安徽马鞍山高三数学第二次教学质量监测理

安徽省马鞍山市2019届高三数学第二次教学质量监测试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数（为虚数单位），则（ ）A. B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】先用复数除法和乘法的运算法则化简复数，然后利用复数模的公式求出.【详解】故本题选A.【点睛】本题考查了复数的除法、乘法运算法则。考查了求复数模的求法。2.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过解不等式，对集合A,B化简，然后求出，最后求出.【详解】或，因此集合 =，因此集合B 故本题选D.【点睛】本题考查了集合的运算、对数函数的定义域、绝对值不等式、对数不等式。考查了数形结合思想。3.已知实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】求的最大值，实质上就是求的最大值，设问题就先转化求在可行解域内求的最大值. 最后求出的最大值.【详解】设， 显然是指数函数， 是增函数.本题求的最大值就是求出的最大值.可行解域如下图所示：显然直线平行移动到点A时，有最大值，解方程组，解得A点坐标为（1，1），代入直线中，得的最大值为，故本题选C.【点睛】本题考查了线性归划问题、指数函数的性质.4.在由直线，和轴围成的三角形内任取一点，记事件为，为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由所求问题可知，本题是求条件概率，因此可以运用公式求解。同时本题又是一个几何概型，这就涉及到求面积，三角形面积可以直接使用三角形面积公式，而对于不规则图形的面积可以采用定积分的方法来求解。【详解】图形如下图所示：直线，和轴围成的三角形的面积为；直线，和轴围成的三角形的面积为；直线，和轴围成的三角形的面积为； , 故本题选D.【点睛】本题考查了几何概型、条件概率、定积分的应用.5.若二项式的展开式中第项为常数项，则，应满足（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式，对通项公式化简，让的指数为零，由题意可知第项为常数项，让，就可以知道，应满足的等式.【详解】二项式的展开式，第为，已知第项为常数项，所以有且，故本题选B.【点睛】本题考查了二项式展开式的通项.格外要注意的是二项式展开式的通项表示的是第项.6.已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A. 20B. 22C. 24D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是正方体去掉两个“角”。【详解】通过三视图可知，该几何体是正方体去掉两个“角”。所以表面积S=.故本题选B.【点睛】本题考查了通过三视图，判断几何体的形状问题，并求出几何体的表面积问题。解决此类问题的关键是加强空间想象力。7.已知定义在上的函数，满足，则函数的图象关于（ ）A. 直线对称B. 直线对称C. 原点对称D. 轴对称【答案】B【解析】【分析】首先考虑函数的图象特征，再将函数向右平移一个单位长度，得到的图象，这样就能得到的图象特征.【详解】设函数, 所以有 定义域为，所以函数是上的偶函数，图象关于轴对称，也就是关于直线对称.而的图象是由函数向右平移一个单位长度得到的。因此函数的图象关于直线对称，故本题选B.【点睛】本题考查了抽象函数的平移、对称性、奇偶性.本题也可以有以下的一种解法： 所以函数的图象关于直线对称.8.已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先将函数化简，并用辅助角公式化成一个形式，函数的图象关于轴对称，也就是说函数是偶函数，因此有，而，就能求的最小值.【详解】 进行化简得，由题意可知，函数的图象关于轴对称也就是说函数是偶函数，所以有成立，即因为 所以的最小值为，此时，故本题选A.【点睛】本题考查了两角知差的余弦公式、三角函数图象的平移、辅助角公式、偶函数图象特征。9.如图，半径为的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意可以得到两个圆锥高的和与球半径的关系，再由勾股定理得到底面半径与球半径之间的关系，最后可求出两圆锥高之差的绝对值。【详解】如已知图，设球的球心为，体积为，上面圆锥的高为,体积为，下面圆锥的高为,体积为；圆锥的底面的圆心为，半径为.由球和圆锥的对称性可知，,，由题意可知： 而 由于垂直于圆锥的底面，所以垂直于底面的半径，由勾股定理可知：， ,可知，这两个圆锥高之差的绝对值为，故本题选D.【点睛】本题考查了球和圆锥的几何性质、它们的体积公式.10.