高考数学复习 第九章 直线、平面、简单几何体（A）9(A)5课件.ppt

基础知识一 七种空间中的距离1 两点间的距离 连结两点的的长度 2 点到直线的距离 从直线外一点向直线引垂线 的长度 3 点到平面的距离 从点向平面引垂线 的长度 4 平行直线间的距离 从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线 的长度 点到垂足之间线段 点到垂 足间线段 这点到垂足间线段 线段 5 异面直线间的距离 两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的的长度 6 直线与平面间的距离 如果一条直线和一个平面平行 从直线上任意一点向平面引垂线 的长度 7 两平行平面间的距离 夹在两个平面之间的的长度 线段 这点到垂足 间线段 公 垂线段 二 求距离的方法从空间中各种距离的定义看 它们基本上都是转化为两点间的距离来计算 因此 会求空间中两点的距离是基础 求点到直线和点到平面的距离是重点 求异面直线的距离是难点 求解距离问题要注意运用化归与转化思路 面面距离 线面距离 点面距离 点点距离 三 求距离的一般步骤1 找出或作出有关距离的图形 2 证明它们就是所求的距离 3 利用平面几何和解三角形的知识在平面内计算求解 易错知识一 公式应用失误 1 异面直线a b所成的角60 其公垂线为ab 且a a b b 又m a n b 且am 5 bn 4 ab 3 则mn 二 分析问题不全面致误 2 不共面的四个定点到平面 的距离相等 这样的平面 共有 a 3个b 4个c 6个d 7个解题思路 如图设e f g分别为棱ab ac ad的中点 则过e f g三点的平面p就是高ah的垂直平分面 所以它与a b c d四点等距 四面体有四条高 因此 这样的平面共有四个可作 因此 与a b c d四点等距的平面有四个 如图 设k l分别为bd bc的中点 则过k l f g四点的平面就是异面直线ab cd的公垂线段mn的垂直平分面 它与a b c d四点距离相等 四面体有三对异面的棱 这样的平面共有3个 因此 这道题的正确答案是7个 故选d 答案 d 回归教材1 下列命题中 pa 矩形abcd所在的平面 则p b两点间的距离等于点p到bc的距离 若a b a b 则a与b的距离等于a与 的距离 直线a b是异面直线 a b 则a b之间的距离等于b与 的距离 直线a b是异面直线 a b 且 则a b之间的距离等于 与 之间的距离其中正确命题的个数有 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 正确 如图1 点线距离可转化为点与点之间的距离 不正确 如图2 正确 如图3 图4 异面直线的距离常常可转化为线面或面面之间的距离 故选c 答案 c 2 已知平面 外不共线的三点a b c到 的距离都相等 则正确的结论是 a 平面abc必不垂直于 b 平面abc必平行于 c 平面abc与 相交d 存在 abc的一条中位线平行于 或在 内解析 平面abc可以与 平行 相交 包括垂直 故排除a b c 选择d 答案 d 3 点p是 abcd所在平面外一点 若p到四边的距离都相等 则abcd a 是正方形b 是长方形c 有一个内切圆d 有一个外接圆解析 根据射影长定理 知p的射影o到四边距离相等 所以选c 答案 c 4 教材改编题 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 棱长为1 则c1d1的中点e到直线ab的距离为 解析 易知其距离为线段bc1的长 bc1的长为 答案 b 5 已知直角三角形efg的直角顶点e在平面 内 斜边fg 且fg 6cm ef eg和 分别成30 和45 角 则fg到 的距离为 答案 b 例1 2008 启东中学模拟 p为四面体sabc的侧面sbc内的一点 若动点p到底面abc的距离与到点s的距离相等 则动点p的轨迹是侧面sbc内的 a 线段或圆的一部分b 椭圆或双曲线的一部分c 双曲线或抛物线的一部分d 抛物线或椭圆的一部分 解析 本题考查学生对圆锥曲线定义的掌握程度 培养学生的探究能力 迁移能力 将空间图形与平面图形的转化能力 如图 过点p作ph 面abc于点h 再过点p作po bc于点o 则 poh等于二面角s bc a的平面角 从而由条件知ph ps 所以 sin 当 时 动点p的轨迹是抛物线的一部分 当 时 动点p的轨迹是椭圆的一部分 故选d 答案 d 2007 西安八校联考 如图 正方体abcd a1b1c1d1的侧面abb1a1内有一动点p到直线aa1和bc的距离相等 则动点p的轨迹是 a 线段b 椭圆的一部分c 双曲线的一部分d 抛物线的一部分答案 d 解析 p到直线bc的距离即为p到点b的距离 于是由抛物线的定义知 p点的轨迹为 以aa1为准线 b为焦点的 抛物线的一部分 故选d 例2 2009 重庆 19 如图 在 abc中 b 90 ac d e两点分别在ab ac上 使 2 de 3 现将 abc沿de折成直二面角 求 1 异面直线ad与bc的距离 2 二面角a ec b的大小 用反三角函数表示 命题意图 