【毕业学位论文】（Word原稿）多批次小批量生产的贝叶斯均值-标准差控制图-统计学

南京财经大学本科毕业论文（设计） 目 录 中文摘要 . 1 英文摘要 . 2 一、 绪论 . 3 (一 ) 问题研究背景 . 3 (二 ) 问题的提出及意义 . 3 (三 ) 国内外研究现状 . 4 (四 ) 研究内容安排与思路 . 6 二、 制图相关理论 . 8 (一 ) 制图基本简介 . 8 (二 ) 控制图相关原 理 . 10 (三 ) 本文拟采用的估计方法及软件 . 11 三、 小样本下基于贝叶斯估计的均值 . 14 (一 ) 参数 、 先验分布的推导 . 14 (二 ) 基于贝叶斯估计的均值 . 15 四、 实例分析 . 21 (一 ) 数据来源及背景介绍 . 21 (二 ) 控制界限的建立以及控制图的绘制 . 22 五、 结束语 . 25 参考文献 . 26 致谢 . 28 附录 . 29 南京财经大学本科毕业论文（设计） 1 多批次 小批量 生产的 贝叶斯均值 中文摘要 摘 要： 随着 社会对个性化 产品 需求的增大， 生产模式也 逐渐由大批量、流水式生产转向了小批量、多批次的生产。 建立在大批量生产模式上的 、用于保证产品质量处于稳定受控状态的 统计过程控制（ 却 由于数据量的减少而面临种种困难与挑战 。 制图作为 论中 最为实用的也是 应用最 为广泛的工具在多批次、小批量生产过程中的质量控制效果也并不理想 ,造成了在小批量生产过程中生产效率的降低以及不必要的经济损失。 为了解决上述问题， 本文拟采用贝叶斯估计对产品质量特性分布参数，即均值与标准差进行估计，最后根据所估计 的 总体分 布建立控制图。本文研究成果如下： （ 1）综述了前人在 将 论应用于 多批次、小批量 生产过程中的研究 ，并对其进行归纳总结，提出现有方法的不足。 （ 2）根据实际生产情况（对于某些行业其产品质量特性分布的均值或方差已被严格控制在某一特定水平上，则认为该受控参数为已知参数）在采用贝叶斯对总体分布进行估计及 控制限 建立 时分为三种情况：总体方差未知均值已知、总体均值未知方差已知以及总体方差均值均未知的情况。 （ 3）根据所建立的贝叶斯控制图采用 软件 行编程实现 。 （ 4） 本文 采用 来自某汽车发动机轴环生产厂的实际 数据 分别绘制传统 值 标准差控制图，并进行了对比。结果显示 贝叶斯估计法比传统估计法更加精确，对于异常 现象也更加敏锐。 关键词 : 贝叶斯估计 小样本 多批次小批量 控制图 南京财经大学本科毕业论文（设计） 2 of to on of to in is of As PC t in In to to of to in as (1) up PC of (2) on is in or of on is So be to of t of t of of (3) 5 to (4) PC is to 英文摘要 南京财经大学本科毕业论文（设计） 3 一、 绪论 (一 ) 问题 研究背景 1913 年，福特公司开创了世界上首条机械自动化流水 生产 线 ，该条流水线平均每分钟生产一辆 T 型车。福特公司的 这一 举措引领了整个制造业在生产模式上的转换，自此标准化、大批量 的 生产模式成为各国制造业仿效的 模式。这种新的生产模式引发了 重大的 变革，它 提高了人类的生产力，推动了工业化进程与经济发展。不仅如此，它还为社会提供了丰富的产品 促进了市场经济的发展 。 自 二次世界大战后， 随着 社会经济的飞速发展，社会需求 也 在悄无声息中也 发生了巨大的变化：人们越来越追求多样化、个性化的产品，市场需求开始了 向多样化发展的阶段 。 此时，产品生产相对过剩，满足客户的个性化需求开始成为了企业的首要任务。规模性生产受到了前所未有的考验，人们开始探索建立其他更为有效的企业生产组织模式。经过 30 多年的探索与努力，丰田汽车公司首脑丰田英二与大野耐一终于形成了完整的“丰田生产方式”，即精益生产。 