相似三角形综合大题(30)8解析

第 1 页 共 56 页 相似三角形综合大题 相似三角形综合大题 30 8 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 30 小题 小题 1 2011 秋 鲤城区校级期中 如图 已知 AD BC 点 E 在 AC 上且 AE 3EC 连接 DE 并延长它 交 BC 于点 F 交 AB 的延长线于点 G 1 试说明 ADE CFE 2 当 EF 2 时 求的值和 DE 的长 当点 F 恰好是 BC 的中点时 求 GF 的长 3 当的值为多少时 请简单说明理由 考点 相似形综合题 菁优网版权所有 分析 1 根据 AD BC 得出 D EFC DAE C 即可得出 ADE CFE 2 利用相似三角形的性质得出 再利用 AE 3EC 得出即可 首先得出 AGD BGF 进而求出 即可得出 GF 的长 3 由 3 3 得出 9 即可得出答案 解答 解 1 AD BC D EFC DAE C ADE CFE 2 ADE CFE AE 3EC DE 3FE 3 2 6 点 F 是 BC 的中点 BF CF AD BC AGD BGF 由 可知 FD FE ED 2 6 8 GF 4 3 当 3 时 9 理由如下 3 3 9 即 9 9 点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质 熟练利用相似三角形的性质得出对应线段之间的比值是解题关 键 2 2011 秋 武昌区校级期中 如图 两个矩形如图 1 摆放 其中矩形 ABCD 的长 a 宽 b 满足 且另一矩形 AEFG 的宽 AG 和对角线 FA 长是方程 x2 3x 2 0 的两根 1 分别求两个矩形的长 宽 2 求证 ABC AGF 3 将图 1 中矩形 AEFG 绕 A 点逆时针旋转 角 0 90 得到图 2 连 FC M 为 FC 中点 连 EM DM 问 DM 与 EM 有何数量关系 并证明你的结论 考点 相似形综合题 菁优网版权所有 分析 1 根据非负数的性质可以得出 就可以求出 a b 的值 再通过解一元 二次方程 x2 3x 2 0 求出其根就可以得出 AG 和对角线 FA 的值 由勾股定理就可以求出结论 2 由四边形 AEFG 和四边形 ABCD 是矩形可以得出 G B 90 再由 1 的结论可以求出 就 可以求得 ABC AGF 3 延长 EM 到 N 使 MN ME 连接 CN 并延长交 AB 于 H 连接 DE DN 根据条件可以得出 EFM NCM 可以得出 EFM NCM 可以得出 EF CN 运用条件可以证明 EAD NCD 可以得出 ADE CDN 可以得出 EDN 90 根据直角三角形的性质就可以得出 EM DM 解答 解 1 a 3 b 1 BC 3 AB 1 x2 3x 2 0 的根为 x1 1 x2 2 AG 1 FA 2 在 Rt AGF 中 由勾股定理 得 FG 矩形 ABCD 的长为 3 宽为 1 矩形 AEFG 的长为 宽为 1 2 如图 1 四边形 AEFG 和四边形 ABCD 是矩形 G B ADC 90 EF AG DC AB GAE BAD 90 BC 3 AB 1 AG 1 GF ABC AGF 3 DM EM 理由 如图 3 延长 EM 到 N 使 MN ME 连接 CN 并延长交 AB 于 H 连接 DE DN M 为 FC 中点 MF MC 在 EFM 和 NCM 中 EFM NCM SAS EFM NCM EF CN 1 EF CH AG CH 2 3 GAE BAD 1 2 360 1 2 180 3 4 180 1 4 DC AB 4 DCH 1 DCH EAD NCD ADE CDN ADN CDN ADC 90 ADN ADE 90 即 EDN 90 EM NM DM EN EM EN DM EM 点评 本题是一道相似形的综合试题 考查了非负数的性质的运用 一元二次方程的解法及运用 勾股定理的运用 相似三角形的判定及性质的运用 直角三角形的性质的运用 全等三角形的判定及性质的运用 解答时根据 条件证明三角形全等和三角形相似是解答本题的关键 3 2011 秋 汉阳区校级期中 1 如图 1 等腰直角三角形 ABC 中 ACB 90 D 是 BC 延长线上一点 E 是 AC 上一点 且 CD CE 连 BE 交 AD 于 F 求证 BF AD 2 如图 2 正方形 AGBC D 是 BC 延长线上一点 E 是 AC 上一点 且 CD CE 连 BE 交 AD 于 F 连 CF 利 用图 1 或图 2 证明 BFC 45 3 在图 2 中 若 直接写出 考点 相似形综合题 菁优网版权所有 分析 1 根据等腰直角三角形的性质证明三角形全等 可以得出 BEC D 再根据角的关系就可以求出 BFD 90 而得出结论 2 延长 AD 至 H 使 AH BF 由条件可以证明 ACH BCF 可以得出 CF CH BCF ACH 从而可 以 FCH 90 进而得出 CFH 45 从而得出结论 3 由 设 AC x AF x 根据正方形的性质及勾股定理可以求出 AB x BF 3x 就有 AH 3x 就有 FH 2x 根据勾股定理就可以求出 CF x 从而可以求出结论 解答 解 1 在 ACD 和 BCE 中 三角形 ACD 三角形 BCE SAS DAC EBC DAC D 