高中数学必修五求数列通项公式2附经典例题和详细答案.doc

此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 数列专项数列专项 3 3 类型类型 构造数列法 构造数列法 形如形如 其中 其中均为常数且均为常数且 型的递推式 型的递推式 qpaa nn 1 p q0p 1 若时 数列 为等差数列 1p n a 2 若时 数列 为等比数列 0q n a 3 3 若 若且且时 数列时 数列 为线性递推数列 其通项可通过待定系数法为线性递推数列 其通项可通过待定系数法构造等构造等1p 0 q n a 比数列比数列来求来求 方法有如下两种 法一 法一 设 展开移项整理得 与题设 1 nn ap a 1 1 nn apap 比较系数 待定系数法 得 1nn apaq 即 1 0 111 nn qqq pap a ppp 1 11 nn qq ap a pp 构成以为首项 以为公比的等比数列 再利用等比数列的通项公 1 n q a p 1 1 q a p p 式求出的通项整理可得 1 n q a p n a 法二 法二 由得两式相减并整理得即qpaa nn 11 2 nn apaq n 1 1 nn nn aa p aa 构成以为首项 以为公比的等比数列 求出的通项再转化 1nn aa 21 aa p 1nn aa 为类型类型 累加法 累加法 便可求出 n a 例例 1010 在数列中 且 求数列的通项公式 an 2 1 a23 1 nn aa n a 例例 1111 在数列中 且 求数列的通项公式 an12 1 a3 3 2 1 nn aa n a 形如形如型的递推式型的递推式 1 nn apaf n 1 p 当当为一次函数类型 即等差数列 时 为一次函数类型 即等差数列 时 f n 法一 法一 设 通过待定系数法确定的值 转 1 1 nn aAnBp aA nB A B 化成以为首项 以为公比的等比数列 再利用等比数列的通项 1 aAB p n aAnB 公式求出的通项整理可得 n aAnB n a 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 法二 法二 当的公差为时 由递推式得 f nd 1 nn apaf n 两式相减得 令得 1 1 nn apaf n 11 nnnn aap aad 1nnn baa 转化为类型类型 求出 再用类型类型 累加法 累加法 便可求出 1nn bpbd n b n a 例例 12 12 在数列中 且 求数列的通项公式 an 2 1 a243 1 naa nnn a 当当为指数函数类型 即等比数列 时 为指数函数类型 即等比数列 时 f n 法一 法一 设 通过待定系数法确定的值 转化成以 1 1 nn af np af n 为首项 以为公比的等比数列 再利用等比数列的通项公式求 1 1 af p n af n 出的通项整理可得 n af n n a 法二 法二 当的公比为时 由递推式得 f nq 1 nn apaf n 两边同时乘以得 由 两式相 1 1 nn apaf n q 1 1 nn a qpqaqf n 减得 即 在转化为类型类型 便可求出 11 nnnn aa qp aqa 1 1 nn nn aqa p aqa n a 法三 法三 递推公式为 其中 p q 均为常数 或 其中 n nn qpaa 11 n nn aparq p q r 均为常数 时 要先在原递推公式两边同时除以 得 1 n q qq a q p q a n n n n 1 1 1 引入辅助数列引入辅助数列 其中 得 再应用类型类型 的方法解决 n b n n n q a b q b q p b nn 1 1 例例 1313 在数列中 且 求数列的通项公式 an 2 1 a n nn aa23 1 n a 当当为任意数列时 可用为任意数列时 可用通法通法 f n 在两边同时除以可得到 令 则 1 nn apaf n 1n p 1 11 nn nnn aaf n ppp n n n a b p 在转化为类型类型 累加法 累加法 求出之后得 1 1 nn n f n bb p n b n nn ap b 例例 1414 在数列中 且 求数列的通项公式 an 2 1 anaa nn 3 1n a 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 类型类型 对数变换法 对数变换法 形如形如型的递推式 型的递推式 1 0 0 q nn apapa 在原递推式两边取对数得 令得 1 q n apa 1 lglglg nn aqap lg nn ba 化归为型 求出之后得 注意 底数不一 1 lg nn bqbp qpaa nn 1n b10 n b n a 定要取 10 可根据题意选择 