很快，运用于日本丰田汽车公司生产线上的精益生产理念开始为其它相关制造行业所采纳， 从此 多品种、 小批量生产模式在此应运而生。最终精益生产逐渐成为了现代工业生产的主导生产方式 ： 大批量的生产模式 逐渐 被 多批次 、 小批量 的生产方式所代替。 据统计 显示 ， 美 国、日本 等国的制造业 中 有 75%左右 的企业均 属于中 、小批量生产模式 ， 而 多批次 、小批量 生产模式 也将在我国成为主流 生产模式 1。 (二 ) 问题的提出及意义 在标准化、大批量生产模式 出现后 ，为了对该生产模式下的产品质量特性进行描述监控，减少废品损失，提高生产效率，于 20 世纪初休哈特博士创建了统计过程控制理论（ 论是建立在大批量生产模式下，利用大量的产品抽样数据通过统计推断从而对整个生产过程进行监控 ，达到改进与保证产品质量的目的 。它把质量控制从以往的 “事后把关”发展到“事前预防”，大大提高了产品的南京财经大学本科毕业论文（设计） 4 质量。 而在 论中 制图便是应用最广泛的工具之一。 制图在实际生产的质量管理中有着过程控制、过程能力分析、测量系统分析、因果分析以及持续改进的 5 个作用。这 5 个作用能监控并保证产品质量特性分布是否处于稳定受控状态。 而 当由大批量生产模式开始转向小批量生产模式时，此时 大批量生产模式下的 此 基于 在大批量生产模式 背景所建立的 论 在小批量生产环境 下却 很 难发挥相同的 作用 。 同样作为 论中之一的 制图由于不能获得足够数据，难以建立 控制限 以及使用控制图进行质量监控。 即使在某些生产环节 中 勉强能用 ， 却 也不能达到理想的效果 2。 此时，在多批次、小批量生产过程中很难对产品质量特性分布是否处于稳定受控状态进行判断，从而造成了生产效率的下降甚至经济损失。 因此，在小批量的生产条件下如何 有效的克服数据的不足建立 控制限 ， 如何 获得适用的 控制图 成为了研究的重点以及当前各企业亟待解决的问题之一。 本文将就此问题进行研究探讨。 (三 ) 国内外研究现状 针对多批次、小批量的研究最早可以追溯到 20 世纪 50 年代。 建 立了单元控制图（ 概念； 归纳了 5 种可应用于多批次、小批量生产过程的方法； 提出了一种基于不合格率控制图（ P 图）的方法，等等。自 60 年代以来，多批次、小批量生产过程中制作控制图的方法逐渐成为了学者以及业界关注的焦点，开始被广泛的研究。而这些研究大致可分为三类：数据变换法、时间序列法和以及近几年兴起的贝叶斯法。 1. 数据变换法 数据变换法认为对某一特定的生产环境来讲，尽管不同时间、不同批次产品质量特性值受到不同程度、不同种类的随机因素的影响，但来自同一工序的产 品所具有的相似性使其通过数据变换最后服从相同分布。这样利用所有的历史数据以及当前数据可以克服多批次、小批量生产背景中数据量不足的限制，从而使得传统 制图可以有效的南京财经大学本科毕业论文（设计） 5 进行监控。 所提出的标称控制图 (在不同批次的产品质量特性分布方差近似相同时， 控制限 仍可按传统方法 建立 ，此时所得控制图应具有较高效用。 分别采用三种不同的数据变换方式建立控制图，并将其应用到造纸厂中纸张长度监控中。 基于产品质 量特性值的标准差与目标值的关系不同分别提出了两种数据变换方法。最后， 9共同提出了小样本下的“ 0针对 提方法进行了讨论，认为控制界限应由标称值得出而非测量数据，继而建立了 Q 控制图。 综上不难看出，学者们根据实际情况的不同提出了不同的数据变换方式，然而对于如何选取合适的数据变换方法、产品质量特总体分布参数的准确性以及对变换后的效果却很难把握。 2. 时间序列法 时间序列法是采用时间序列分析对控制图的 控制限 进行建立 。由于时间序列分析本身可应用于预报、自适应控制以及最佳滤波等方面，而采用时间序列法 建立 的 控制限 在多批次、小批量生产过程中的应用较为精准。 