90 EBC D 90 BFD 90 BF AD 2 延长 AD 至 H 使 AH BF 在 ACH 和 BCF 中 ACH BCF CF CH BF AH ACH BCF ACH ACF BCF ACF ACB FCH ACB 90 FCH 90 H CFH 45 BFD 90 BFC 45 3 AC x AF x BC x 在 Rt 中 由勾股定理得 AB x BFD 90 BFA 90 在 Rt AFB 中 由勾股定理得 BF 3x AH 3x FH 2x 在 Rt FCH 中 由勾股定理得 CF2 CH2 4x2 CF2 CF2 4x2 CF x 故答案为 点评 本题考查了全等是三角形的判定与性质的运用 正方形的性质的运用 垂直的定义的运用 等腰直角三角形 的性质的运用 勾股定理的运用 在解答中作辅助线证明三角形全等是关键 4 2011 秋 上饶县期中 如图 1 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 点 A 的坐标为 8 0 直线 BC 经过点 B 8 6 C 0 6 将四边 形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 a 度得到四边形 OA B C 此时直线 OA 直线 B C 分别与直线 BC 相交于点 P Q 1 四边形 OABC 的形状是 矩形 当 a 90 时 的值是 2 如图 2 当四边形 OA B C 绕点 O 旋转时 POQ 的面积为时 求的值 如图 3 当四边形 OA B C 的顶点 B 落在直线 BC 上时 求 OPB 的面积 3 在四边形 OABC 旋转过程中 当 0 a 180 时 是否存在这样的点 P 和点 Q 使 BP BQ 若存在 请直接写 出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 考点 相似形综合题 菁优网版权所有 分析 1 根据有一个角是直角的平行四边形即可得出四边形 OABC 是矩形 当 90 时 可知 根据比例 的性质得出 2 连接利用三角形的面积公式求出 PQ 的长 所以 PC CQ 又因为 BP PC BC 8 BP CQ 进 而求出 BP 的值 从而 BQ 可求 所以 根据勾股定理求得 PB 的长 再根据三角形的面积公式 进行计算 3 在四边形 OABC 旋转过程中 当 0 a 180 时 存在这样的点 P 和点 Q 使 BP BQ 构造全等三角形 和直角三角形 运用勾股定理求得 PC 的长 进一步求得坐标 解答 解 1 O 为坐标原点 点 A 的坐标为 8 0 直线 BC 经过点 B 8 6 C 0 6 OA BC 8 OC AB 6 AOA 90 四边形 OABC 的形状是矩形 当 90 时 P 与 C 重合 如右图 1 根据题意 得 则 2 连接 OQ 如图 2 S POQ PQ OC OC 6 PQ PC CQ BP PC BC 8 BP CQ BP 3 CQ BQ 3 如图 3 在 OCP 和 B A P 中 OCP B A P AAS OP B P 设 B P x 在 Rt OCP 中 8 x 2 62 x2 解得 x S OPB 6 3 存在这样的点 P 和点 Q 使 BP BQ 理由如下 过点 Q 画 QH OA 于 H 连接 OQ 则 QH OC OC S POQ PQ OC S POQ OP QH PQ OP 设 BP x BP BQ BQ 2x 如图 4 当点 P 在点 B 左侧时 OP PQ BQ BP 3x 在 Rt PCO 中 8 x 2 62 3x 2 解得 x1 1 x2 1 不符实际 舍去 PC BC BP 9 P1 9 6 如图 5 当点 P 在点 B 右侧时 OP PQ BQ BP x PC 8 x 在 Rt PCO 中 8 x 2 62 x2 解得 x PC BC BP 8 P2 6 综上可知 存在点 P1 9 6 P2 6 使 BP BQ 故答案为 矩形 点评 本题考查了旋转的性质 矩形的性质 全等三角形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 勾股定理 特 别注意在旋转的过程中的对应线段相等 能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边 根据勾股定理 列方程求解 5 2011 春 江岸区期中 已知 如图 1 Rt ABC 中 ACB 90 CG AB 垂足为 G AD 平分 CAB 交 CG 于 E 过 E 作 EF AB 交 BC 于 F 1 求证 2 若 求的值 3 当 DF 1 BF 2 时 求 AB 的值 考点 相似形综合题 菁优网版权所有 分析 1 由角平分线的性质 直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质推知 CE CD 然后由相似三角形 ACE ABD 的对应边成比例来证得结论 2 设 AC 3k AB 5k 由勾股定理 CAG CAB 的余弦三角函数的定义求得 CG CD 的值 然后根 据 平行线分线段成比例 等量代换推知 利用线段间的和差关系求得 DF k 问题到这里就迎刃 可解了 3 由 2 知 CD BF 1 5k 则根据已知条件 DF 1 BF 2 证得 BC 5 根据角平分线定理 余弦三角函数的定义求得 