河南九师联盟高三数学质量检测理

河南省九师联盟20182019学年高三1月质量检测数学（理科）一、选择题1.若集合Ax|x22 ，Bx|，则AB( )A. （0，2） B. （，0） C. （0，） D. （2，0）【答案】B【解析】【分析】解出集合A，B，根据集合的交集运算得到结果即可.【详解】集合Ax|x22 , Bx| AB（，0）。故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，题目较为简单.2.已知复数zi（23i）（i为虚数单位），则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算和乘法运算法则计算即可.【详解】复数zi（23i）=则 .故答案为：B.【点睛】这个题目考查了复数的四则运算，题目简单.3.命题“，53x00”的否定是( )A. 不存在x0R，53x00 B. ，53x00 C. ，53x0 D. ，53x0【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定的书写规则写出即可.【详解】题干中的是特称命题，它的否定是全称命题，换量词，否结论，条件不变即可，即：，53x0.故答案为：D.【点睛】这个题目考查的是特称命题的否定的写法，满足全称命题，换量词，否结论，条件不变，这一规律.4.已知直线xay0与圆x2（y4）29相切，则实数a( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直线和圆相切即圆心到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式得到方程，求解即可.【详解】直线xay0与圆x2（y4）29相切，即圆心（0，-4）到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式得到化简得到a=.故答案为：C.【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.5.某单位为了制定节能减排的目标，调查了日用电量y（单位：千瓦时）与当天平均气温x（单位：），从中随机选取了4天的日用电量与当天平均气温，并制作了对照表：x1715102y2434a64由表中数据的线性回归方程为，则a的值为( )A. 42 B. 40 C. 38 D. 36【答案】C【解析】【分析】由公式计算得到样本中心的坐标，代入方程可得到参数值.【详解】回归直线过样本中心，样本中心坐标为,代入方程得到：a=38.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了回归直线方程的应用，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点6.在ABC中，b2，其面积为，则等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由面积公式得到c=4,再由余弦定理得到a边长度，最终由正弦定理得到结果.【详解】ABC中，b2，其面积为 由余弦定理得到，代入数据得到 故答案为：B.【点睛】这个题目考查了正余弦定理解三角形的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.7.展开式中x2的系数为( )A. 1280 B. 4864 C. 4864 D. 1280【答案】A【解析】【分析】根据二项式展开式的公式得到具体为：化简求值即可.【详解】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出项，第二个括号里出项，或者第一个括号里出，第二个括号里出，具体为： 化简得到-1280 x2故得到答案为：A.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.8.下面框图的功能是求满足135n111111的最小正整数n，则空白处应填入的是( )A. 输出i2 B. 输出i C. 输出i1 D. 输出i2【答案】D【解析】【分析】根据框图，写出每一次循环的结果，进而做出判断.【详解】根据程序框图得到循环是： M= 之后进入判断，不符合题意时，输出，输出的是i-2.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了循环结构的程序框图，这种题目一般是依次写出每一次循环的结果，知道不满足或者满足判断框的条件为止.9.设a1，若仅有一个常数c使得对于任意的xa，a3，都有y1loga2a3，2a满足方程axayc，则a的取值集合为( )A. 4 B. ，2 C. 2 D. 【答案】C【解析】【分析】首先将函数变形为是减函数，xa，a3时，问题转化为再由c的唯一性得到c值，进而得到参数a的值.【详解】方程axayc,变形为是减函数，当xa，a3时，因为对于任意的xa，a3，都有y1loga2a3，2a满足axayc，故得到因为c的唯一性故得到进而得到a=2.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了指对运算，考查了函数的值域的求法，以及方程的思想，综合性比较强.10.已知正方形ABCD内接于O，在正方形ABCD中，点E是AB边的中点，AC与DE交于点F，若区域M表示O及其内部，区域N表示AFE及CDF的内部，如图所示的阴影部分，若向区域M中随机投一点，则所投的点落入区域N中的概率是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设出正方形的边长，表示出圆的面积，进而得到阴影部分的面积，根据几何概型的概率公式求解即可.【详解】设正方形的边长为2，则圆的半径为 根据AFE及CDF的相似性得到AFE的高为CDF高为，面积之和为 所投的点落入区域N中的概率是：.故答案为：B.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在的区域（事实也是角）任一位置是等可能的11.已知双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上的一点，线段PF1与y轴的交点M恰好是线段PF1的中点，其中O为坐标原点，则双曲线C的渐近线的斜率与离心率分别是( )A. 1， B. 1， C. 2， D. 2，【答案】A【解析】【分析】由向量点积运算，以及投影的几何意义得到，再根据双曲线的几何意义和定义得到F2P=b,F1P=2a+b，F1F2=2c，最终利用勾股定理得到可得到结果.