1是最早引入时间序列法的学者，他建立了基于 波模型的控制图。之后， 2将适应性滤波模型应用于具有自相关性的多批次、小批量数据。 3针对 Q 控制图进行研究，指出 Q 控制图在监控初期效果不佳，为了有效检测出初期的异常情况提出了两种基于 波模型的控制图。同样，为了弥补 Q 控制图初期表现的不足， 4建立了动态 量控制图。 虽然这类控制图在多批次、小批量生产过程中通过监控产品质量特性值偏离目标值的程度进行质量控制。但这种方法与传统方法并不统一。当质量特性值偏离目标值时，传统 制图是用于检测这样的偏离是由于随机因素还是系统性因素引起的，与质量特性值的规格并无关系。 南京财经大学本科毕业论文（设计） 6 3. 贝叶斯法 对于多批次、小批量生产过程，不同批次、不同时间所生产的产品其质量特性分布参数总会有一些差别，虽然不大，但仍是存在的。同时，贝叶斯在小样本量下的参数估计往往更加精确。因此在多批次、小批量生产过程中采用贝叶斯 控制图相对更加有效。朱慧明、韩玉启 15根据预报分布密度函数 ,构造贝叶斯均值 标准差控制图。朱志刚 16提出了 采用动态贝叶斯叶策 的 制图模式。卜祥民、孙静等 17在小样本背景下，采用贝叶斯估计对参数 与 2 进行了估计。张连弟、韩效宥 18用贝叶斯方法对控制图的质量 控制限 进行了修正。 然而以上文献均存在以下某些不足：（ 1）采用贝叶斯估计时并非以对总体分布参数的分布函数的估计为主，而是以成本函数为 主以此求得最适均值与方差（ 1）在采用贝叶斯估计时以对样本分布的均值、方差的估计为主而非总体分布的均值、方差（ 3）未采用实例证明基于贝叶斯估计的控制图更加优于传统控制图 在此，本文将克服以上不足采用贝叶斯法建立均值 (四 ) 研究内容安排 与思路 1. 研究内容 本文主要对 多批次、 小批量生产方式 下的产品质量特性值 的均值 制图进行研究。本文采用贝叶斯估计 法 对 多批次、小批量 产品 的质量特性分布及相应的 控制限进行估计 ，并绘制相应的控制图。最后通过实例分析，将在小样本背景下的 传统 析。 本文共五章： 第一章 绪论，讲述了当实际工业生产由大批量流水式生产转向小批量生产模式时，传统 论 及控制图所面临的问题与相应的国内外研究； 第二章 介绍了 制图 相关理论，提出了在小样本下采用传统估计法 估计 的不足，然后提出了采用贝叶斯统计推断的优势，并介绍了相关 贝叶斯统计 思想与 R 软件 ； 第三章 分情况对多批次、小批量 产品 的 质量特性 分布的均值、 方差进行贝叶斯估南京财经大学本科毕业论文（设计） 7 计 ，并建立控制限； 第四章 通过实际生产数据分 别建立传统控制图 控制限 与贝叶斯控制图控制限，并绘制相应控制图，将两者作对比分析； 第五章 总 结了本文 的工作， 并提出了存在的 不足 。 2. 技术路线 图 小样本背景下传统估计法的不足 制图应用背景 小批量生产模式 研究背景与综述 小样本背景下贝叶斯估计的优越性 多批次、小批量下贝叶斯均值 总结与展望 与传统估计法下的 制图进行对比 （ 1） 分布均值已知，方差未知 控制图 （ 3）分布方差及均值均未知 控制图 （ 2） 分布方差未知，均值已 知 控制图 南京财经大学本科毕业论文（设计） 8 二、 制图相关理论 (一 ) 制图 基本简介 1. 统计质量控制（ 理论简介 在实际 生产中，再精密的生产仪器所生产出的产品在质量特性值上也总有偏差。这是因为产品的质量是受人、机器、环境、测量工具、材料以及加工方法这 6 大因素影响19。当这 6 大因素均处于合格状态，则产品质量特性 值 的波动仅来自随机性因素影响。这样的 影响 始终存在于整个生产过程中，对产品质量特性 值 的影响小， 且 是不可避免也不能消除的。则此时认为该过程是处于受控状态。