然后在直角三角形 ABC 中根据勾股定理即 可求得 AB 的值 解答 1 证明 在 Rt ADC 中 CDA 90 1 直角三角形的两锐角互余 同理在 Rt AEG 中 AEG 90 2 又 AD 平分 CAB 已知 1 2 角平分线定义 AED CDE 等量代换 又 CED AED 对顶角相等 CED CDE CE CD 等角对等边 在 ACE 和 ABD 中 1 2 AEC ECD CDE ADB ACE ABD 2 在 Rt ABC 中 cos CAB 故设 AC 3k AB 5k 则由勾股定理知 BC 4k 由 1 知 CD 1 5k BD 2 5k 在 Rt ACG 中 cos CAG cos CAB AG k CG k 勾股定理 又 EF AB 平行线分线段成比例 由 1 知 CD CE 即 CF k DF CF CD k FB BD DF 1 5k 3 由 2 知 CD BF 则 BC 5 AD 平分 CAB 角平分线定理 又 cos CAB EF AB 平行线截线段成比例 比例的性质 即 AC2 BC2 AB2 AB 3 点评 本题考查了相似综合题 相似三角形的判定与性质 平行线分线段成比例 勾股定理 余弦三角函数的定义 以及角平分线的定义 6 2011 秋 虹口区期中 已知 在梯形 ABCD 中 AD BC AB AD DC 5 cos ABC 点 E 是 AB 边的中点 点 F 是射线 BC 上的一动点 连接 BD DF 1 如图 1 当 DF BC 时 求 tan ABD 2 如图 2 当点 F 在 BC 的延长线上时 连接 EF 交 DC 边于点 G 设 CF m 试求线段 DG 用含 m 的代数式表 示 3 设 M 是边 DC 上一点 且 5DM 8AE 连接 AM 与对角线 BD 相交于点 N 若 BDF ADN 请求线段 CF 考点 相似形综合题 菁优网版权所有 分析 1 先根据等底对等角 平行线的性质及三角函数的知识即可求出 tan ABD 2 过点 E 做 EN BC 过点 G 做 GM BC 过点 A 做 AP BC 过点 D 做 DQ BC 根据平行线的判定和 相似三角形的性质即可求出线段 DG 3 过点 A 做 AH BC 于点 H 以 HC 为 x 轴 HA 为 y 轴建立直角坐标系 过点 M 做 MP BC 于点 P 过 点 D 做 DQ BC 于点 Q 根据相似三角形的性质结合三角形的面积公式即可求解 解答 解 1 AB AD ABD ADB AD BC ADB DBC ABD DBC tan ABD tan ABC 2 过点 E 做 EN BC 过点 G 做 GM BC 过点 A 做 AP BC 过点 D 做 DQ BC 所以 EN GM AP QD 所以 GM EN FM FN 其中 EN AP DQ 则 2GM DQ FM FN GM DQ CG CD CM CQ 则 2CM CQ FM FN FC CM BF BN m CM 11 m 2CM CQ 2CM 3 解得 CM CG CD CM CQ 则 CD DG CD CM CQ 即 5 DG 5 3 解得 DG 3 过点 A 做 AH BC 于点 H 以 HC 为 x 轴 HA 为 y 轴建立直角坐标系过点 M 做 MP BC 于点 P 过点 D 做 DQ BC 于点 Q 则 CP CQ MP DQ CM CD 5DM 8AE 8 5 2 20 DM 4 则 CP CQ MP DQ 5 4 5 则 CP MP 则点 A 为 0 4 点 M 为 点 B 为 3 0 点 D 为 5 4 直线 AM 为 y x 4 直线 BD 为 y x 两直线相交于点 N 点 N 为 AND 中 底边 AD 5 h 4 S 5 S BDF 4BF BF CF BC BF 3 5 3 点评 考查了相似形综合题 本题涉及的知识点有等腰三角形的性质 平行线的性质 三角函数 相似三角形的性 质和三角形的面积 综合性较强 有一定的难难度 7 2010 永春县校级自主招生 如图 点 M N 是边长为 4 的正 ABC 边 AB AC 上的动点 且满足 将 AMN 沿 MN 折叠 使 A 点恰好落在 BC 边上的 D 点处 1 求证 BDM CND 2 若 BD CD 2 3 试求 AM AN 的值 3 若 DM BC 试求 CM 的值 4 当 D 从 B 移动到 C 点 N 运动的总路线长是多少 考点 相似形综合题 菁优网版权所有 专题 探究型 分析 1 由等边三角形的性质可知 A B C 60 根据图形反折变换的性质可知 MDN A 60 故 MDB NDC 120 在 BDM 中由于 MDB BMD 120 所以 BMD NDC 故可得出结论 2 由 ABC 是边长为 4 的等边三角形 BD CD 2 3 可知 BD CD 的长 再由 1 中 BDM CND 可知 BM 2 4 1 6 CN DM DN 再把 AM MD AN ND BM 4 AM CN 4 AN 代入即可得出结 论 3 当 DM BC 时 连接 CM 设 BM x 则 MD AM 4 BM 4 x 在 Rt BDM 中 由 sinB sin60 可求出 x 的值 进而得出 MD 及 BD 的长 根据勾股定理即可求出 CM 的长 4 当 ND BC 时 N 点到达离 C 点最远处 同 3 可知此时 NC 8 2 当 D 点继续向 C 点移动时 N 往 AC 中点移动 由此即可得出结论 