【详解】根据向量的点积运算公式得到 ，因为点M恰好是线段PF1的中点，O点为F1F2的中点，故MO为三角形F1F2P的中线,进而得到F2P=b,F2P垂直于x轴，F1F2=2c，根据双曲线的定义得到F1P=2a+b,在三角形F1F2P中利用勾股定理得到，综合两式化简得到 渐近线的斜率为1，离心率为 故答案为：A.【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围12.设函数f（x）是定义在区间（，）上的函数，f（x）是函数f（x）的导函数，且xf（x）ln2xf（x）（），则不等式的解集是( )A. （，1） B. （1，） C. （0，1） D. （，1）【答案】C【解析】【分析】构造函数，对函数求导，得到函数的单调性，进而得到解集.【详解】构造函数，定义在区间（，）上,对函数求导得到： xf（x）ln2xf（x）（），即xf（x）ln2x-f（x）0,故得到，函数单调递增，不等式即，根据函数的定义域以及函数单调性得到.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，对于解不等式的问题，比较简单的题目，可以直接解不等式；直接解比较困难的问题，可以研究函数的单调性，奇偶性等，直接比较自变量的大小即可.二、填空题13.若把一句话“我爱中国”的汉字顺序写错了，则可能出现的错误共有_种【答案】23【解析】【分析】先计算得到四个字的全排列，减去不满足题意的即可.【详解】“我爱中国”,这四个字的全排列有种，其中有一种是正确的，故错误的有23种.故答案为：23.【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：（1）元素相邻的排列问题“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题“除序法”；（4）带有“含”、“不含”、“至多”、“至少”的排列组合问题间接法14.为了解世界各国的早餐饮食习惯，现从由中国人、美国人、英国人组成的总体中用分层抽样的方法抽取一个容量为m的样本进行分析若总体中的中国人有400人、美国人有300人、英国人有300人，且所抽取的样本中，中国人比美国人多10人，则样本容量m_【答案】100【解析】【分析】根据分层抽样的定义，根据条件建立比例关系即可得到结论【详解】根据分层抽样的概念得到三国的人抽得的比例为4：3：3，设中国人抽取x人，则美国人抽取x-10,英国人抽取x-10人，根据比例得到.美国人：30人，英国人30人，共100人.故答案为：100.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决此类问题的基本方法，比较基础15.设x，y满足不等式组，若目标函数zaxy（a0）的最小值为5，则a_【答案】3【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，将目标函数化为y=-ax+z,结合图像得到参数值.【详解】根据不等式组画出可行域得到：目标函数zaxy，可化为y=-ax+z,最小值在（0，-2）或者（）取得，当最小值在（0，-2）处取得时，代入这个点得到z=-2,和题干不符；当最小值在（）取得时，代入目标函数得到a=-3.故答案为：-3.【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。16.已知四棱柱的侧棱垂直于底面，底面是平行四边形，且各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为16，则此球的表面积的最小值等于_.【答案】【解析】由于四棱柱是球的内接四棱柱，所以四边形是圆内接四边形，因为底面是平行四边形，所以根据圆内接四边形的性质定理，得在四边形中，又因为底面是平行四边形，所以，所以，所以.由，得，所以，所以，进而，所以四边形是矩形，所以该四棱柱为长方体.设球的半径为， .因为该棱柱的体积为16，所以，解得.由已知条件，可得长方体的体对角线就是其外接球的直径，所以，所以，当且仅当时取等号，故球的半径的最小值为，故此球表面积的最小值为.故答案为：三、解答题17.已知在等比数列an中，2，128，数列bn满足b11，b22，且为等差数列（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根据等比数列的性质得到64，2，进而求出公比，得到数列的通项，再由等差数列的公式得到结果；（2）根据第一问得到通项，分组求和即可.【详解】（1）设等比数列an的公比为q由等比数列的性质得a4a5128，又2，所以64所以公比所以数列an的通项公式为ana2qn222n22n1设等差数列的公差为d由题意得，公差，所以等差数列的通项公式为所以数列bn的通项公式为（n1，2，）（2）设数列bn的前n项和为Tn由（1）知，（n1，2，）记数列的前n项和为A，数列2n2的前n项和为B，则，所以数列bn的前n项和为【点睛】这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等.18.2018年双11当天，某购物平台的销售业绩高达2135亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次（1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5的前提下，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评140对商品不满意10合计200（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为X求随机变量X的分布列；求X的数学期望和方差附：，其中nabcdP（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）详见解析（2）详见解析，【解析】【分析】(1)补充列联表，根据公式计算卡方值，进行判断；（2）（）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，x符合二项分布，按照二项分布的公式进行计算即可得到相应的概率值；（）按照二项分布的期望和方差公式计算即可.