已知抛物线：上点处的切线与轴交于点，为抛物线的焦点，若，则（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】设点的坐标，对，进行求导，求出点处的切线的斜率，进而求出切线的直线方程，然后求出点的坐标，根据抛物线的定义，可以求出，得到等式，就可以求出.【详解】设点的坐标，抛物线的焦点 准线方程为： ， ,直线方程为：，令，所以点的坐标为，由抛物线的定义和已知可知：， 故本题选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义、焦点坐标、准线方程、切线方程。考查了导数的几何意义。11.已知圆，是同心圆，半径依次为1，2，3，过圆上点作的切线交圆于，两点，为圆上任一点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设同心圆的圆心为，利用切线的性质可以求出的大小，用、计算出，根据加法的几何意义，可以求出,根据的取值范围，最终可以求出的取值范围。【详解】设同心圆的圆心为，由切线性质可知：,又因为圆上点作的切线交圆于，两点，所以, ,在中, 根据 ，可知 ，是AB的中点，根据向量加法的几何意义得 代入上式得， 故本题选C.【点睛】本题考查了直线与圆相切的性质、向量的加法运算、数量积运算。12.已知函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】，可以转化为两个函数大小关系，分析两个函数的单调性，利用数形结合，结合已知，得出答案.【详解】，,设，问题就转化为在内，且中恰有两个整数.先研究函数 的单调性，当时， ，所以函数在单调递减；当时，所以函数在单调递增，注意到，当时，。，恒过要想在内，且中恰有两个整数，必须要满足以下两个条件： 故本题选C.【点睛】本题考查了不等式与函数的关系。本题重点考查了不等式解的问题转化为函数大小比较的问题，本题应用了导数研究函数单调性.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知，则_【答案】【解析】【分析】由的取值范围，可以求出的范围，再根据0，最后确定的范围，利用同角的正弦值、余弦值平方和为1这个公式，可以求出的大小，令，由两角差的正弦公式可以求出的大小。【详解】由 可得 ，而0 所以 所以.【点睛】本题考查了同角三角函数值之间的关系、两角差的正弦公式。解决本题的关键是抓住已知角与所求角之间的和差关系.14.已知函数，若，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】先判断函数的单调性，然后进行分类讨论，求解。【详解】函数，显然当时，函数是增函数，有，而当时，函数是常值函数，也就是说当时，所有的函数值均为，要想 成立 ，有以下二种情形：（1）当 时，即当时，因为 所以有解得，而 所以；（2）当时，即 可得得而所以；综上所述实数的取值范围为，即实数的取值范围为.【点睛】本题考查分段函数的单调性、解不等式、分类讨论思想。15.已知双曲线上的一点到两渐近线的距离之积为，若双曲线的离心率为2，则双曲线的虚轴长为_【答案】【解析】【分析】由离心率可以知道、的关系，再根据的关系，求出、的关系，设双曲线上任意一点的坐标，它是方程的解，得到一个方程，再根据点到两渐近线的距离之积为，又得到一个方程，由这两个方程可以求解出的值，进而求出的值，最后求出双曲线的虚轴长。【详解】由题意可知双曲线的离心率为2，又，所以双曲线的渐近线方程为：，设点是双曲线上一点， .由题意可知点到两渐近线的距离之积为， ，把代入得 所以双曲线的虚轴长为.【点睛】本题考查了双曲线的离心率公式、渐近线方程、点到直线距离公式、虚轴长的计算。16.在中，点在线段上，且，则面积的最大值为_【答案】【解析】【分析】在、中通过互补的两个角做为纽带，根据它们的余弦和为零，构造等式，通过这个等式，利用基本不等式，可以得到两边乘积的最大值，最后根据面积公式，可求出面积的最大值。【详解】设， 所以,在中，由余弦定理可知：，在中，由余弦定理可知：， ，在中，由余弦定理可知：， ,由可得 ，因为（当且仅当等号成立），把代入中得，面积.【点睛】本题考查了余弦定理、面积公式、基本不等式。解决本题的关键是根据图形的特点，在两个三角形中，互补两个角的余弦值互为相反数，来构造等式来求解。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答。（一）必考题：共60分。17.已知数列的前项和满足，且，数列中，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，求的前项的和.【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】（1）通过，当时，可以求出的表达式，两式相减，得到，这样可以判断出数列是等比数列，再求出数列的通项公式.（2）观察，它是一个等差数列乘以一个等比数列，这样可以采用错位相减法为求的前项的和。