衡阳市衡阳县2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

2015年湖南省衡阳市衡阳县高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 10个小题，每小题 3分，共 30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1集合 yz|0 y4的子集个数是（ ） A 64 B 32 C 16 D 8 2直线 的倾斜角是（ ） A 30 B 120 C 135 D 150 3与函数 y= 的定义域相同的函数是（ ） A y= B y=2x 1 C y= D y=x 1） 4下列函数中，在区间（ 0， +）上 是增函数的是（ ） A y= B y= |x| C y= D y= 2x+5 5直线 x+（ a+5） y 6=0 与直线 a 3） x+y+7=0 互相垂直，则 a 等于（ ） A B 1 C 1 D 6已知 f（ x） =（ x+1）（ x+a）为偶函数，则 a=（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 7若 a=（ ） 2， b=2 ， c=，则 a， b， c 的大小关系为（ ） A a b c B c a b C c b a D a c b 8已知函数 f（ x） =x， x ， ，则 f（ x）的值域是（ ） A ， 2 B ， 2 C 0， 2 D 0， 9三棱锥 P ， 底面 ，底面 边长为 2 的正三角形，则三棱锥 P体积等于（ ） A 3 B C 2 D 4 10如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为 2，且侧棱 底面 视图是边长为 2 的正方形，该三棱柱的左视图面积为（ ） A 4 B C D 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 4分， 共 20分，把正确的答案填在横线上 11已知 a 是函数 f（ x） =2 零点，则 a 的值为 12过点（ 1， 3）且与直线 x+2y 1=0 平行的直线方程是 13已知函数 f（ x） = 的值为 14如图，正方体 ABCD，直线 DA 与 成的角为 15若对于任意的 x1， 2，不等式 1 恒成立，则实数 a 的最小值为 三、解答题：本大题共 6小题，满分 50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 16已知集合 A=x|4x 8， xR， B=x|6 x 9， xR， C=x|x a， xR （ 1）求 A B； （ 2）（ B； （ 3）若 AC=，求 a 的取值范围 17已知 三个顶点分别为 A（ 2， 3）， B（ 1， 2）， C（ 3， 4），求 （ 1） 上的中线 在的直线方程； （ 2） 面积 18已知圆 C：（ x 1） 2+ （ 1）求过点 P（ 3， 3）且与圆 C 相切的直线 l 的方程； （ 2）已知直线 m： x y+1=0 与圆 C 交于 A、 B 两点，求 |19某市出租车的计价标准是： 4内（含 410 元，超过 4不超过 18部分 ，超过 18部分 /计等待时间的费用 （ 1）如果某人乘车行驶了 10要付多少车费？ （ 2）试建立车费 y（元）与行车里程 x（ 函数关系式 20如图，在正方体 E、 F 分别为棱 中点 （ 1）求证： 行平面 （ 2）求证：平面 平面 3）求直线 平面 成角的正切值 21已知函数 f（ x） = （ 1）证明 f（ x）是奇函数； （ 2）判断 f（ x）的单调性，并用定义证明 （ 3）求 f（ x）在 1， 2上的最值 2015年湖南省衡阳市衡阳县高一（上）期末数学试卷 来 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10个小题，每小题 3分，共 30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1集合 yz|0 y4的子集个数是（ ） A 64 B 32 C 16 D 8 【考点】 子集与真子集 【专题】 计算题；集合思想；定义法；集合 【分析】 求出集合，然后求解集合的子集的个数 【解答】 解：因为 yz|0 y4=1， 2， 3， 4， 所以集合的子集的个数： 24=16 故选： C 【点评】 本题考查集合的求法，子集的个数问题，基本知识的考查 2直线 的倾斜角是（ ） A 30 B 120 C 135 D 