例例 15 15 已知数列满足 求数列的通项公式 an 5 1 3 nn aa 7 1 a n a 例例 16 16 已知数列满足 求数列的通项公式 an 5 1 32 n n n aa 7 1 a n a 类型类型 倒数变换法 倒数变换法 形如形如 为常数且 的递推式 的递推式 两边同除于 转化为 11nnnn aapaa p0p 1nn aa 形式 化归为型求出的表达式 再求 1 11 nn p aa qpaa nn 1 1 n a n a 还有形如还有形如的递推式 的递推式 也可采用取倒数方法转化成形式 化归 1 n n n ma a paq 1 11 nn mm aq ap 为型求出的表达式 再求 qpaa nn 1 1 n a n a 例例 17 17 已知数列满足 求数列的通项 an 3 1 1 a 2 11 naaaa nnnnn a 公式 例例 18 18 已知数列满足 求数列的通项公式 an 1 1 a 13 1 1 n n n a a a n a 类型类型 形如形如型的递推式 型的递推式 nnn qapaa 12 法一 法一 用待定系数法 化为特殊数列的形式求解 方法为 设 1 nn aa 比较系数得 可解得 于是 112nnnn kaahkaa qhkpkh h k 是公比为的等比数列 这样就化归为型 1 nn aka hqpaa nn 1 法二 法二 可用特征方程的方法求解 我们称方程 x2 Ax B 0 为数列的特征方程 i 当方程有两个相异的实根 或虚根 p q 时 有 其中 nn n qcpca 21 c1与 c2由已知的 a1 a2确定 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 ii 当方程有唯一的实根 p 时 有其中 c1 与 c2 由已知的 a1 a2 n n pcnca 21 确定 例例 19 已知 求的通项公式 nnn aaaaa 1221 2 3 2 n a 例例 20 已知 求的通项公式 nnn aaaaa23 3 2 1221 n a 类型类型 IXIX 不动点法不动点法 为了求出递推数列的通项 我们先给出如下两个定义 dtc bta t n n n 1 定义定义 1 1 若数列 满足 则称为数列 的特征函数 n t 1nn tft xf n t 定义定义 2 2 方程 x 称为函数的不动点方程 其根称为函数的不动点 xf xf xf 下面分两种情况给出递推数列通项的求解通法 dtc bta t n n n 1 1 当 c 0 时 由 dtc bta t n n n 1 d b t d a t nn 1 记 则有 k 0 k d a c d b ctkt nn 1 数列 的特征函数为 kx c n t xf 由 kx c xx 则 k c 1 ctkt nn 1 1 1 1 k c tk k c t nn 数列是公比为 k 的等比数列 1 k c tn 1 1 1 1 n n k k c t k c t 1 1 1 1 n n k k c t k c t 2 当 c 0 时 数列 的特征函数为 n t xf dxc bxa 由x dxc bxa 0 2 bxadcx 设方程的两根为 x1 x2 则有 0 2 bxadcx 0 1 2 1 bxadcx0 2 2 2 bxadcx 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 1 1 2 1 xadcxb 2 2 2 2 xadcxb 又设 其中 n N k 为待定常数 2 1 21 11 xt xt k xt xt n n n n 由 2 1 21 11 xt xt k xt xt n n n n 2 1 2 1 xt xt k x dtc bta x dtc bta n n n n n n 3 2 1 22 11 xt xt k dxtcxbat dxtcxbat n n nn nn 将 1 2 式代入 3 式得 2 1 22 2 2 11 2 1 xt xt k axtcxcxat axtcxcxat n n nn nn 2 1 22 11 xt xt k xtcxa xtcxa n n n n 2 1 cxa cxa k 数列 是公比为 易证 的等比数列 2 1 xt xt n n 2 1 cxa cxa 0 2 1 cxa cxa 2 1 xt xt n n 1 2 1 21 11 n cxa cxa xt xt 1 2 1 21 11 1 2 1 21 11 21 1 n n n cxa cxa xt xt cxa cxa xt xt xx t 例例 21 21 已知数列 an 中 a1 3 求 an 的通项 1 24 1 n n n a a a 例例 22 22 已知数列 an 中 a1 2 求 an 的通项 3 12 1 