解答 1 证明 MDN A 60 MDB NDC 120 又 在 BDM 中 MDB BMD 120 BMD NDC BDM CND 2 解 ABC 是边长为 4 的等边三角形 BD CD 2 3 BD 1 6 CD 2 4 由 1 知 BDM CND BM 2 4 1 6 CN DM DN AM MD AN ND BM 4 AM CN 4 AN 4 AM 2 4 1 6 4 AN AM AN 2 4AM 4AN AN AM 1 6AN 4AM AM AN 得 2 4AM 1 6AN 4AN 4AM 即 6 4AM 5 6AN AM AN 5 6 6 4 7 8 3 解 如图所示 当 DM BC 时 连接 CM 设 BM x 则 MD AM 4 BM 4 x 在 Rt BDM 中 sinB sin60 解得 x 8 2 MD 4 x 4 8 2 8 12 BD BM 4 2 CD 4 BD 4 4 2 4 4 CM 4 解 当 ND BC 时 N 点到达离 C 点最远处 同 3 可知此时 NC 8 2 当 D 点继续向 C 点移动时 N 往 AC 中点移 N 点的路程是 2 8 2 4 30 16 点评 本题考查的是相似形综合题 涉及到等边三角形的性质及翻折变换的性质 相似三角形的判定定理等相关知 识 难难度适中 8 2010 南岗区校级二模 已知 如图 正方形 ABCD 对角线 AC BD 相交于 O Q 为线段 DB 上的一点 MQN 90 点 M N 分别在直线 BC DC 上 1 如图 1 当 Q 为线段 OD 的中点时 求证 DN BM BC 2 如图 2 当 Q 为线段 OB 的中点 点 N 在 CD 的延长线上时 则线段 DN BM BC 的数量关系为 3 在 2 的条件下 连接 MN 交 AD BD 于点 E F 若 MB MC 3 1 NQ 求 EF 的长 考点 相似形综合题 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 1 如图 1 过 Q 点作 QP BD 交 DC 于 P 然后根据正方形的性质证明 QPN QBM 就可以得出结论 2 如图 2 过 Q 点作 QH BD 交 BC 于 H 通过证明 QHM QDN 由相似三角形的性质就可以得出结 论 3 由条件设 CM x MB 3x 就用 CB 4x 得出 BH 2x 由 2 相似的性质可以求出 MQ 的值 再根据 勾股定理就可以求出 MN 的值 可以表示出 ND 由 NDE NCM 就可以求出 NE 也可以表示出 DE 最 后由 DEF BMF 而求出结论 解答 解 1 如图 1 过 Q 点作 QP BD 交 DC 于 P PQB 90 MQN 90 NQP MQB 四边形 ABCD 是正方形 CD CB BDC DBC 45 DO BO DPQ 45 DQ PQ DPQ DBC QPN QBM Q 是 OD 的中点 且 PQ BD DO 2DQ DP DC BQ 3DQ DN NP BC BQ 3PQ NP BM DN BM BC 2 如图 2 过 Q 点作 QH BD 交 BC 于 H BQH DQH 90 BHQ 45 COB 45 QH OC Q 是 OB 的中点 BH CH BC NQM 90 NQD MQH QND NQD 45 MQH QMH 45 QND QMH QHM QDN HM ND BM HM HB 故答案为 3 MB MC 3 1 设 CM x MB 3x CB CD 4x PB 2x PM x HM ND ND 3x CN 7x 四边形 ABCD 是正方形 ED BC NDE NCM DEF BMF DE NQ QM 3 在 Rt MNQ 中 由勾股定理得 MN 15 NE EM 设 EF a 则 FM 7a a 7a a 点评 本题是一道相似的综合试题 考查了正方形的性质的运用 相似三角形的判定于性质的运用 勾股定理的运 用及平行线等分线段定理的运用 在解答时利用三角形相似的性质求出线段的比是解答本题的关键 9 2010 秋 香坊区期末 已知在 Rt ABC 中 C 90 AC kBC 直线 l 经过点 A 过点 C B 分别向直线 l 作 垂线 垂足分别为 E F CE 交 AB 于点 M 1 如图 1 若 k 1 求证 AE BF CE 2 如图 2 若 k 2 则 AE BF CE 之间的数量关系是 CE AE BF 3 在 2 的条件下 如图 3 连接 CF 过点 A 作 AG CF 交 CE 延长线于点 G 若 CF 3 BF 5 求 MG 的 长 考点 相似形综合题 全等三角形的判定与性质 勾股定理 矩形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 综合题 分析 1 过点 C 作 CH BF 交 FB 的延长线于点 H 如图 1 易证四边形 CEFH 是矩形 从而有 CE HF HCE 90 进而证到 BHC AEC 则有 BH AE 就可证到 AE BF CE 2 过点 C 作 CP BF 交 FB 的延长线于点 P 如图 2 易证四边形 CEFP 是矩形 则有 CP EF CE PF PCE 90 进而可证到 AEC BPC 根据相似三角形的性质可得 AE 2BP EC 2PC 进而可证到 CE AE BF 3 过点 C 作 CP BF 交 FB 的延长线于点 P 如图 3 利用 