当上述 6 大因素中的某一个或几个因素处于不合格状态时，产品质量特性值的波动除了受随机性因素的影响，还将受到不合格因素的影响，将这些来自不合格因素的影响称为系统性因素 。 系统 性因素 对产品质量有着特别大的影响但 并非在生产过程中一直存在的 ，是可避免可消除的 。因此，称这样的生产过程处于不受控状态。为了消除系统性原因带来的异常波动，休哈特提出了统计过程控制（ 论。通过统计过程控制，人们可对生产过程进行评价分析并对系统性因素的出现有及时的反馈，从而便于采取措施消除其影响，使生产过程处于受控状态。而其中统计过程控制图（ 是 论中应用最广 的统计技术之一。 2. 制图 的作用与形成过程 在产品质量控制中， 论在批量式生产中显现出了其巨大作用。其中以休哈特提出的控制图以及道奇提出的抽样检验应用的最为广泛。而控制图作为 核心工具，通过它，人们可以判断以及分析生产过程是否受控，对生产过程出现的异常波动及时进行反馈。 制图是 基于统计方法设计的通过对产品质量特性值进行测定、记录以及评估从而对生产过程是否处于受控状态进行监控的图。 根据 论，产品质量特征值服从一定的分布。当生产过程受控时，产品质量特征值服从稳定的随机分布，其分布应 为单南京财经大学本科毕业论文（设计） 9 峰，且关于均值对称。因此休哈特提出在受控状态下产品质量特性值服从正态分布 2,N 为正态分布，且有 质量特性值都包含在区间 +3 内。因此，将 作为下控制限 （ ， +3作为上控制限 （ ， 作为中心线 （ 。 将三条 线 画在以时间（或样本号）为横轴，以产品质量特性观测值为纵轴的坐标纸上 ，这样便形成了 制图 。 3. 制图分类 从用途上讲， 制图一为诊断，即判断生产过程是否受控；二为控制，即保证生 产过程的稳定；三为确定，即针对改进后的生产过程确认改进后的效果。 而从是否给定产品质量特性分布的参数上讲，若已知分布参数，则不需要对参数进行估计，可直接对生产过程进行控制；反之，则需要首先估计参数。从控制对象的数据性质上讲，控制图可以分为 计量值控制图与计数值控制图，其中计数值控制图是以二项分布为理论基础的控制图；而计量值控制图是以正态分布为理论基础，控制对象为计量值数据类型，主要有均值 值 位数 移动极差控制图。本文仅针对均值 4. 制图绘制步骤 控制图的绘制 重点往往在于 产品 质量特性 总体 分布参数 与 的估计。绘制 控制图大体可以分为 4 步。 第一步： 搜集近期、过程受控 下的数据资料，若 5 个数据为一组，则一般要收集 25到 30 组数据； 第二步 ： 通过传统频率统计方法计算均值与方差（或极差）来确定控制图的管理界限，例如对于均值 x 、方差 2s 分别对总体均值 以及方差 2 进行估计； 第三步 ：根据参数估计求出控制图的 控制限 ； 第四步 ： 根据 控制限 做出控制图。 南京财经大学本科毕业论文（设计） 10 (二 ) 控制图 相关 原理 1. 控制图控制原理 从根本上讲， 制图 是基于数理统计方法的生产过程控制工具，其控制原理 源于统计学中的小概率事件原理：仅在一次观测下小概率事件是不会发生的，如若发生则认为是系统出现问题。当产品质量特性值落在了区间 +3 内时则生产过程处于受控状态；若落在了区间 +3 外，则发生了小概率事件，认为生产过程出现了系统性因素的干扰，生产过程不受控。而对应于控制图中，则是该产品质量特性值超出了控制界限。控制图 不仅可以监控超出控制界限的异常点，还能有效的对非随机排列的异常点进行监控。 2. 控制图 适用条件 休哈特创立的控制图是在批量式生产背景下提出的，这意味着对其的应用需要以大量的数据作为研究前提。 在传统控制图绘制中，往往仅仅通过对样本信息的加工与处理从而对总体的某些特征进行统计推断。 在大样本情况下，虽然采用 传统估计法 进行估计并没包含所有关于参数的信息，但所得估计值与真实值仍十分接近。因此 控制图在能获得大样本量的流水线式的生产 模式 中十分适用 。