【详解】（1）由得（）两式相减得，即（）又得，所以数列是等比数列，公比为2，首项为1，故由可知是等差数列，公差，则（2）， ， 得故【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式的求法、用错位相减法求数列和的方法.18.如图，半圆柱中，平面过上下底面的圆心，点，分别在半圆弧，上且.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的知识来证明和求解。（1）要证明线面平行，只需证明线与面的法向量垂直即可；（2）要求二面角的大小，可以转化为求二个平面的法向量的夹角。【详解】（1）如图，取的中点，面，两两垂直，以为坐标原点，分别为正半轴，建立空间直角坐标系，设，则，于是，而平面的法向量，由于及平面，所以平面（2）设，则，设面的法向量，则，不妨设，得，设面的法向量，则，不妨设，得，所以 ，故二面角的余弦值为【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面平行，求二面角大小。19.已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上且垂直于轴.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上的动点，直线与交于点，求证：点到直线的距离为定值，并求出这个定值.【答案】（1）；（2）距离为定值3.【解析】【分析】（1）点在椭圆上且垂直于轴，可以求出右焦点为的坐标，也就可求出、的值，利用，就可以求出椭圆的标准方程。（2）方法一：利用由三点共线，由斜率公式可以得到一个等式，可以求出的纵坐标，这样可以求出直线的方程，利用点到直线距离公式，通过计算可求出这个定值。方法二：设， 求出，分别和两种情形下，求出的表达式，利用面积公式，可求出点到直线的距离大小。【详解】（1）由题，解得，椭圆的方程为；（2）方法一：设，由三点共线得，直线的方程为，即，于是点到直线的距离 为定值（2）方法二：设，则，当时，当时，于是点到直线的距离为定值【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，点到直线距离公式。重点考查了转化思想、分类讨论思想。20.某班的健康调查小组从所在学校共选取15名男同学，其年龄、身高和体重数据如下表所示（本题中身高单位：，体重单位：）.年龄（身高，体重）年龄（身高，体重）15，18，16，19，17，（1）如果某同学“身高-体重”，则认为该同学超重，从上述15名同学中任选两名同学，其中超重的同学人数为，求的分布列和数学期望；（2）根据表中数据，设计两种方案预测学生身高.方案：建立平均体重与年龄的线性回归模型，表中各年龄的体重按三名同学的平均体重计算，数据整理如下表.12345年龄1516171819平均体重5963.3647069.7方案：建立平均体重与平均身高的线性回归模型，将所有数据按身高重新分成6组：，并将每组的平均身高依次折算为155，160，165，170，175，180，各组的体重按平均体重计算，数据整理如下表.123456平均身高155160165170175180平均体重485763687482（i）用方案预测20岁男同学的平均体重和用方案预测身高的男同学的平均体重，你认为哪个更合理？请给出理由；（ii）请根据方案建立平均体重与平均身高的线性回归方程（数据精确到0.01）.附： ，.，.【答案】（1）详见解析；（2）（i）方案更合理；（ii）.【解析】【分析】（1）由表中先求出超重的人数，再判断的可能取值，然后求出每种可能取值的概率，写出分布列，最后求出数学期望。（2）（i）可以画出散点图，利用相关系数来进行比较，得出结论。（ii）根据公式直接求解。【详解】（1）由条件知：的可能取值有，由表中数据知，15人中有4人超重故，所以的分布列为数学期望（2）（i）方案更合理可以从散点图观察，也可以利用相关系数比较，体重与身高的关系比体重与年龄的关系更强等（ii）所以，【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望、线性回归方程。21.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当时，对函数进行求导，求出点处的切线的斜率，用点斜式求出切线方程。（2）令，把从不等式中分离出来，构造新函数，对新函数进行求导，利用函数的单调性，最后求出的取值范围。【详解】（1）时，于是，函数在点处的切线方程为，即（2）令，则等价于，即恒成立，记，则，再令，则，于是在上单增，又，所以有唯一零点，当时，单调递减；当时，单调递增，而满足，即，令，则满足，其中，又，所以时，单调递增，因此，即，于是= ，即【点睛】本题考查了曲线的切线方程、函数的零点、利用导数研究恒成立问题。（二）选考题：共10分。请考