“新定义”型中考试题例析

“新定义”型中考试题例析 绍兴市文理附中 冯梅纵观近几年全国各地中考数学试题，“新定义”型试题已越来越受到各地命题者的青睐。在近几年的绍兴中考数学试卷中，每年都有一个有关“新定义”型的试题，它已成为绍兴中考数学试题的一大特色“新定义”型试题是指在试题中定义新概念、新公式、新运算、新法则、新方法，这些都是同学们从未接触过的，要求同学们在解题时能够运用已掌握的知识和方法理解“新定义”，做到“化生为熟”，现学现用，其目的是考查同学们的阅读理解能力、接受能力、应变能力和创新能力，培养同学们自主学习、主动探究的数学品质，在一定程度上促进教学方法和学习方法的转变基于这些原因，对新概念试题进行深层次、多方位的研究，并在毕业复习中对同学们有意加强这方面的训练，就显得尤为重要1定义一种运算例1（2011湖南湘潭）规定一种新的运算：，则 解：把代入式子计算即可：点评：解题关键是弄清新定义运算的转化方法，根据题意把的值代入，按规定计算2定义一个规则例2（2012四川德阳）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密）；接收方由密文明文（解密）.已知加密规则为：明文对应密文， .例如：明文1，2，3，4对应的密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）A4，6，1，7 B4，1，6，7 C6，4，1，7 D1，6，4，7解：根据对应关系，可以求得；代入得；在代入得；代入得故选C点评：本题的实质是考查多元方程组的解法从简单的一元一次方程入手，通过代入消元，求出各个未知量，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法3定义一种变换例3（2010山东东营）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图甲）结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是( )A对应点连线与对称轴垂直 B对应点连线被对称轴平分C对应点连线被对称轴垂直平分 D对应点连线互相平行点评：本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等及轴对称的性质；按要求画出图形是正确解答本题的关键4定义一类数例4（2008浙江绍兴）定义为一次函数的特征数（1）若特征数是的一次函数为正比例函数，求的值；（2）设点分别为抛物线与轴的交点，其中，且的面积为4，为原点，求图象过两点的一次函数的特征数解：（1）特征数为的一次函数为，（2）抛物线与轴的交点为，与轴的交点为若，则；若，则当时，满足题设条件此时抛物线为它与轴的交点为，与轴的交点为，一次函数为或，特征数为或点评：本题考查学生根据一次、二次函数的性质，根据题意，分析解决问题的能力5定义一个函数例5（2007浙江绍兴）设关于的一次函数与，则称函数（其中）为此两个函数的生成函数（1）当时，求函数与的生成函数的值；（2）若函数与的图象的交点为，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由解：（1）当时， （2）点在此两个函数的生成函数的图象上， 设点的坐标为， ， 当时， ， 即点在此两个函数的生成图象上点评：此题是一道新定义信息题，难度不大，考查了同学们的阅读理解和对新知识的接受能力，只要仔细阅读，就可根据相关函数知识作出解答6定义一个公式例6（2009湖南益阳）阅读材料：如图1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半BC铅垂高水平宽h a 图1 图2xCOyABD11解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及；（3）是否存在一点P，使SPAB=SCAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设抛物线的解析式为： 把A（3,0）代入解析式求得所以设直线AB的解析式为：由求得B点的坐标为 把，代入中解得：，所以（2）因为C点坐标为(,4)所以当x时，y14，y22，所以CD4-22（平方单位）（3）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h，则由SPAB=SCAB，得：化简得：，解得，将代入中，解得P点坐标为点评：本题给出了一个直角坐标系中求一般三角形的面积计算公式，并要求现学现用，总体来说本题难度不大7定义一个图形7.1定义“点”例7（2012绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心举例：如图1，若PA=PB，则点P为ABC的准外心应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求APB的度数探究：已知ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长应用：解：若PB=PC，连接PB，则PCB=PBC，CD为等边三角形的高，AD=BD，PCB=30，PBD=PBC=30，PD=DB=AB，与已知PD=AB矛盾，PBPC，若PA=PC，连接PA，同理可得PAPC，若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，APD=45，故APB=90；探究：解：BC=5，AB=3，AC=，若PB=PC，设PA=x，则，即PA=，若PA=PC，则PA=2，若PA=PB，由图知，在RtPAB中，不可能故PA=2或 