休哈特认为样本数据量至少要在 100 以上时，所获得的控制图才能应用到实际生产中， 而 0则建议在确定单个控制图的永久界限时，至少需要 300 个观测样本。 3. 传统估计法的不足 但当样本量较小时， 传统估计方法下的控制图往往无法达到理想的效果。 首先， 由于信息量包含的不完全，经典统计学的统计推断往往会造成较大的偏差，即 x 与 以及 2s 与 2 之间存在较大差异。这样的差异往往导 致质量特性值 X 落在 +3x s x s 的概率一般不等于 20。按此种方法建立的控制图往往将会导致误发警报的概率增加或检测异常波动的能力降低。而无论是错误且频繁的警报还是无法及时且准确的对遗产波动进行反馈都会降低生产效率从而造成不必要的经济损失。 南京财经大学本科毕业论文（设计） 11 其次 ， 由于在多批次小批量生产中，产品往往来自同一批次不同生产线或是同一生产线不同批次，因此对于不同批次不同时期的产品 的 质量特性总体分布 参数总会有些许差异 。 虽然这样差异 并不大，但仍然 导致 采用 传统频率 方法估计的产品质量特性 总体分布 的 参数并不 十分 可靠。 综合以上两个原因，在 多批次、 小批量生产中传统控制图的应用往往受阻。 (三 ) 本文拟采用的 估计 方法 及软件 解决上述问题的根本在于如何在小样本量下 对产品质量特性分布参数采用 更加有效的 估计 方法 。贝叶斯估计 法便 可以完美的解决以上两个问题。 首先， 在传统的统计推断中并未包含样本参数的先验信息甚至有时对历史样本信息的利用不够充分，而贝叶斯统计却是包含了总体参数的先验信息以及样本信息与总体信息的估计方法。即使是针对较小的样本，通过贝叶斯估计也能得到的 较为理想的参数估计。 其次，对于不同批次不同时期的产品质量特性分布参数的不同在贝叶斯统计里也有很好的诠释与处理。贝叶斯统计认为任何一个未知量 都是来自某一概率分布的随机变量，这个概率分布是在抽样前就有的关于 的先验信息的概率呈现，被称为先验分布。对 于产品质量特性分布来讲，便是认为参数 与 是服从某一分布 的随机变量，因此不同批次不同时期产品质量特性分布参数均会存在些许差异。在传统估计中，参数的先验分布并未 被考虑，而 在贝叶斯估计中， 第一步便是对参数，即 与 ，的先验分布进行估计。 综上 ， 在多批次、小批量背景下， 贝叶斯 估计法 是一个较为理想的选择。 由于 现有软件在进行控制绘制时均采用传统估计方法，为了实现多批次、小批量生产过程的贝叶斯控制图的绘制，本文拟采用软件 R 行实现。 1. 贝叶斯统计思想简介 贝 叶斯统计认为当 某一样本 1= , , nX x 先由先验分布 p产生一个参数样本 ，这一步是不可见的。第二步则是从含有这个样本参数 的总体分南京财经大学本科毕业论文（设计） 12 布 中产生一个样本 X ，这个样本是具体的、可见的。若要对总体分布 的参数 进行估计，贝叶斯统计认为不能只考虑 ，而是要将 的一切可能性（即 p ）都考虑进去。而对参数 进行的估计是基于贝叶斯公式 21 = P A B P A 的。首先通 过求得样本的似然函数 L =1 = n x p x 这个似然函数是综合了总体以及样本中所含 的信息。然后求出样本 X 与参数 的联合分布 ,=h x p x p 此分布将总体、样本以及先验信息都包含了进去。由于 ,还可以做如下分解 ,=h x p x m x =,m h x d 其中 为参数 的后验分布； x 的边缘密度函数，它不含有任何关于 的信息。基于贝叶斯公式，可以求出 的条件分布 x ，根据 x 可以对参数 做出相应的推断。它的计算公式为 ,= ,p x mx h x d 由于 ，因此在计算 的后验分布时， 可以写作 x p x p 其中 表示左右两边的具有相同的函数形式，之间只相差不依赖于 的常数因子。 当样本 X 给定后， 的条件分布 x 被称为 的后验分布。