2 中的结论可证到 PF CE 2PC 在 Rt CPF 中运用勾股定理可求出 PC 长 进而可求出 EF CE PF BP AE 的长 然后可通过证明 AEG FEC 求出 EG 的长 再通过证明 AEM AFB 求出 ME 的长 就可求出 MG 的长 解答 1 证明 过点 C 作 CH BF 交 FB 的延长线于点 H 如图 1 CH BF BF EF CE EF CHF HFE FEC 90 四边形 CEFH 是矩形 CE HF HCE 90 HCE ACB 90 HCB ECA 在 BHC 和 AEC 中 BHC AEC AAS BH AE AE BF BH BF HF CE 2 证明 过点 C 作 CP BF 交 FB 的延长线于点 P 如图 2 CP BF BF EF CE EF CPF PFE FEC 90 四边形 CEFP 是矩形 CP EF CE PF PCE 90 ACB PCE 90 ECA PCB AEC BPC 90 AEC BPC 2 AE 2BP EC 2PC CE PF PB BF AE BF 故答案为 CE AE BF 3 过点 C 作 CP BF 交 FB 的延长线于点 P 如图 3 由 2 得 CP EF CE PF AE 2BP EC 2PC PF CE 2PC 在 Rt CPF 中 CPF 90 PC2 PF2 CF2 PC2 2PC 2 3 2 解得 PC 3 EF PC 3 PF CE 2PC 6 BP PF BF 6 5 1 AE 2BP 2 CF AG AEG FEC EG 4 AEC 90 AFB EM BF AEM AFB ME 2 MG GE ME 6 MG 的长为 6 点评 本题考查了相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 矩形的判定与性质 勾股定理等知识 而 利用条件 AC kBC 构造相似三角形 包含全等三角形 是解决本题的关键 10 2008 秋 南岗区校级月考 如图 矩形 ABCD 中 DBC 的角分线与 CD 交于 K 点 P 在射线 BK 上 过点 P 作直线 AB AD 的垂线 垂足为 E F 与直线 BD 交于 M N 两点 1 如图 1 若 AD AB 1 2 点 P 在线段 BK 上时 求证 DM 5ME DN 2 若 AD AB 1 2 点 P 在射线 BK 上时 1 问中的结论是否成立 若成立给予证明 若不成立 请你直接写 出结论 3 若 AD 3 AB 4 当 EM FN MN 时 求 EM 的长 考点 相似形综合题 菁优网版权所有 分析 1 易证 BEM MNP ABD 则三个三角形的三边的比都是 1 2 然后利用等角对等边可以证得 BM MP 即可证得结论 2 与 1 相同 可以得到 BM MP ME MN MP 5ME 则 MD ME DN 的关系即可写出 3 与 1 相同 则 BEM MNP ABD 根据勾股定理可以得到每个三角形的三边的比是 3 4 5 利用 EM 分别表示出 MN NF 的长 根据 EM FN MN 即可列出关于 EM 的方程 从而求解 解答 1 证明 直角 ABD 中 AD AB 1 2 AD AB BD 1 2 AB FN BEM MNP ABD BM ME MN MP 5ME BK 平分 DBC NBP CBK 又 PE BC CBK BPM BPM NBP BM MP ME DM MN DN 5ME DN 2 证明 如图 2 所示 同 1 可得 BM MP ME MN MP 5ME DM MN DN DM 5ME DN 3 解 直角 ABD 中 AD 3 AB 4 BD 5 同 1 可证 BEM MNP ABD 则每个三角形的三边的比是 3 4 5 当 P 在线段 BK 上时 如图 3 则 BM MP EM MN MP EM FD AD AF AD EM MP 3 EM EM AD EM 3 EM NF FD 4 EM EM FN MN EM 4 EM EM 解得 EM 当 F 在点 P 在 BK 的延长线上时 如图 4 同理可得 BM MP EM MN MP EM FD AF AD EM MP AD EM EM AD EM AD EM 3 EM FN MN EM EM 4 EM 解得 EM 故 EM 或 点评 本题考查了相似三角形的判定与性质 正确理解 BEM MNP ABD 三角形中三边的比值 从而利用一 边表示另外的边是关键 11 如图 1 已知正方形 ABCD 边长为 1 点 Q 为 BC 延长线上的一个动点 QA 与 CD BD 分别交于点 P E 1 当 CQ 时 求的值 2 如图 2 如果对角线 AC 与 BD 相交于点 O 联结 QO 交 CD 于点 F 设 CQ x S EOQ y 求 y 关于 x 的函数 关系式 并求出 x 的取值范围 3 在 2 的条件下 DEP 能否与 DBQ 相似 若能请求出 x 的值 若不能请说明理由 考点 相似形综合题 菁优网版权所有 分析 1 先求出 BQ 再根据 AD BQ 得出 即可求出 2 作 QH BD 垂足为点 H 根据 DBQ 45 得出 QH 1 x 根据 AD BQ 得出 再求出 DE 根据 OD BD 求出 OE 最后根据 y OE QH 代入整理即可 3 先求出 EDP DBQ 45 再根据若 DEP BDQ 则 DEP BDQ 再求出 AQC 1 2 证出 DAP