立体几何复习专题(二)(学生卷)

学校高三下期数学（文）教案（二）（学生卷）专题二：空间距离一、基础梳理（1）点到平面的距离（简称“点面距”）：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离。（2）直线到平面的距离（简称“线面距”）：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离。（3）两个平行平面间的距离（简称“面面距”）：两个平行平面间的公垂线段的长度。（4）两条异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度。（5）线段与平面相交于点，且是的中点，则到平面的距离相等。（也可推广到成比例的情形）（此性质常用于转化求点面距）几个距离的转化：二、能力巩固考点一：点到直线的距离求点到直线距离的方法：利用三垂线定理作出点到直线的垂线，进而解三角形。借助于三角形面积公式（即面积法）解方程求解。例1在二面角内有一点，到的距离分别为3和5，求到的距离。发散：点到的二面角的两个面的距离分别为3和5，求到的距离。变式训练1：（1）已知直二面角两点均不在直线上，又直线与成角，且线段，求线段的中点到的距离。（2）如图所示，在正三棱柱中，。若二面角的大小为，则点到直线的距离为_。考点二：点到平面的距离求点到平面的距离的方法：（1）一般解法：找出或作出过点且与平面垂直的平面，利用面面垂直的性质作出过点且与平面垂直的直线，进而解三角形求解。（2）体积法：利用三棱锥体积相等，通过解方程求距离。（3）转化法：当过点难以作平面的垂线时，可利用线面平行或面面平行或线段的比例关系，转移到另一点上去求。例2.（07辽宁）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为。（I）证明：；（II）求的长，并求点到平面的距离。变式训练2：正方体中，、分别为、的中点，设棱长为2。（1）求证：平面平面；（2）求到面的距离。变式训练3：（1）（08江西九所重点中学高三联合考试）如图所示，在直三棱柱中，异面直线与成的角，点分别是棱和的中点，点是棱上的动点。证明：；求点到面的距离；求二面角的大小。（2）平面、两两垂直，点，到、距离都是1，是上动点，到的距离是到点距离的倍，则点轨迹上的点到距离的最小值是 。考点三：异面直线间的距离求异面直线间的距离的方法：（1）公垂线段法找出异面直线间的公垂线段，然后计算其长度；（2）转化法利用异面直线距离、线面距、面面距、点面距的关系将异面直线间的距离转化为点面距，然后利用点面距的求法或体积法解决。例3如图所示，在三棱柱中，为棱上异于的一点。，已知，求：异面直线与的距离。变式训练3：（07重庆）如图所示，在直三棱柱中，；点分别在，上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为。（）求异面直线与的距离；（）若，求二面角的平面角的正切值。例4正方体中，棱长为。（1）求与的距离；（2）设为的中点，求与的距离；（3）设分别为棱的中点，求与的距离。课后作业：1.（1）已知平面平面,直线,点,平面、间的距离为8，则在内到点的距离为10且到直线的距离为9的点的轨迹是（ ）A.一个圆 B.两条直线 C.四个点 D.两个点（2）在平面几何中有如下结论：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值，类比上述性质，请叙述在立体几何中的相应结论（任选其一）： 。（3） 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM=AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系xAy，动点P的轨迹方程是 。（4）已知直线与平面所成的角为，为空间一定点，过作与、所成的角都是的直线，则这样的直线可作（ ）条A2 B3 C4 D无数（5）平面的斜线交于点，斜线与平面成角，过定点的动直线与斜线成的角，且交于点，则动点的轨迹是 。2. 如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面内作菱形ABCD，边长为1，BAD60，再在的上方，分别以与为底面安装上相同的正棱锥P-ABD与Q-CBD，APB90。（）求证：PQBD；（）求二面角P-BD-Q的余弦值；（）求点P到平面QBD的距离。3下面的一组图形为四棱锥的侧面与底面。（1）请画出四棱锥的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；（2）若，为中点，求二面角的大小；（3）求点到面的距离。ABCODP4（08福建）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点。（）求证：PO平面ABCD；（）求异面直线PB与CD所成角的大小；（）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。5（1）矩形中，沿对角线将矩形折起，使，求异面直线与的距离；（2）如图，已知为矩形所在平面外一点，与所成角为，与所成角为，。求直线与间的距离；求直线与间的距离。ABCEDABCDE6（08重庆）如图所示，在中，两点分别在上，使，。现将沿折成直二面角，求：（）异面直线AD与BC的距离；（）二面角的大小（用反三角函数表示）。课后作业参考答案：1.（1）C 提示：如图，设点P在平面上的射影是O，则OP是平面、的公垂线段，OP=8.在内，到点P的距离等于10的点到点O的距离等于6，故点的集合是以O为圆心，以6为半径的圆.在内，到直线l的距离等于9的点的集合是两条平行直线m、n,它们到点O的距离都等于6,所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点，因此所求的点的轨迹是四个点，故应C.（2）从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面距离之比为定值。（3） 提示：过P点作PQAD于Q，再过Q作QHA1D1于H，连PH，利用三垂线定理可证PHA1D1，设P（x，y），|PH|2 - |PH|2 = 1，x2 +1- （x）2+y2 =1，化简得。（4）A （5）双曲线2.解：（）由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱锥，可知PBD与QBD是全等等腰 取BD中点E，连结PE、QE，则BDPE，BDQE故BD平面PQE，从而BDPQ （）由（1）知PEQ是二面角P-BD-Q的平面角，作PM平面，垂足为M，作QN平面，垂足为N，则PMQN，M、N分别是正ABD与正BCD的中心，从而点A、M、E、N、C共线，PM与QN确定平面PACQ，且PMNQ为矩形，可得MENE，PEQE，PQMN，cosPEQ，即二面角为 SABCDEFGH（）由（1）知BD平面PEQ设点P到平面QBD的距离为h，则 ， 3解：（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图），证明：且是面内的交线，SA底面ABCD。（2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA，则GF/EA,GF=EA,AF/EG而由SA面ABCD得SACD，又ADCD，CD面SAD，又SA=AD,F是中点， 面SCD,EG面SCD,面SCD所以二面角E-SC-D的大小为90。(3)作DHSC于H，面SEC面SCD,DH面SEC,DH之长即为点D到面SEC的距离，在RtSCD中，点D到面SEC的距离为。4解：（）证明：在PAD中PA=PD，O为AD中点，所以POAD，又侧面PAD底面ABCD，平面平面ABCD=AD，平面PAD，所以PO平面ABCDABCODPQ（）连结BO，在直角梯形ABCD中，BCAD，AD=2AB=2BC，有ODBC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OBDC由（）知，POOB，PBO为锐角，所以PBO是异面直线PB与CD所成的角因为AD=2AB=2BC=2，在RtAOB中，AB=1，AO=1，所以OB，在RtPOA中，因为AP，AO1，所以OP1，在RtPBO中，tanPBO所以异面直线PB与CD所成的角是（）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为设QDx，则，由（）得CD=OB=，在RtPOC中， ，所以PC=CD=DP， ，由，得，解得，所以存在点Q满足题意，此时5（1）；（