【教案 · xx】21 不等式的基本性质

【教案 xx】21 不等式的基本性质 高一第一学期/第2章/不等式课题2.1不等式的基本性质（第1课时）目标1掌握不等式的三大基本性质及其拓展性质，并能熟练运用；2能够运用作差法和分类讨论思想，判断两个实数的大小关系。 学情学生在初中已经学习过实数的代数运算，对实数的大小顺序关系也有了解，但是容易造成“等式”知识负迁移到“不等式”。 重点不等式的基本性质难点同向不等式性质的应用，解含字母系数的一元一次不等式脉络不等式的基本原理（作差之后如何判断）不等式的基本性质（同向不等式性质的应用）详案 一、引入（一）介绍不等式的基本原理提问集合A?x2a?1?x?a?1?有没有可能是单元素集合？空集？此问题实际上被转化为比较2a1与a1的大小关系当2a1a1即a2时，A为单元素集合；当2a1a1即a2时，A为空集；背景如何从“数”或“形”的方面来判断两个实数a与b的大小关系？数，将a与b的差与0相比较，根据差的符号来判断大小关系；形，将a与b表示在数轴上，根据左右顺序来判断大小关系。 【不等式的基本原理】a?b?a?b?0，a?b?a?b?0，a?b?a?b?0导语不等式是研究其它数学知识必不可少的工具，而作差法是比较两个实数大小关系的基本方法，也是本章的出发点。 （二）应用与巩固-1-高一第一学期/第2章/不等式例1判断下列两个实数的大小（学生练习） （1）a2b2与2(2ab)5 （2）a3b3与a2bab2（ab）析 （1）“且”的否定形式 （2）复习立方和公式解 （1）a2b22(2ab)5(a2)2(b1)2当a2且b1时，ab2(2ab)5当a2或b1时，a2b22(2ab)5 （2）a3b3a2bab2(ab)(ab)2因为ab，所以(ab)20当ab0即ab时，a3b3a2bab2当ab0即ab时，a3b3a2bab2当ab0即ab时，aba bab点评要比较大小的两个数作差后，有的需要利用因式分解或配方法进行变形，有的还需要进行分类讨论，然后确定差的符号，从而得到大小关系。 二、不等式的基本性质（一）性质1（传递性）若ab且bc，则ac。 分析要证ac，只要证ac0，拆项即可得证。 证明因为ab且bc，等价于ab 0、bc0，从而ac(ab)(bc)0，所以ac得证。 点评合理运用传递性，我们就可以实现不等式的放缩应用。 例2对任意实数x，求使得x2x1a恒成立的实数a的取值范围。 3322221?55?解因为?x?x?1?x?，2?44?552只要a比最大值还要大，即?x?x?1?a2244就可以使得不等式xx1a恒成立，所以a?-2-25。 4高一第一学期/第2章/不等式（二）性质2（加法的单调性）若ab，则acbc。 证明因为ab等价于ab0，而ab(ac)(bc)0，所以acbc得证。 问一若ab，则acbc是否成立？为什么？（成立，c代c）问二解不等式（比如2a1a1）常用到“移项”的依据是什么？即不等式两边同时加（减）同一个实数，不等号不变向。 （三）性质3（乘法的单调性）已知ab，若c0，则acbc；若c0，则acbc。 证明因为ab等价于ab0，又由c0，从而(ab)c0，即acbc0，所以acbc得证。 类似地，可得证，若ab，c0，则acbc。 问三如果ab，那么acbc是否成立？为什么？（不成立，c0）问四如果acbc，那么ab是否成立？为什么？（成立，c0）问五如果ab，那么acbc是否成立？为什么？11?是否成立？为什么？（不成立，ab的符号）a b1111b?a?0?ab?b?a?0，由ab得ba0?0?a ba bab11如果ab，那么?成立的充要条件是ab0。 a b11结论（倒数性质）如果ab且ab0，那么?。 a b222222问六如果ab，那么两边同除以ab0，倒数关系要变向。 例3判断“ab且cd”是“acbd”的什么条件。 解充分性，成立由ab且cd得ab 0、cd0，相加得(ab)(cd)0从而(ac)(bd)0，所以acbd-3-高一第一学期/第2章/不等式必要性，不成立反例，a5，b8，c7，d1。 满足acbd，但是ab。 所以，“ab且cd”是“acbd”的充分非必要条件。 结论（同向不等式相加性质）若ab且cd，则acbd。 问七如果把结论改为“acbd”是否成立？条件应该如何修改？反例，a5，b2，c1，d8。 （异向不等式相减性质）若ab且cd，则acbd。 问八如果把结论改为“acbd”是否成立？条件应该如何修改？反例，a5，b8，c1，d2。 （正数同向不等式相乘性质）若ab0且cd0，则acbd。 因为ab0且c0，则acbc，同理，因为cd0且b0，则bcbd，由传递性，acbcbd，即得证acbd。 a b?”是否成立？条件应该如何修改？c dab（正数异向不等式相除性质）若ab0且dc0，则?。 c d问九如果把结论改为“例4解含字母系数的一元一次不等式m(x2)xm。 解移项得，(m1)xm?m；m?1?m当m10即m1时，x?；m?1当m10即m1时，x?当m10即m1时，01，x无解。 点评特别注意一次项系数为零，要看具体不等式，切不可妄下结论。 一般地，一元一次不等式axb b；ab当a0时，x?；a当a0时，x?