它反映的是人们在抽南京财经大学本科毕业论文（设计） 13 样后对在抽样前对 的认识（即 p ）的调整。它包含了有关 的总体信息、样本信息以及先验信息，同时也排除了与 无关的其他信息。因此，通过 x 对参数 的估计将更加合理有效。 2. R 软件及 R 语言简介 本文所采用的软件 R 属于 R 软件。 R 软件是一款自由软件，它具有一套完整的数据处理、计算和制图软件系统。 R 软件专门用于 R 语言所编写的代码的实现环境。R 语言是由来自新西兰奥克兰大学的 同开发 22。由于R 语言最开始是源于 S 语言，因此通常也被视作 S 语言的一种分支。 R 语言的编写简单而强大，它可以进行数据存储和处理系统、数组运算工具、完整连贯的统计分析工具 以及优秀的统计制图等功能。与其说 R 软件是一款统计软件，倒 不如说 R 软件更像是一种数学计算环境 。 R 软件不仅可以提供一些集成的统计工具，但让它被广泛应用的是 它所 提供 的各种数学计算、统计计算的程序包，使得 使 用者能根据需要 的 在各行各业进行数据分析 。 南京财经大学本科毕业论文（设计） 14 三、 小样本下基于贝叶斯估计的 均值 制图 基于前文所述， 针对 在多批次、小批量生产过程中传 统估计法 所表现的 不足以及贝叶斯估计法能有效的进行弥补，本章将采用贝叶斯估计法对产品质量特性总体分布进行估计，并推导出 相应的控制图 控制限。 由于 均值 制图中应用最广的最基本的质量控制图，因此本文 仅针对均值 标准差控制图 。 均值 由 x 控制图与 s 控制图 联合 构成的。通过 x 控制图与 s 控制图分别对总体分布的均值 以及标准差 的变化进行刻画，从而及时检测产品质量 特性 分布是否出现异常现象。 根据贝叶斯思想，本章将首先 根据历史样本数据 推导出总体分布的均值 以及标准差 的先验分布，再根据 当前 所得样本 数据 对参数的后验分布进行推导。最后根据均值 以及标准差 的后验分布的期望值推导出产品质量特性总体分布，由此 建立贝叶斯均值 (一 ) 参数 、 先验分布的 推导 当在 多批次、 小批量生产过程的各因素 人、机器、原材料、加工方法、测量工具以及环境均处于稳定受控状态时，则认为来自该过程 服从正态分布 2,N 23。由于参数 与参数 2 的变动较多的来自随机因素，较少的来自系统性原因，因此认为参数 、 2 的先验分布应呈单峰分布13。在此假定 的先验分布为正态分布 2,N ，而 2服从倒伽马分布 ， 25。 在 多批次、小批量 生产过程中， 设 每一批次生产 n 个产品，在此共有 分为 m 组 历史样本数据 。 则 令 = 1, 2 , , = 1 , 2 ,i m j n，表示第 i 组中第 j 样 本的质量特征值。 则第 i 组样本质量特性均值i分别为 j = 11= , = 1 , 2 , ,ni x i 22j = 11= - , = 1 , 2 , ,i j ix x i 南京财经大学本科毕业论文（设计） 15 分别对均值 以及方差 2 的先验分布中的超参数进行估计。 对于 均值 的 先验分布 2,N 22e x p (则有， 11 22= 1 111 联立上式可以求得超参数 以及 2 ，即均值 的先验分布 2,N 。 而 对于 方差 2 的先验分布 ， 2+1 (对于第 i 组样本方差 2i， 根据 倒 伽马分布特性 24 2 2 211= -1 m ( 222 2 22 11( - 1 ) ( - 2 ) 1m 联立上式可以求得参数 、 的数值解，则 方差 2 的先验分布 ， 确定。 (二 ) 基于贝叶斯估计的 均值 在此对多批次、小批量产品质量特性分布分为三种情况 26： 第一种为对产品质量特性分布的 标准差 已有认识、了解或是已经 控制 在 某一 特定水平 上时，此时 认为 其分布的 标准差 已知 ，而均值 未知 ； 第二种情况为 对 产品质量特性分布 的均值 已经有了认识、了解或是已经控制在某一特定水平上时，则此时其分布的均值 已知而标准差 未知；第三种情况则是产品质量特性分布的均值 与标准差 均未知。