点评：这是一道新概念试题，解答本题的关键是理解新概念的含义，然后结合有关图形性质分情况进行计算验证7.2定义“线”例8（2012甘肃兰州）如图，定义：若双曲线y(k0)与它的其中一条对称轴yx相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y(k0)的对径（1）求双曲线y的对径；（2）若双曲线y(k0)的对径是10，求k的值；（3）仿照上述定义，定义双曲线y(k0)的对径解：过A点作ACx轴于C，如图，(1)解方程组，得，A点坐标为(1，1)，B点坐标为(1，1)，OCAC1，OAOC，AB2OA，双曲线y的对径是；(2)双曲线的对径为，即AB，OA，OAOCAC，OCAC5，点A坐标为(5，5)，把A(5，5)代入双曲线y (k0)得k5525，即k的值为25；(3)若双曲线y(k0)与它的其中一条对称轴yx相交于A、B两点，则线段AB的长称为双曲线y(k0)的对径点评：本题考查了反比例函数综合题，题中的对径即为线段AB的长度；点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；等腰直角三角形的斜边是直角边的倍；强化理解能力7.3定义“角”例9（2012江苏南京）如图，A、B是O上的两个定点，P是O上的动点（P不与A，B重合），我们称APB是O上关于A、B的滑动角（1）已知APB是O上关于A、B的滑动角若AB是O的直径，则APB= ；若O的半径是1，AB=，求APB的度数.（2）已知O2是O1外一点，以O2为圆心做一个圆与O1相交于A、B两点，APB是O1上关于A、B的滑动角，直线PA、PB分别交O2于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索APB与MAN、ANB之间的数量关系解：（1）AB是O的直径，APB=90. OA=OB=1, AB=，OA2+OB2=1+1=2=AB2AOB是直角三角形AOB=90.APB=AOB=45 图1 图2（2）当P在优弧AB上时，如图1，这时MAN是PAN的外角，因而APB=MAN-ANB；当P在劣弧AB上时，如图2，这时APB是PAN的外角，因而APB=MAN+ANB；点评：本题以新概念入手，有一种新意，但其知识点就是圆周角与圆心角之间的关系，只是说法不同而已，还用到直径所对圆周角为直角，勾股定理等知识；第二问主要看考生能否周全考虑，自己要画出图形来帮助分析，结合图形很容易得到正确结论7.4定义“三角形”AyOBx例10（2010浙江绍兴）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B,则OAB为此函数的坐标三角形（1）求函数yx3的坐标三角形的三条边长； （2）若函数yxb（b为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积解：(1) 直线yx3与x轴的交点坐标为（4,0），与y轴交点坐标为（0,3）， 函数yx3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5. (2) 直线yxb与x轴的交点坐标为（,0），与y轴交点坐标为（0,b）， 当b0时,，得b =4，此时，坐标三角形面积为； 当b0时，得b =4，此时，坐标三角形面积为. 综上，当函数yxb的坐标三角形周长为16时，面积为 点评：本题考查了一次函数和几何问题的综合应用，本题中根据一次函数和坐标轴的交点坐标，求坐标三角形的三边长是解题的基础7.5定义“四边形”例11（2007鄂尔多斯）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点），请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的勾股四边形；图1图2（3）如图2，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结，求证：，即四边形是勾股四边形解：（1）正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）（2）答案如图所示或 （3）证明：连结， ， ，即四边形是勾股四边形点评：本题考查勾股定理，及考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都