-4-高一第一学期/第2章/不等式当a0且b0时，x可取任意实数；当a0且b0时，x无解。 问十已知nN且n1，若ab，则ab是否成立？条件应如何改？不成立，反例a1，b2，n2。 一定要a、b同正。 n n结论（乘方性质）已知nN且n1，若ab0，则anb n。 （开方性质）已知nN且n1，若ab0，则na?nb。 三、巩固与练习（一）知识小结【不等式的基本性质】性质1（传递性）若ab且bc，则ac。 性质2（加法的单调性）若ab，则acbc。 性质3（乘法的单调性）已知ab，若c0，则acbc；若c0，则acbc。 其它基本性质（倒数性质）如果ab且ab0，那么1a?1b。 （同向不等式相加性质）若ab且cd，则acbd。 （异向不等式相减性质）若ab且cd，则acbd。 （正数同向不等式相乘性质）若ab0且cd0，则acbd。 （正数异向不等式相除性质）若ab0且dc0，则a bc?d。 （乘方性质）已知nN且n1，若ab0，则anb n。 （开方性质）已知nN且n1，若ab0，则na?nb。 （二）课堂练习1填空 （1）“ab4”是“a2且b2”的条件。 （2）“x1”是“1x?1”的条件。 -5-高一第一学期/第2章/不等式 （3）“xy”的充要条件是。 （4）“x?y”的充要条件是。 解 （1）必要非充分条件。 （2）充分非必要条件。 （3）|x|y| （4）0xy注化归思想，转化为“两个数都是正数”的充要条件。 ?a?2?a?2?0?a?2?b?2?0?b?2b?2?0a?2b?2?0?2222若x?y y?x?2x?2，x?R，求?1的取值范围。 x?1析注意题设所表示的集合为函数值域，外面的x与里面的x无关。 解y?x2?2x?2?x?1?2?1?1，所以x1，x12，得0?注运用不等式的倒数性质特别要注意另一个方向的边界。 11?。 x?12-6-高一第一学期/第2章/不等式课题2.1不等式的基本性质（第2课时）目标1训练从多个角度分析不等式的相关问题，拓展思维广度；2能用数形结合的方法解释和分析不等式中的线性规划问题。 学情前面学习了不等式的基本性质，但是常常会在一些求取值范围的问题上产生性质运用的误区。 重点根据不等式约束条件，求线性代数式的取值范围难点根据不等式约束条件画出对应区域，动态分析目标直线的分布。 脉络辨析不同解法的异同，揭示问题本质（同向不等式性质的应用）理解不等式的几何意义（从一维数轴到两维平面）详案 一、引出问题（同向不等式相加的性质应该怎么用） （1）若1m1且1n1，求mn、mn的取值范围。 （2）若1mn1，求mn、mn的取值范围。 提问这两个小题的已知条件有什么异同？对结果又有什么影响？ 二、分析问题研究课题关于“若1mn1，求mn的取值范围”的几种解法（一）从不等式基本性质的角度考虑?1?m?1解法一由已知得?且mn，从而2mn2且mn。 ?1?n?1所以，2mn0。 （二）从数轴表示的角度考虑解法二利用数轴分析，将m、n表示为区间(1，1)之间的两个动点。 则m?n表示它们之间的距离，从而有0?m?n?2。 因为mn，所以2mn0。 -7-高一第一学期/第2章/不等式（三）从平面表示的角度考虑解法三把m、n看作平面mOn内点的坐标(m，n)设mnk，则k为直线nmk的截距k的相反数，则问题转化为讨论一组斜率固定的直线的截距的取值范围。 满足1mn1的点(m，n)围成如图所示的三角形区域。 斜率为1的直线nmk与这个区域要有交点，产生截距的取值范围为0k2，即2k0，所以2mn0。 点评这种可以用直线解决的问题被称为线性规划，已知条件组成的区域称为可行域，而求解目标总是可以表示为直线的截距。 通过数形结合的方法以及现代工具的辅助，我们可以快速直观地看到问题的本质。 所以，不同的条件将带来不同的可行域，而目标直线的斜率以及可行域的边界是影响结果的两大因素。 比较?1?m?1?1?n?1mn(2，2)(2，0mn(2，2)(2，2)1mn1 三、拓展问题（一）结论上的变化例1若1mn1，求2mn的取值范围。 ?2?2m?2误解由?得32mn3。 ?1?n?1?正解设2mnk，则k为直线n2mk的截距k的相反数，由图象可知，n2m3和n2m1是穿过上下边界的两条直线，从而截距的取值范围为1k3，所以32mn1。 -8-高一第一学期/第2章/不等式（二）条件上的变化例2若1ab2，2ab4，求4a2b的取值范围。 33误解解出a、b的取值范围，即?a?3且0?b?，22再求得34a2b12。 点评这种错误忽视了a、b之间的限制条件，为了帮助理解，我们可以把a、b看作平面内点的坐标(a，b)，从“形”上去直观理解为什么会错误地扩大了a、b的实际范围。 解法一待定系数法，保持ab、ab的整体结构设4a2bp(ab)q(ab)(pq)a(pq)b?p?q?4则?，解得p3，q1。 ?p?q?233(ab)6，2ab4，从而54a2b10。 ?1?a?b?2?a?2?b?a?1?解法二构造法，由已知?2?a?b?4?2?a?b?4?ak设4a2bk，则b?2a?为目标直线。 25由图象可知，b?2a?和b?2a?5是穿过上下边界的两条直线，2k5从而截距的取值范围为?5?，22所以5k10，54a2b10。 （三）巩固与练习这节课，我们主要研