n n a a 总之 求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解 对不能转化为以上方 法求解的数列 可用归纳 猜想 证明方法求出数列通项公式 n a 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 答案详解答案详解 例例 10 13 Nna n n 例例 11 9 3 2 3 1 Nna n n 例例 12 2232 Nnna n n 例例 13 2 34 1 Nna nn n 例例 14 4 1 2 3 12 11 Nn n a n n 例例 15 37 4 15 5 1 1 Nna n n n 例例 16 237 4 15 16 1 5 1 1 Nna n n n n 例例 17 2 1 Nn n an 例例 18 23 1 Nn n an 例例 19 1 Nnnan 例例 20 12 1 Nna n n 例例 21 32 322 12 12 Nna nn nn n 例例 22 1 3 2 1 Nna n n 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 数列专项数列专项 3 3 巩固习题巩固习题 一 选择填空一 选择填空 1 1 20102010 全国卷全国卷 2 2 6 如果等差数列 n a中 3 a 4 a 5 a 12 那么 1 a 2 a 7 a A 14 B 21 C 28 D 35 2 2 20102010 安徽 安徽 5 设数列 n a的前 n 项和 2 n Sn 则 8 a的值为 A 15 B 16 C 49 D 64 3 2011 2011 年高考四川年高考四川 数列 n a的首项为3 n b 为等差数列且 1 nnn baa nN 若则 3 2b 10 12b 则 8 a A 0 B 3 C 8 D 11 4 20 201111 年高考全国卷年高考全国卷设 n S为等差数列 n a的前n项和 若 1 1a 公差2d 则k A 8 B 7 C 6 D 524 2 kk SS 5 2009 广东卷 理 已知等比数列 n a满足0 1 2 n an 且 2 525 2 3 n n aan 则当1n 时 2123221 logloglog n aaa A 21 nn B 2 1 n C 2 n D 2 1 n 6 2009 陕西卷 设等差数列 n a的前 n 项和为 n s 若 63 12as 则 n a 7 7 2011 2011 广东卷广东卷 等差数列 n a前 9 项的和等于前 4 项的和 若 14 1 0 k aaa 则k 8 1 13 1 1 1 a a a a n n n 则其通项为 9 2009 宁夏海南卷理 等差数列 n a 前 n 项和为 n S 已知 1m a 1m a 2 m a 0 21m S 38 则 m 10 重庆卷理 设 1 2a 1 2 1 n n a a 2 1 n n n a b a nN 则数列 n b的通 项公式 n b 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 二 解答题 二 解答题二 解答题 1111 等差数列 n a是递增数列 前 n 项和为 n S 且 931 aaa成等比数列 2 55 aS 求数列 n a的通项公式 1212 已知数列 n a的前n项和 n S满足1 1 2 naS n nn 求数列 n a的通项公式 1313 已知数列 n a满足 11 2 313 n nn aaa 求数列 n a的通项公式 1414 已知数列 n a满足 11 2 1 53 n nn anaa 求数列 n a的通项公式 1515 已知数列 n a满足 11 23 56 n nn aaa 求数列 n a的通项公式 1616 知数列 n a满足 11 22 8 1 8 21 23 9 nn n aaa nn 求数列 n a的通项公式 1717 已知数列 n a满足 11 1 14124 1 16 nnn aaaa 求数列 n a的通项公 式 1818 已知数列 n a满足 11 72 2 23 n n n a aa a 求数列 n a的通项公式 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 答案详解答案详解 1 答案 C C 解析解析 本题考查了数列的基础知识 本题考查了数列的基础知识 345 12aaa 4 4a 127174 1 7 728 2 aaaaaa 2 答案 A 解析 887 644915aSS 方法技巧 直接根据 1 2 nnn aSSn 即可得出结论 3 答案 B 解析 由已知知 1 28 28 nnn bnaan 由叠加法 21328781 642024603aaaaaaaa 