知识讲解-《直线与方程》全章复习与巩固--提高.doc

直线与方程全章复习与巩固【学习目标】1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直；4.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系；5.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标；6.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离【知识网络】【要点梳理】要点一：直线的倾斜角与斜率（1）由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然（2）斜率公式已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式.要点二：直线方程的几种形式 （1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用 （2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法常用的直线方程有： ； ； ； (为参数)直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式yy1=k(xx1)（x1，y1）是直线上一定点，k是斜率不垂直于x轴斜截式y=kx+bk是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式（x1，y1），（x2，y2）是直线上两定点不垂直于x轴和y轴截距式a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式Ax+By+C=0（A2+B20）A、B、C为系数任何位置的直线要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1x2，y1y2），应用时若采用(y2y1)(xx1)(x2x1)(yy1)=0的形式，即可消除局限性截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式一般式常化为斜截式与截距式若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同要点三：两条直线的位置关系1特殊情况下的两直线平行与垂直 (1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为，互相平行；(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为），另一条直线的倾斜角为时，两直线互相垂直。2斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线和，则=且（2）已知直线：和：，则 。要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定。3斜率都存在时两直线的垂直：（1）已知直线和，则 ；（2）已知直线：和：，则要点四：点到直线的距离公式1点到直线距离公式：点到直线的距离为：2两平行线间的距离公式 已知两条平行直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为。要点诠释：一般在其中一条直线上随意地取一点M，再求出点M到另一条直线的距离即可要点五：对称问题1点关于点成中心对称点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。设，对称中心为，则P关于A的对称点为。2点关于直线成轴对称由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”。利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：设点关于直线的对称点为，则有，求出、。特殊地，点关于直线的对称点为；点关于直线的对称点为。3两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点关于x轴的对称点为；（2）点关于y轴的对称点为；（3）点关于原点的对称点为；（4）点关于直线的对称点为；（5）点关于直线的对称点为。 【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例1已知两点A（1，2），B（m，3）（1）求直线AB的方程；（2）已知实数，求直线AB的倾斜角的取值范围【思路点拨】（1）当m=1时，直线AB的方程为x=1，当m1时，利用点斜式即可得出；（2）当m=1时，；当m1时，可得，即可得出【答案】（1）x=1或；（2）【解析】（1）当m=1时，直线AB的方程为x=1，当m1时，直线AB的方程为（2）当m=1时，；当m1时，综合知，直线AB的倾斜角【总结升华】本题要求正确理解直线倾斜角的概念以及倾斜角与斜率的关系【举一反三】【变式】已知直线l：ay=(3a1)x1（1）求证：无论a为何值，直线l总过第三象限；（2）a取何值时，直线l不过第二象限？【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：由直线l：ay=(3a1)x1，得a(3xy)+(x1)=0，由，得，所以直线l过定点（1，3），因此直线总过第三象限（2）直线l不过第二象限，应有斜率满足： 