150 【考点】 直线的倾斜角 【专题】 计算题 【分析】 把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角 函数值即可求出倾斜角的度数 【解答】 解：由直线 变形 得： y= x+ ， 所以该直线的斜率 k= ，设直线的倾斜角为 ，即 ， （ 0， 180）， =15 0 故选 D 【点评】 此题考查了直线的倾斜角，以及特殊角的三角函数值熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围 3与函数 y= 的定义域相同的函数是（ ） A y= B y=2x 1 C y= D y=x 1） 【考点】 判断两个函数是否为同一函数 【专题】 对应思想；定义法；函 数的性质及应用 【分析】 求出函数 y= 的定义域，再分别求出选项中的函数定义域，进行判断即可 【解答】 解：函数 y= 的定义域是（ 1， +）； 对于 A，函数 y= 的定义域是 1， +），与已知函数的定义域不同； 对于 B，函数 y=2x 1的定义域是（ ， +），与已知函数的定义域不同； 对于 C，函数 y= 的定义域是（ ， 1） （ 1， +），与已知函数的定义域不同； 对于 D，函数 y=x 1）的定义域是（ 1， +），与已知函数的定义域相同 故选： D 【点评】 本题考查了求基本初等函数定义域的应用问题， 是基础题目 4下列函数中，在区间（ 0， +）上是增函数的是（ ） A y= B y= |x| C y= D y= 2x+5 【考点】 函数单调性的判断与证明 【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据反比例函数、对数函数、二次函数，以及一次函数的单调性便可找出正确选项 【解答】 解： A. 在（ 0， +）上为减函数， 该选项错误； B x 0 时， 为减函数， 该选项错误； C y= 在（ 0， +）上单调递增， 该选项正确； D一次函数 y= 2x+5 在（ 0， +）上单 调递减， 该选项错误 故选 C 【点评】 考查反比例函数，对数函数，二次函数及一次函数在（ 0， +）上的单调性，要熟悉二次函数图象 5直线 x+（ a+5） y 6=0 与直线 a 3） x+y+7=0 互相垂直，则 a 等于（ ） A B 1 C 1 D 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系 【专题】 方程思想；综合法；直线与圆 【分析】 利用两条直线相互垂直与斜率的关系即可得出 【解答】 解： 直线 x+（ a+5） y 6=0 和 a 3） x+y+7=0 直线互相垂直， （ a 3） +（ a+5） =0，解之得 a= 1， 故选： B 【点评】 本题考查了两条直线相互垂直与斜率的关系，属于基础题 6已知 f（ x） =（ x+1）（ x+a）为偶函数，则 a=（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 因为函数为偶函数，则根据偶函数定义 f（ x） =f（ x）得到等式解出 a 即可 【解答】 解： 函数为偶函数得 f（ 1） =f（ 1） 得： 2（ 1+a） =0 a= 1 故选 B 【点评】 此题考查学生应用函数奇偶性的能力 7若 a=（ ） 2， b=2 ， c=，则 a， b， c 的大小关系为（ ） A a b c B c a b C c b a D a c b 【考点】 对数值大小的比较 【专题】 计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 利用指数函数、对数函数的单调性求解 【解答】 解： a=（ ） 2= ， b=2 21=2， c= 1=0， a， b， c 的大小关系为 c a b 故选： C 【点评】 本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数性质的合理运用 8已知 函数 f（ x） =x， x ， ，则 f（ x）的值域是（ ） A ， 2 B ， 2 C 0， 2 D 0， 【考点】 对数函数的值域与最值 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 利用对数函数的单调性求解即可 【解答】 解：函数 f（ x） =x， x ， ，是减函数， 所以函数的最小值为： f（ ） = ， 函数的最大值为： f（ ） =2 函数的值域为： ， 2 故选： A 【点评】 本 题考查对数函数的单调性与最值的求法，考查计算能力 9三棱锥 