本题主要考查异面直线之间的距离以及二面角的作法和求法 以及空间向量的运用 关键是注意折叠问题中折前与折后的不变量 解析 1 在图 1 中 因故de bc 又因为 b 90 从而ad de 在图 2 中 因a de b是直二面角 ad de 故ad 底面dbce 从而ad db 而db bc 故db为异面直线ad与bc的公垂线 下面求db的长 在图 1 中 又已知de 3 从而 2 在图 2 中 过d作df ce 交ce的延长线于点f 连接af 由 1 知 ad 底面dbce 由三垂线定理知af fc 故 afd为二面角a ec b的平面角 在底面dbcf中 def bce 从而在rt dfe中 de 3 df desin def desin bce 在rt afd中 ad 4 tan afd 因此所求二面角a ec b的大小为 如下图 在棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1中 p是bc的中点 dp交ac于m b1p交bc1于n 1 求证 mn是异面直线ac与bc1的公垂线 2 求异面直线ac与bc1间的距离 解析 1 欲证mn ac且mn bc1 只要证明 总结评述 异面直线间的距离要控制难度 只要会求给出的公垂线段的情况 此题若不提示点p的位置而要你直接求ac与bc1间的距离 则难度大得多 作为开阔思路 想一想 还有哪些方法可求之 例3 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 acb 90 ac bc a d e分别为棱ab bc的中点 m为棱aa1上的点 二面角m de a为30 1 证明 a1b1 c1d 2 求ma的长 并求点c到平面mde的距离 命题意图 本小题主要考查空间中的线面关系 解三角形等基础知识 考查空间想象力与思维能力 解析 1 证明 如图连结cd 三棱柱abc a1b1c1是直三棱柱 cc1 平面abc cd为c1d在平面abc内的射影 abc中 ac bc d为ab中点 ab cd ab c1d a1b1 ab a1b1 c1d 2 解法一 过点a作ce的平行线 交ed的延长线于f 连结mf d e分别为ab bc的中点 de ac 又 af ce ce ac af de ma 平面abc af为mf在平面abc内的射影 mf de mfa为二面角m de a的平面角 mfa 30 在rt maf中 mfa 30 作ag mf 垂足为g mf de af de de 平面amf 平面mde 平面amf ag 平面mde 在rt gaf中 gfa 30 af ag 即a到平面mde的距离为 ca de ca 平面mde c到平面mde的距离与a到平面mde的距离相等 为 解法二 过点a作ce的平行线 交de的延长线于f 连结mf d e分别为ab cb的中点 de ac 又 af ce ce ac af de ma 平面abc af为mf在平面abc内的射影 mf de mfa为二面角m de a的平面角 mfa 30 在rt maf中 mfa 30 设c到平面mde的距离为h vm cde vc mde 2009 重庆 19 如图所示 在四棱锥s abcd中 ad bc且ad cd 平面csd 平面abcd cs ds cs 2ad 2 e为bs的中点 ce as 求 1 点a到平面bcs的距离 2 二面角e cd a的大小 解析 1 因为ad bc 且bc 平面bcs 所以ad 平面bcs 从而a点到平面bcs的距离等于d点到平面bcs的距离 因为平面csd 平面abcd ad cd 故ad 平面csd 从而ad ds 由ad bc 得bc ds 又由cs ds知ds 平面bcs 从而ds为点a到平面bcs的距离 2 如图 过e点作eg cd 交cd于点g 又过g点作gh cd 交ab于h 故 egh为二面角e cd a的平面角 记为 过e点作ef bc 交cs于点f 连结gf 因平面abcd 平面csd gh cd 易知gh gf 故 egf 例4 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab 4 bc 3 cc1 2 如图 1 求证 平面a1bc1 平面acd1 2 求 1 中两个平行平面间的距离 分析 证面面平行 只需证其中一个平面内的某两条相交直线平行于另一个平面 而计算面面距离 除找公垂线段外 还可求其中一个平面内任一点到另一平面的距离 也可用 等体积法 计算 解 1 由于bc1 ad1 则bc1 平面acd1 同理 a1b 平面acd1 则平面a1bc1 平面acd1 2 设两平行平面a1bc1与acd1间的距离为d 则d等于d1到平面a1bc1的距离 由于vd1 a1bc1 vb a1c1d1 则 2009 北京 7 若正四棱柱abcd a1b1c1d1的底面边长为1 ab1与底面abcd成60 角 则a1c1到底面abcd的距离为 答案 d解析 依题可知 b1ab 60 平面a1b1c1d1 平面abcd a1c1 平面a1b1c1d1 b1b即为所求距离 在 abb1中 得b1b 故选d 1 异面直线间的距离的求法