【详解】（1）由题意可得关于商品和服务评价的22列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评14040180对商品不满意101020合计15050200则由于7.4077.879，则不可以在犯错误概率不超过0.5的前提下，认为商品好评与服务好评有关（2）（）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，则，故X的分布列为X0123P（）由于XB（3，），则，【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.19.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC120，ACAB2，AA13（1）求三棱柱ABCA1B1C1的体积；（2）若M是棱BC的一个靠近点C的三等分点，求二面角AA1MB的余弦值【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据正弦定理求底面的面积，再由棱柱的体积公式求得体积，即可；（2）先根据题干条件得到以及图形特点得到AM平面ABB1A1再建立坐标系，求得二面角的余弦值即可.【详解】（1）因为BAC120，ACAB2，所以所以（2）在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以因为M是棱BC的一个靠近点C的三等分点，所以因为BAC120，ACAB2，所以ACBABC30由余弦定理，得AM2AC2CM22ACCMcosACB，所以所以CMAM，所以ACMCAM30，所以MABCABCAM1203090，即AMAB易知AA1平面ABC，AM平面ABC，所以AA1AM又因为ABAA1A，所以AM平面ABB1A1以A为原点，AM，AB，AA1分别为x，y，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系：则点A（0，0，0），M（，0，0），A1（0，0，3），B（0，2，0），所以，设平面A1BM的法向量为m（x0，y0，z0），则令z02，得m（，3，2），易得平面AA1M的一个法向量为n（0，1，0）设二面角AA1MB的平面角为，由题意，得为锐角，则所以二面角AA1MB的余弦值为【点睛】这个题目考查了空间几何体的体积的计算，平面和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做。20.已知点O为坐标原点，椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点I，J分别是椭圆C的右顶点、上顶点，IOJ的边IJ上的中线长为（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点H（2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1BF1，求直线AB的方程【答案】（1）（2）x2y20或x2y20【解析】【分析】(1)由直角三角形中线性质得到，再根据条件得到求解即可；（2）设出直线AB，联立直线和椭圆得到二次方程，由AF1BF1，得到，整理得（12k2）（x1x2）（1k2）x1x214k20，代入韦达定理即可.【详解】（1）由题意得IOJ为直角三角形，且其斜边上的中线长为，所以设椭圆C的半焦距为c，则解得所以椭圆C的标准方程为（2）由题知，点F1的坐标为（1，0），显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk（x2）（k0），点A（x1，y1），B（x2，y2）联立消去y，得（12k2）x28k2x8k220，所以（8k2）24（12k2）（8k22）8（12k2）0，所以（*）且，因为AF1BF1，所以，则（1x1，y1）（1x2，y2）0，1x1x2x1x2y1y20，1x1x2x1x2k（x12）k（x22）0，整理，得（12k2）（x1x2）（1k2）x1x214k20即化简得4k210，解得因为都满足（*）式，所以直线AB的方程为或即直线AB的方程为x2y20或x2y20【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21.已知函数f（x）ln（2ax）（a0），（bR）（1）若函数f（x）的图象在点（3，f（3）处的切线与函数g（x）的图象在点（1，g（1）处的切线平行，求a，b之间的关系；（2）在（1）的条件下，若ba，且f（x）mg（x）对任意x，）恒成立，求实数m的取值范围【答案】（1）（2）（，【解析】【分析】（1）对函数求导，再根据在两点处的切线的斜率相等，得到f（3）g（1），进而得到参数的关系；（2）先由ba求出参数值，令，则问题转化为h（x）0对任意x，）恒成立，对m分情况，对h(x)求导研究函数的单调性，得到函数最小值，最小值大于等于0即可.【详解】（1），因为函数f（x）的图象在点（3，f（3）处的切线与函数g（x）的图象在点（1，g（1）处的切线平行，所以f（3）g（1）所以，化简得（2）由（1）得，若ba，则，解得a2或（舍去，因为a0）所以ab2所以f（x）ln（22x），令22x0，得x1，则函数f（x）ln（22x）的定义域是（1，）；令1x0，得x1，则函数的定义域是（，1）（1，）f（x）mg（x）对任意x，）恒成立，即对任意x，）恒成立令，则问题转化为h（x）0对任意x，）恒成立当，即x1m0时，h（x）0且h（x）不恒为0，所以函数在区间，）上单调递增又，所以h（x）0对任意x，）恒成立故符合题意当时，令，得；令，得xm1所以函数在区间，m1）上单调递减，在区间（m1，）上单调递增，所以即当时，存在，使h（x0）0故知h（x）0对任意x，）不恒成立故不符合题意综上可知，实数m的取值范围是（，【点睛】这个题目考查了导数的几何意义，以及恒成立求参的问题；对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，且直线l经过曲线C的左焦点F（1）求直线l的普通方程；（2）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值【答案】（1）x2y10（2）【解析】【分析】(1)由极坐标化直角坐标的公式可得到曲线C的普通方程，消去参数t可得到直线普通方程，再代入F点坐标可得到直线方程；（2）椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为（，sin）内