高中数学2.1合情推理与演绎推理要点讲解新人教A选修22

合情推理与演绎推理要点讲解一、合情推理之归纳推理与类比推理异同比较合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用有利于创新意识的培养在能力高考的要求下，推理方法就显得更加重要在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手合情推理包括归纳推理和类比推理.归纳推理和类比推理的联系:归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明.归纳推理和类比推理的区别:(一) 归纳推理1.归纳推理定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理说明：归纳推理的思维过程大致如下：2.归纳推理的特点:（1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围 (2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验因此，它不能作为数学证明的工具(3)归纳推理是一种具有创造性的推理通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法.3.归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同本质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果物理学中的波义耳马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的(二).类比推理（以下简称类比）1.类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理2. 类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）3.说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物, 同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性. 人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具.例1 如图，是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数an= 【答案】 an=3n2-3n+1.【解析】仔细观察发现:图案的花盆数为:1个, a1=1; 图案的花盆中间数为3,上下两行都是2个, a2=2+3+2; 图案的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称, a3=3+4+5+4+3;可以猜想: 第n个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此an=n+(n+1)+(2n-1)+(n+1) + n=3n2-3n+1.【评析】上例是利用归纳推理解决问题的.归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一.例2 如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1VA，OB1VB，OC1VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点 求证：+为定值分析 考虑平面上的类似命题：“过ABC（底）边 AB上任一点O分别作OA1AC，OB1BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证+为定值”这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1证明：如图，设平面OA1 VABCM，平面OB1 VBACN，平面OC1 VCAB=L，则有MOA1MAV，NOB1NBV，LOC1 LCV得+=+.在底面ABC中，由于AM、BN、CL交于一点O，用面积法易证得：+=1.+=1.【知识小结】类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其他属性亦类似的一种推理方法，例如我们拿分式同分数来类比,平面几何与立体几何中的某些对象类比等等我们必须清楚类比并不是论证，它可以帮助我们发现真理通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向二、从三个角度解决演绎推理问题角度一：知识梳理演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理；“三段论”是演绎推理的一般模式；包括大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情况；结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断三段论的基本格式MP（M是P） （大前提）SM（S是M） （小前提）SP（S是P）（结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.角度二：在实践中体会与解决问题例1 把“函数的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论.解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）函数是二次函数 （小前提）所以函数的图象是一条抛物线 （结论）例2 已知lg2=m,计算lg0.8.解：（1）lgan=nlga(a0)-大前提lg8=lg23小前提lg8=3lg2结论 lg(a/b)=lga-lgb(a0,b0)大前提 lg0.8=lg(8/10) 小前提lg0.8=lg(8/10)结论例3 如图;在锐角三角形ABC中,ADBC, BEAC,D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等.解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形, 大前提在ABC中,ADBC,即ADB=90 -小前提所以ABD是直角三角形 结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提因为 DM是直角三角形斜边上的中线, 小前提 所以 DM= AB 结论 同理 EM=AB 所以 DM=EM.由此可见，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略再来看一个例子例4 证明函数在内是增函数分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间（a, b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增 小前提是:的导数在区间内满足，这是证明本例的关键证明：. 当时，有，所以. 于是根据“三段论”得在内是增函数在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的还有其他的证明方法吗？思考:因为指数函数是增函数，大前提而是指数函数， 小前提所以是增函数 结论(1)上面的推理形式正确吗？ (2)推理的结论正确吗？为什么？上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为当时，指数函数是减函数），所以所得的结论是错误的“三段论”是由古希腊的亚里士多德创立的亚里士多德还提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想例如，欧几里得的原本就是一个典型的演绎系统，它从10条公理和公设出发，利用演绎推理，推出所有其他命题像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题（公理、公设），以此为出发点，应用演绎推理，推出尽可能多的结论的方法，称为公理化方法继原本之后，公理化方法广泛应用于自然科学、社会科学领域例如，牛顿在他的巨著自然哲学的数学原理中，以牛顿三定律为公理，运用演绎推理推出关于天体空间的一系列科学理论，建立了牛顿力学的一整套完整的理论体系至此，我们学习了两种推理方式一一合情推理与演绎推理角度三：答疑解惑 1合情推理与演绎推理的主要区别是什么？归纳和类比是常用的合情推理从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理,类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确人们在认识世界的过程中，需要通过观察、将积累的知识加工、整理，使之条理化、实验等获取经验；也需要辨别它们的真系统化合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色.就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结明思路等的发现，主要靠合情推理因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想2演绎推理常见错误产生的主要原因是：(1)大前提不成立；(2)小前提不符合大前提的条件. 3解答演绎推理题时的方法技巧：（1）紧扣题干内容，不要对题中陈述的事实提出任何怀疑，不要被与题中陈述不一致的常理所干扰.题中所给的陈述有的合乎常理，有的可能不太合乎常理.但你心中必须明确，这段陈述在解答过程中被假设是正确的、不容置疑的.你不能对试题所陈述的事实的正误提出怀疑，也不能自作聪明地以自己具备的这方面的知识进行推理，得出答案，而完全忽视试题中所陈述的事实.（2）依靠形式逻辑有关推论法则严格推理，注意大前提、小前提、结论三者之间的关系