CQD 得出 PC 1 x 再根据 ADP QCP 得到 得出 即可求出 x 的值 解答 解 1 CQ BQ BC CQ 1 AD BQ 2 作 QH BD 垂足为点 H ABCD 是正方形 DBQ 45 在 Rt BQH 中 QH BQsin DBQ 1 x AD BQ BD DE OD BD OE OD DE y OE QH 1 x x 0 3 四边形 ABCD 是正方形 EDP DBQ 45 若 DEP BDQ 则 DEP BDQ DEP DBQ AQC BDQ BDC 1 AQC 1 2 在 DAP 和 CQD 中 DAP CQD ASA DP CQ x PC 1 x ADP QCP 解得 x1 x2 舍去 x 的值是 点评 此题考查了相似形的综合 用到的知识点是正方形的性质 相似三角形和全等三角形的判定与性质 关键是 根据题意作出辅助线 找出相似的三角形 12 如图 所示 矩形 ABCD 一条边 AD 8 将矩形 ABCD 折叠 使得顶点 B 落在 CD 边上的点 P 处 折痕与边 BC 交于点 O 连接 AP OP OA PDA 的面积是 OCP 的面积的 4 倍 1 求证 OCP PDA 2 求边 AB 的长 3 连结 BP 动点 M 在线段 AP 上 点 M 与点 P A 不重合 动点 N 在线段 AB 的延长线上 且 BN PM 连结 MN 交 PB 于点 F 作 ME BP 于点 E 按上面的叙述在图 中画出正确的图象 当点 M N 在移动过程中 线段 EF 的长度是否发生变化 若变化 说明理由 若不变 求出线段 EF 的长度 考点 相似形综合题 菁优网版权所有 分析 1 利用折叠和矩形的性质可得到 C D APD POC 可证得相似 2 利用面积比可求得 PC 的长 在 Rt APD 中利用勾股定理可求得 AB 的长 3 结合描述画出图形即可 作 MQ AN 交 PB 于点 Q 利用条件证明 MFQ NFB 得到 EF PB 且可求出 PB 的长 可得出结论 解答 1 证明 四边形 ABCD 是矩形 AD BC DC AB DAB B C D 90 由折叠可得 AP AB PO BO PAO BAO APO B APO 90 APD 90 CPO POC OCP PDA 2 解 OCP 与 PDA 的面积比为 1 4 CP 4 设 AB x 则 AP x DP x 4 在 Rt ADP 中 由勾股定理可得 AP2 AD2 DP2 即 x2 82 x 4 2 解得 x 10 即边 AB 的长为 10 3 解 如图所示 EF 的长度不变 理由如下 作 MQ AN 交 PB 于点 Q 如上图 AP AB MQ AN APB ABP ABP MQP APB MQP MP MQ ME PQ PE EQ PQ BN PN MP MQ BN QM MQ AN QMF BNF 在 MFQ 和 NFB 中 MFQ NFB AAS QF BF QF QB EF EQ QF PQ QB PB 又由 1 可知在 Rt PBC 中 BC 8 PC 4 PB 4 EF 2 即 EF 的长度不变 点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质及矩形的性质 全等三角形的判定和性质 直角三角形的性质和勾股 定理等知识的综合应用 在 1 中掌握好相似三角形的判定是解题的关键 在 2 中利用相似三角形的面 积比等于相似比的平方求得 PC 的长是解题的关键 在 3 的 中把 EF 用 PB 表示出来是解题的关键 注 意方程思想的应用 本题知识点较多 综合性较强 难难度较大 13 已知 ABC 是等边三角形 FBG 30 FB FG CH BC 交 AG 于 H 求证 FH HC 考点 相似形综合题 菁优网版权所有 分析 作 AM BC BQ AC FP BQ FR BC GN BC 延长线于 N 设 AB BC AC a BF b 根据 AM BC FR BC GN BC 得出 AM FR GN 求出 CBQ FBG 从而得出 FBQ GBM 求出 BQ a 再根据相似三角形的性质得出 BN 的值 再根据直角三角形的性质 得出 FR CH 最后根据 FR CH CH BC 得出四边形 CHFR 是矩形 从而得出答案 解答 解 作 AM BC BQ AC FP BQ FR BC GN BC 延长线于 N 设 AB BC AC a BF b AM BC FR BC GN BC AM FR GN CBQ FBG 30 FBQ GBM BQ a BGF 是等腰三角形 FBG 30 BG 2BP b 可证 BGN BQF 即 BN a CN BN BC a CM CH 是梯形 AMNG 的中位线 CH GN AM QF GN AM a CH a a CF CQ QF a FR CF a CH FR CH CH BC 四边形 CHFR 是矩形 FH CH 点评 此题考查了相似形的综合 用到的知识点是相似三角形的判定与性质 矩形的性质 直角三角形的性质等知 识点 熟练掌握性质定理是解题的关键 14 等腰 Rt ABC 中 ABC 90 且 AB BC P 为 AC 上一点 以 BP 为直角边向上作等腰 Rt BPD BPD 90 1 求证 AD AB 2 连接 DC E 为 CD 中点 连接 PE 求证 AD 2PE 3 PE 1 PC 求 AB 的值 考点 相似形综合题 菁优网版权所有 分析 