P ， 底面 ，底面 边长为 2 的正三角形，则三棱锥 P体积等于（ ） A 3 B C 2 D 4 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【专题】 计算题；规律型；转化思想；空间位置关系与距离 【分析】 由题意求出底面面积，然后求出三棱锥的体积 【解答】 解：三棱锥 P ， 底面 ，底面 边长为 2 的正三角形，所以底面面积为： ； 三棱锥的体积为： 3= 故选： B 【点评】 本题是基础题，考查三棱锥的体积的计算，注意三棱锥的特征 是解题的关键 10如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为 2，且侧棱 底面 视图是边长为 2 的正方形，该三棱柱的左视图面积为（ ） A 4 B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 来源 :Z,xx,【专题】 计算题 【分析】 由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，结合正视图，俯视图，不难得到侧视图，然后求出面积 【解答】 解：由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，底面边长为 2，侧棱长 2， 结合正视图，俯视图，得到侧视图是矩形，长为 2，宽为 面积为： 故选 B 【点评】 本题考查由 三视图求侧视图的面积，是基础题 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 4分，共 20分，把正确的答案填在横线上 11已知 a 是函数 f（ x） =2 零点，则 a 的值为 4 【考点】 函数的零点 【专题】 对应思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 根据函数零点的定义，得 f（ a） =0，从而求出 a 的值 【解答】 解： a 是函数 f（ x） =2 零点， f（ a） =2 ， ， 解得 a=4 故答案为： 4 【点评】 本题考查了零点的定义与应用问题，是基础题目 12过点（ 1， 3）且与直线 x+2y 1=0 平行的直线方程是 x+2y 7=0 【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系 【专题】 计算题；规律型；方程思想；直线与圆 【分析】 求出直线的斜率，然后求解直线方程 【解答】 解：与直线 x+2y 1=0 平行的直线的斜率为： ， 由点斜式方程可得： y 3= （ x 1），化简可得 x+2y 7=0 故答案为： x+2y 7=0 【点评】 本题考查直线方程的求法，考查计算能力 13已知函数 f（ x） = 的值为 【考点】 对数的运算性质 【专题】 计算题 【分析】 首先求出 f（ ） = 2，再求出 f（ 2）的值即可 【解答】 解： 0 f（ ） = 2 2 0 f（ 2） =2 2= 故答案为 【点评】 本题考查了对数的运算性质，以及分段函数求值问题，分段函数要注意定义域，属于基础题 14如图，正方体 ABCD，直线 DA 与 成的角为 60 【考点】 异面直线及其所成的角 【专题】 计算题；转化思想；综合法；空间角 【分析】 连结 由 得 直线 DA 与 成的角，由此能求出直线 DB 所成的角 【解答】 解：连结 正方体 ABCD中， 直线 DA 与 成的角， C= 60， 直线 DA 与 成的角为 60 故答案为： 60 【点评】 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 15若对于任意的 x1， 2，不等式 1 恒成立，则实数 a 的最小值为 【考点】 函数恒成立问题 【专题】 计算题；转化思想；函数的性质及应用 【分析】 若对于任意的 x1， 2，不等式 1 恒成立，则对于任意的 x1， 2，不等式 a2x恒成立，结合函数的单调性，求出函数的最大值，可得答案 【解答】 解：若对于任意的 x1， 2，不等式 1 恒成立， 即对于任意的 x1， 2，不等式 1+axx2 即对于任意的 x1， 2，不等式 axx2x 1 恒成立， 即对于任意的 x1， 2，不等式 a2x 恒成立， 由 y=2x， x1， 2为增函数， y= ， x1， 2为减函数， 故 y=2x ， x1， 2为增函数， 故当 x=2 时， y 取最大值 ， 即 a ， 故实数 a 的最小值为 ， 故答案为： 【点评】 本题考查的知识点是函数恒成立问题，将问题转化为函数的最值问题，是解答的关键 