时直线l不过第二象限类型二：两直线的位置关系例2四边形的顶点为，试判断四边形的形状【思路点拨】证明一个四边形为矩形，我们往往先证明这个四边形为平行四边形，然后再证明平行四边形的一个角为直角【解析】边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，即四边形为平行四边形又，即四边形为矩形【总结升华】证明不重和的的两直线平行，只需要他们的斜率相等，证明垂直，只需要他们斜率的乘积为1【举一反三】【变式1】已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my1=0，（1）若l1与l2交于点P（m，1），求m，n的值；（2）若l1l2，试确定m，n需要满足的条件；（3）若l1l2，试确定m，n需要满足的条件【答案】（1）m=1，n=7；（2）m=4，n2；或m=4，n2；（3）m=0，nR【解析】（1）将点P（m，1）代入两直线方程得：m28+n=0和2mm1=0，解得m=1，n=7（2）由l1l2得：，或，所以当m=4，n2；或m=4，n2时，l1l2（3）当m=0时直线和，此时l1l2，当m0时此时两直线的斜率之积等于，显然l1与l2不符，所以当m=0，nR时直线l1和l2垂直类型三：直线的方程例3过点P(2，1)作直线与x轴、y轴正半轴交于A、B两点，求AOB面积的最小值及此时直线的方程【思路点拨】因直线已经过定点P(2，1)，只缺斜率，可先设出直线的点斜式方程，且易知k0，再用k表示A、B点坐标，结合函数及不等式知识求解【解析】解法一：设直线的方程为：y1=k(x2)，令y=0，得：；令x=0，得y=12k，与x轴、y轴的交点均在正半轴上，0且12k0故k0，AOB的面积当且仅当，即时，S取最小值4，故所求方程为，即：x+2y4=0解法二：设直线方程为，A(a，0)，B(0，b)，且a0，b0，点P(2，1)在直线上，故，由均值不等式:1=得ab8，当且仅当，即a=4，b=2时取等号，且，此时方程为即：x+2y4=0解法三：如图，过P(2，1)作x轴与y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，设=PAM=BPN，则AOB面积S=S矩形OMPN+SPAM+SBPN，当且仅当，即时，SAOB有最小值4，故此时直线的方程为，即：x+2y4=0【总结升华】解法一与解法二选取了直线方程的不同形式，解法三考虑到图形的直观性，利用了形数结合的思想，体现了解题的“灵活性” 已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距【举一反三】【变式1】已知点P（2，1）（1）直线m经过点P，且在两坐标轴上的截距相等求直线m的方程；（2）直线n经过点P，且坐标原点到该直线的距离为2，求直线n的方程【思路点拨】（1）当横截距a=0时，纵截距b=0，此时直线过点（0，0），P（2，1）；当横截距a0时，纵截距b=a，此时直线方程设为x+y=a，把P（2，1）代入，得a=1由此能求出过点P（2，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，即可求直线n的方程【答案】（1）或x+y1=0；（2）x=2或3x4y10=0【解析】（1）当横截距a=0时，纵截距b=0，此时直线过点（0，0），P（2，1），直线方程为；当横截距a0时，纵截距b=a，此时直线方程设为x+y=a，把P（2，1）代入，得a=1，所求的直线方程为：x+y1=0综上：过点P（2，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为或x+y1=0（2）直线n的方程为x=2时，满足题意；直线的斜率存在时，设直线方程为y+1=k(x2)，即kxy2k1=0，坐标原点到该直线的距离为，方程为3x4y10=0，综上，直线n的方程为x=2或3x4y10=0类型三：对称问题例4已知直线l经过直线3x+4y2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x2y1=0（1）求直线l的方程；（2）求直线l关于原点O对称的直线方程【思路点拨】（1）联立方程，求出点P的坐标，利用所求直线l与x2y1=0垂直，可设直线l的方程为2x+y+C=0，代入P的坐标，可求直线l的方程； （2）求出直线l的方程2x+y+2=0在x轴、y轴上的截距，可得直线l关于原点对称的直线在x轴、y轴上的截距，从而可求直线l关于原点O对称的直线方程【答案】（1）2x+y+2=0；（2）2x+y2=0【解析】（1）由，解得，点P的坐标是（2，2），所求直线l与x2y1=0垂直，可设直线l的方程为2x+y+C=0把点P的坐标代入得2(2)+2+C=0，即C=2所求直线l的方程为2x+y+2=0（2）又直线l的方程2x+y+2=0在x轴、y轴上的截距分别是1与2则直线l关于原点对称的直线在x轴、y轴上的截距分别是1与2，所求直线方程为2x+y2=0【总结升华】1对称问题是高考的热点之一，一般包括点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称，要掌握通解通法和记忆一些常用结论2 求一条直线关于已知直线的对称直线，基本方法之一在直线上任取两点求其对称点，方法之二是利用相关点伴随曲线方法解决，其中方法2还可以推广，如改变直线为二次曲线C，仍可用此方法解决【举一反三】【变式】已知平面内两点A（8，6），B（2，2）（1）求AB的中垂线方程；（2）求过P（2，3）点且与直线AB平行的直线l的方程；（3）一束光线从B点射向（2）中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程【答案】（1）3x4y23=0；（2）4x+3y+1=0；（3）11x+27y+74=0【解析】（1），AB的中点坐标为（5，2），AB的中垂线斜率为由点斜式可得AB的中垂线方程为3x4y23=0（2）由点斜式直线l的方程4x+3y+1=0（3）设B（2，2），关于直线l的对称点B（m，n），解得，由点斜式可得，整理得11x+27y+74=0反射光线所在的直线方程为11x+27y+74=0类型五：综合应用例5已知直线（1）若直线的斜率小于2，求实数m的取值范围；（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求AOB面积的最大值及此时直线的方程【思路点拨】（1）利用斜率计算公式即可得出；（2）求出与坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积计算公式和二次函数的单调性即可得出【答案】（1）m0或m4且m4；（2）S有最大值2，直线l的方程为x+y2=0【解析】（1）直线l过点（m，0），（0，4m），则，解得m0或m4且m4实数m的取值范围是m0或m4且m4；（2）由m0，4m0得0m4，则，则m=2时