用技术软件，也为学生提供自我动手、探索问题的机会：当面对问题时，学生可以通过思考和协作，提出自己的假设和推理，然后用几何画板进行验证；此外，学生还可以使用几何画板自己做实验来发现、总结一些数学规律和数学现象。计算机辅助教学进人课堂，可使抽象的概念具体化、形象化，尤其是计算机能进行动态的演示，弥补了传统教学方式在直观感、立体感和动态感等方面的不足，利用这个特点可处理其他教学手段难以处理的问题，并能引起学生的兴趣，增强他们的直观印象，为教师化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率和教学效果提供了一种现代化的教学手段。当然，信息技术在数学课堂教学的运用一定要紧扣教学目标和教学内容，要根据不同的教学目标和教学内容的特点去选择、运用不同的信息技术，充分发挥其在教学上的优势.本案例先通过几何画板演示抛物线一条动态的垂直于对称轴的弦，首先引起学生的好奇心，通过对该弦的作法的展示，融入抛物线的相关的对称性质，达到复习旧知的目的。在结下来的教学过程中，还巧妙地将教材的例题进行分解，而不是照本宣科利用教材的例题，结合几何画板作图，由浅入深，充分调动学生思考问题的积极性，并培养学生的思维的严谨性。在以后的每次新问题的出现，都通过展示抛物线的几种特殊弦，设置该种弦的作法的悬念，引发学生探究数学问题的愿望。而在问题的设置上，又充分利用几