三、解答题：本大题共 6小题，满分 50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16已知集合 A=x|4x 8， xR， B=x|6 x 9， xR， C=x|x a， xR （ 1）求 A B； （ 2）（ B； （ 3）若 AC=，求 a 的取 值范围 【考点】 交、并、补集的混合运算 【专题】 计算题；集合思想；定义法；集合 【分析】 （ 1）根据 A 与 B，求出两集合的并集即可； （ 2）由全集 U=R，求出 A 的补集，找出 A 补集与 B 的交集即可； （ 3）由 A 与 C，且 A 与 C 的交集为空集，确定出 a 的范围即可 【解答】 解：（ 1） A=x|4x 8， B=x|6 x 9， A B=x|4x 9； （ 2） A=x|4x 8，全集为 R， x|x 4 或 x8， B=x|6 x 9， 则（ B=x|8x 9； （ 3） AC =，且 A=x|4x 8， C=x|x a， a 的取值范围是 a8 【点评】 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 17已知 三个顶点分别为 A（ 2， 3）， B（ 1， 2）， C（ 3， 4），求 （ 1） 上的中线 在的直线方程； （ 2） 面积 【考点】 直线的一般式方程 【专题】 方程思想；综合法；直线与圆 【分析】 （ 1）求出中点 D 的坐标，用两点式求出中线 在直线的方程，并化为一般式 （ 2）求出 线段 长度，求出直 线 方程和点 A 到直线 距离，即可求得 面积 【解答】 解：（ 1）设 D（ x， y），则 x= = 2， y= =1， D（ 2， 1），而 A（ 2， 3）， = ， 上的中线 在的直线方程为： y 1= （ x+2），即： x 2y+4=0； （ 2） | =2 ，直线 方程是： 3x+y+5=0， A 到 距离 d= = ， S |d= 2 =14 【点评】 本题考查用两点式求直线方程的方法，点到直线的距离公式的应用，求点 A 到直线 距离是 解题的 难点 18已知圆 C：（ x 1） 2+ （ 1）求过点 P（ 3， 3）且与圆 C 相切的直线 l 的方程； （ 2）已知直线 m： x y+1=0 与圆 C 交于 A、 B 两点，求 |【考点】 圆的切线方程 【专题】 计算题；分类讨论；综合法；直线与圆 【分析】 （ 1）设出切线方程，求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出 k，写出切线方程即可； （ 2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求弦 |长 【解答】 解：（ 1）设切线方程为 y 3=k（ x 3），即 y 3k+3=0， 圆心（ 1， 0）到切线 l 的距离等于半径 2， =2，解得 k= ， 切线方程为 y 3= （ x 3），即 5x 12y+21=0， 当过点 M 的直线的斜率不存在时，其方程为 x=3，圆心（ 1， 0）到此直线的距离等于半径 2， 故直线 x=3 也适合题意 所以，所求的直线 l 的方程是 5x 12y+21=0 或 x=3 （ 2）圆心到直线的距离 d= = ， |2 =2 【点评】 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的切线方程的求法，注意直线的斜率存在与不存在情况，是本题的关键 19某市出租车的计价标准是： 4内（含 410 元，超过 4不超过 18部分 ，超过 18部分 /计等待时间的费用 （ 1）如果某人乘车行驶了 10要付多少车费？ （ 2）试建立车费 y（元）与行车里程 x（ 函数关系式 【考点】 函数模型的选择与应用 【专题】 应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 （ 1） x=104x18y=10+x 4）； （ 2）利用条件，可得分段函数 【解答】 解：（ 1） x=104x18y=10+x 4） =； （ 2）由题意 0x4， y=10； 4x18， y=10+x 4，即 y= x 18， y=10+4+x 18即 y= 所以车费与行车里程的函数关系式为 y= 【点评】 本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题 20如图，在正方体 E、 F 分别为棱 中点 （ 1）求证： 行平面 （ 2）求证：平面 平面 3）求直线 平面 成角的正切值 【考点】 直线与平面所成的角；平面