4 答案 D 解析 22111 2 1 1 1 kkkk SSaaakdakd 1 2 21 akd 2 1 21 244245kkk 故选 D 5 解析 由 2 525 2 3 n n aan 得 n n a 22 2 0 n a 则 n n a2 3212 loglogaa 2 122 12 31lognna n 选 C 6解析 由 63 12as 可得 n a的公差 d 2 首项 1 a 2 故易得 n a 2n 答案 2n 7 答案 10 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 解析解析 由题得由题得10 6 1 031 1 1 2 34 4 2 89 9 kd ddk dd 8 8 解解 取倒数 11 1 1 3 131 nn n n aa a a n a 1 是等差数列 3 1 11 1 n aan 3 1 1 n 23 1 n an 9 9 解析由 1m a 1m a 2 m a 0 得到 1212 21 21 20 0 2213810 2 m mmmmm maa aaaSmam 又 答案 10 1010 解析 由条件得 11 1 1 1 2 2 22 22 2 11 1 nnn nn nn n aaa bb aa a 且 1 4b 所以数列 n b是 首项为 4 公比为 2 的等比数列 则 11 4 22 nn n b 1111 解解 设数列 n a公差为 0 dd 931 aaa成等比数列 91 2 3 aaa 即 8 2 11 2 1 daada dad 1 2 0 d da 1 2 55 aS 2 11 4 2 45 5dada 由 得 5 3 1 a 5 3 d nnan 5 3 5 3 1 5 3 点评点评 利用定义法求数列通项时要注意不用错定义 设法求出首项与公差 公比 后再写出通项 1212 解解 由112 1111 aaSa 当 2 n 时 有 1 2 2 11 n nnnnn aaSSa 1 1 22 1 n nn aa 1 22 2 21 n nn aa 22 12 aa 11221 1 22 1 2 1 2 1 nnnn n aa 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 12 1 1 211 nn n nn nnnn 经验证1 1 a也满足上式 所以 1 2 3 2 12 nn n a 1313 解 由 1 2 31 n nn aa 得 1 2 31 n nn aa 则 11232211 1221 1221 1 2 31 2 31 2 31 2 31 3 2 3333 1 3 3 1 3 2 1 3 1 3 331 3 31 nnnnn nn nn n n n aaaaaaaaaa n n n n 所以31 n n an 14 解 因为 11 2 1 53 n nn anaa 所以0 n a 则 1 2 1 5n n n a n a 故 132 1 1221 1221 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 5 2 2 1 5 2 2 1 5 2 1 1 5 3 2 1 3 2 53 3 25 nn n nn nn nnn n n n aaaa aa aaaa nn n n n 所以数列 n a的通项公式为 1 1 2 3 25 n n n n an 15 解 设 1 1 52 5 nn nn axax 将 1 23 5n nn aa 代入 式 得 1 23 55225 nnn nn axax 等式两边消去 2 n a 得 1 3 5525 nnn xx 两边除以5n 得352 1 xxx 则代入 式得 1 1 52 5 nn nn aa 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 由 1 1 56510a 及 式得50 n n a 则 1 1 5 2 5 n n n n a a 则数列 5 n n a 是以 1 1 51a 为首项 以 2 为公比的等比数列 则 1 52 nn n a 故 1 25 nn n a 16 解 由 1 22 8 1 21 23 nn n aa nn 及 1 8 9 a 得 21 22 32 22 43 22 8 1 1 88 224 2 1 1 2 1 3 99 2525 8 2 1 248 348 2 2 1 2 23 2525 4949 8 3 1 488 480 2 3 1 2 33 4949 8181 aa aa aa 由此可猜测 2 2 21 1 21 n n a n 往下用数学归纳法证明这个结论 1 当1n 时 2 1 2 2 1 1 18 2 1 1 9 a 所以等式成立 2 假设当nk 时等式成立 即 2 2