1 根据 BAC BDP AFB DFP 证出 AFB DFP 得出 再根据 AFD BFP 证出 AFD BFP 得出 FAD FBP 45 BAD 90 从而得出 AD AB 2 过点 P 作 MN AD 的延长线于 N MN BC 于 M 交 DC 于 E 过点 C 作 CK AD 的延长线于 K DJ AD 交 AC 于 J 得出 AD DJ 四边形 ABCK 是正方形 四边形 NMCK 是矩形 APB APK 再证出 PK PB PK PD DN NK 根据 E DN E MC 得出 DE E C E E 重合 根据 PE DJ ED EC 得出 JP PC PE DJ AD 从而证出 AD 2PE 3 由 2 可知 AD 2PF 2 根据 PC 求出 MC 1 DN NK 1 最后根据 AB AK 即可得出答案 解答 证明 1 ABC BDP 是等腰直角三角形 BAC BDP 45 AFB DFP AFB DFP AFD BFP AFD BFP FAD FBP 45 BAD 90 AD AB 2 过点 P 作 MN AD 的延长线于 N MN BC 于 M 交 DC 于 E 过点 C 作 CK AD 的延长线于 K DJ AD 交 AC 于 J AD DJ 四边形 ABCK 是正方形 四边形 NMCK 是矩形 APB APK PK PB PB PD PK PD PN DK DN NK 在 E DN 和 E MC 中 E DN E MC DE E C E E 重合 PE DJ ED EC JP PC PE DJ AD AD 2PE 3 由 2 可知 AD 2PF 2 PC MC 1 DN NK 1 AB AK 4 点评 此题考查了相似形综合 用到的知识点是相似三角形和全等三角形的判定与性质 等腰直角三角形的性质 关键是根据题意做出辅助线 构造相似三角形 15 如图 x 轴是西气东输工程天然气的主管道 按规定主管道在我市只允许开一个口 A 2 1 B 10 5 是 我市新建的两个天然气站 现在要在 x 轴上选一个点开口 分别连接到 A B 小明说 作 AB 的垂直平分线交 x 轴 于 C 就选点 C C 点到 A B 的距离相等 小华说 不行 可以用轴对称知识做出点 E 点 E 到 A B 的距离之和 最小 这样可以节约原材料 节省费用 请你求出 1 C 点的坐标 2 AE BE 的值 考点 相似形综合题 菁优网版权所有 分析 1 作 BG x 轴 设 C x 0 则 HC x 2 GC 10 x 在 Rt AHC 和 Rt BGC 中 运用勾股定理即可求出 x 的值 2 根据 HEF GEB 再利用勾股定理求出 AE 和 BE 的值 解答 解 1 如图 作 BG x 轴 设 C x 0 则 HC x 2 GC 10 x AC CB 在 Rt AHC 和 Rt BGC 中 12 x 2 2 10 x 2 52 即 x 7 5 可得 C 点坐标为 7 5 0 2 HEF GEB 又 HE EG HG 10 2 8 EG EG 8 EG HE AE BE 从而 AE BE 10 点评 本题考查了相似形 找到相关的三角形 作出恰当的辅助线 灵活运用勾股定理是解题的关键 16 如图 四边形 ABCD 是矩形 点 E 是边 AB 上的点 过点 E 作 DE 的垂直线交对角线 BD 于点 O 交边 BC 于点 F 1 ADE 与 BEF 相似吗 说明理由 2 过点 O 作 AB 的垂线交 AB 于点 M 交 CD 于点 N 连接 NB NE 若 NB NE 证明 线段 BO 是 BEF 的 EF 边上的中线 3 在 2 的条件下 若点 E 是 AB 的中点 且 AB 4 求线段 DO 的长 考点 相似形综合题 菁优网版权所有 分析 1 根据矩形的性质 可得 A ABC 90 根据同角的余角相等 可得 ADE BEF 根据两个角相等的 三角形相似 可得答案 2 根据等腰三角形的性质 可得 BM 与 EM 的关系 根据三角形中位线的性质 可得答案 3 根据相似三角形的判定与性质 可得 BO 与 OD 的关系 根据三角形中位线的性质 可得 EG 与 AD 的 关系 BG 与 BD 的关系 根据平行四边形的判定与性质 可得 BF 与 EG 的关系 根据相似三角形的性质 可得 根据比例的性质 可得 AD 的长 根据勾股定理 可得 BD 的长 根据按比例分配 可得答 案 解答 解 1 ADE BEF 理由如下 ABCD 是矩形 A ABC 90 ADE AED 90 EF DE AED BEF 90 ADE BEF ADE BEF 2 NB NE NM BE BM EM MN BC MO 是 EBF 的中位线 OE OF BO 是 BEF 的边 EF 上的中线 3 AB 4 E 为 AB 的中点 BE AB 2 BM BE 1 CN BM 1 DN 3 BM DN OBM ODN 过 E 作 EG AB 交 BD 于 G E 为 AB 中点 EG 是 ABD 的中位线 G 为 BD 中点 BG BD EG AD BO GO 又 OE OF 四边形 EGFB 是平行四边形 BF EG AD ADE BEF AD BF AE BE 即 AD2 2 2 AD 2 BD 2 OD BD 点评 本题考查了相似形综合题 利用了相似三角形的判定 等腰三角形的性质 三角形的中位线 相似三角形的 性质三角形的中位线 勾股定理 综合性较强 17 已知 ABC 