以下分别对三种南京财经大学本科毕业论文（设计） 16 情况进行参数 、 后验分布的推导以及 控制限 的 建立 。 1. 均值未知，方差已知时 (1) 后验分布推导 当 方差 2 已知， 均值 未知，对 均值 进行参数估计。 当获得该生产过程 新的 新一批产品 1 2 k, , ,y , , ny y 中 =1,2, ,求得 均值 的后验分布为正态分布 。对于样本数据 1 2 k, , ,y , , ny y y，其似然函数为 16， 22 k = 1=111= = e x p - y p y y 则均值 的后验分布 y 为 2222=122 22= 1 = 1222 22 =12 2 2 2 2 2x p - - e x p +1 - 2 +e x p - +211e x p - + - 2 + + +2p y y n y 令 2 2=12 2 2 2 2 21+ , + , +n kk yn n C ,则 2221e x p - - 221e x p - - 22e x p - - /2y p y 可以看出，此时均值 的后验分布是 均值为 /差为 正态分布。 记 均值 的贝叶斯估计为 B， B推导得， 南京财经大学本科毕业论文（设计） 17 2222222222 22+=+1+=+ +BB n n (从 (中可以看出， 的贝叶斯估计 B为先验产品样本 质量特征值的均值与后续样本观察值均值的加权平均。随着后续 样本量 n 的增大， 先验样本均值 的权重将逐渐减小。当 n 足够大时 ，贝叶斯估计值 B与传统方法所估计的均值 几乎相同。而当 n 较小时， B充分利用了先验信息与后续观察值，而这两者在估计中占有重要地位，使得估计值更加可靠。 (2) 控制限 建立 令方差 220=， 对于 受控过程中产品质量特性 值 y 服从正态分布 2,N ，其 样本均值 y 服从正态分布 2, 。 将 (中均值 的贝叶斯估计 B代入。则 此时 x 控制图的界限为： 2020= + 3= - 3 L L n(则 s 控制图的控制界限为 ,0,= 9 9 . 8 6 5 %= 0 . 1 3 5 %U C L I G L I G a(2. 均值已知， 方差 未知 (1) 后验分布推导 获得该 生产过程 新 一批 观察值 1 2 k, , , y , , ny y 其中 =1,2, ,求得方差 2 的后验分布为倒 伽马分布 2k=11+ , + ( y - )22 a 。证明如下， 在获得新的样本观察值后， 样本似然函数为 南京财经大学本科毕业论文（设计） 18 2222 k = 1k = 111= = e x p - y p y y 因此 2 的后验分布 2 y 为 22 12 2 2+1 111- + 2 + 21 1 1e x p - p y 则方差 2 的后验分布核函数为 2n + 2 + 2 2 k = 11 1 1e x p - + 不难看出，方差 2 后验分布是仍是倒伽马分布 2k=11+ , + ( y - )22 a 。 根据倒伽马分布特性，记方差 2 的均值为 2B，则 212212212212, , , 2 ( - 1 )2 - 2 1 2 - 2 - 11 2 ( - 1 )2 - 2 2 - 2y y n (记 方差 2 的方差为 2则 2212212=- 1 - 222 其中 2p由式 (导得，是 历史 样本数据中 m 组的产品质量特征值方差 2i的期望值。不难看出，在方程 (，随着后续观察样本量 n 越来越大，先验信息 2p的权重将减少而后续观察样本 1 2 k, , ,y , , ny y 批次 样 本方差 2意味着当样本量 n 足够大时贝叶斯估计值 2