为等边三角形 点 D E 分别在直线 BC AC 上 且 CD AE 直线 AD BE 相交于点 N 过点 B 作 BM AD 于点 M 1 如图 1 当点 D 在 BC 边上 点 E 在 AC 边上 求证 AD 2MN EN 2 如图 2 当点 D 在 CB 延长线上 点 E 在 AC 延长线上 请直接写出 AD MN EN 的关系 3 如图 2 在 2 的条件下 若 NB ND MN 2 AC 4 求 BCE 的面积 考点 相似形综合题 菁优网版权所有 专题 综合题 分析 1 易证 ABE CAD 则有 BE AD ABE CAD 从而得到 BNM 60 进而得到 NBM 30 就有 BN 2MN 从而解决问题 2 借鉴 1 的方法就可得到 AD MN EN 的关系 3 同理可得 ANE 60 然后根据条件可得到 ABE 90 AC CE 只需求出 ABE 的面积 就可得到 BCE 的面积 解答 解 1 如图 1 ABC 是等边三角形 AB BC AC BAC ACB 60 在 ABE 和 CAD 中 ABE CAD SAS BE AD ABE CAD BNM BAN ABN BAN CAD 60 BM AD 即 AMB 90 NBM 30 BN 2MN AD 2MN BE BN EN 2 如图 2 同理可得 BE AD BN 2MN AD 2MN BE BN EN 3 如图 2 同理可得 ANE 60 NB ND NDB NBD 30 CBE NBD 30 E ACB CBE 30 CBE BC EC EC AC S ABE 2S BCE 在 ABE 中 ABE ABC CBE 60 30 90 AB 4 AE 2AC 8 BE 12 S ABE AB BE 4 12 24 2S BCE 24 S BCE 12 即 BCE 的面积为 12 点评 本题考查了等边三角形的性质 全等三角形的判定与性质 30 所对的直角边等于斜边的一半 勾股定理 面 积变换等知识 有一定的综合性 借鉴已有的解题经验是解决本题的关键 18 小明将两个全等的等腰三角板摆放在一起 其中 ACB DFE 90 AB DE 12 1 如图 1 当 D 与 C 点重合时 CF CE 分别与 AB 交于 M N 两点 且量得 AM 3 BN 4 小明发现 AM MN BN 存在某种数量关系 他想 当 AM a BN b MN c 时 这种数量关系仍成立吗 请你一起探究并证 明这个结论 2 如图 2 当等腰 Rt DEF 的顶点 D 恰好在 AB 的中点处时 DE DF 分别与 AC BC 交于 M N 小明经测量 后猜想 AM BN 是一个定值 你认可他的猜想吗 说明理由 若猜想成立 请求出该定值 3 在 2 的条件下 DEF 绕点 D 旋转 DE DF 所在的直线分别交线段 AC 和线段 BC 于点 M N 若 CN 2 求 MN 的长 考点 相似形综合题 全等三角形的判定与性质 勾股定理 菁优网版权所有 专题 综合题 分析 1 由小明量得的数据可猜想当 AM a BN b MN c 时 有 a2 b2 c2 可过点 B 作 BG AB 并使得 BG AM 连接 CG GN 从而将 AM NB 归结到 Rt NBG 中 只需证 MN GN 只需证 MCN GCN 只需证 MCN NCG CM CG 只需证 AMC BGC 即可 2 由 A EDF B 45 可证 AMD BDN 根据相似三角形的性质可得 AM BN AD BD 36 从而解决 问题 3 由条件可求出 CA CB 的长 然后由 CN 可求出 BN 再借用 2 中的结论可求出 AM 从而可求出 CM 在 Rt MCN 中运用勾股定理就可解决问题 解答 解 1 AM 3 BN 4 AB 12 MN AB AM BN 12 3 4 5 AM2 BN2 MN2 猜想 当 AM a BN b MN c 时 有 a2 b2 c2 理由如下 过点 B 作 BG AB 并使得 BG AM 连接 CG GN 如图 1 则有 ABG 90 ABC 45 GBC 45 在 AMC 和 BGC 中 AMC BGC SAS CM CG ACM BCG MCG ACB 90 MCN 45 NCG MCG MCN 45 MCN NCG 在 MCN 和 GCN 中 MCN GCN SAS MN GN 在 Rt NBG 中 NBG 90 BN2 BG2 GN2 BN2 AM2 MN2 2 小明的猜想正确 理由如下 如图 2 由题可得 A MDN B 45 MDB A AMD MDN NDB AMD NDB AMD BDN AM BN AD BD D 为 AB 的中点 AB 12 AD BD 6 AM BN 36 AM BN 是一个定值 该定值为 36 3 连接 MN 如图 3 在 Rt ACB 中 C 90 AC BC AB 12 AC BC 6 CN 2 BN 4 AM BN 36 AM CM CA AM 6 在 Rt MCN 中 C 90 MN2 CM2 CN2 2 2 2 8 MN MN 的长为 点评 本题考查了全等三角形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 勾股定理等知识 将 AM BN MN 归结 到同一个直角三角形中是解决第 1 小题的关键 证明 AMD BDN 是解决第 2 小题的关键 运用 2 中的结论则是解决第 3 小题的关键 19 已