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第一节矩阵的概念及运算 一矩阵的引入 二矩阵的概念 三矩阵的运算 1 某班级同学早餐情况 为了方便 常用下面的数表表示 一 矩阵的引入 2 线性方程组 的解取决于 系数 常数项 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究 二 矩阵的定义 定义 排成的行列的矩形数表 称为数域 由数域中的个数 记作 称为矩阵的元素 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 注 只有一行的矩阵称为行矩阵 只有一列的矩阵称为列矩阵 行数与列数相等的矩阵称为 阶方阵 若 且 称两矩阵同型 4 若 且 称两矩阵相等 5 例如 实矩阵 矩阵 行矩阵 矩阵 阶方阵 两矩阵同型 两矩阵相等 矩阵与行列式的有何区别 思考 矩阵与行列式有本质的区别 行列式是一个算式 一个数字行列式经过计算可求得其值 而矩阵仅仅是一个数表 它的行数和列数可以不同 解答 三 矩阵的运算 注意 只有同型矩阵才能进行加法运算 若 规定 2 数乘 若 规定 数乘矩阵是数 去乘 中的每一个元素 1 加法 运算性质 设均是矩阵 1 2 3 4 3 乘法 1 引例设甲 乙两家公司生产 三种型 生产这三种型号的产品每台的利润 单位 万元 台 那么这两家公司的月利润 单位 万元 为多少 号的产品 月产量 单位 台 为 甲每月的利润为29 1万元 乙利润为34 1万元 1 条件 的列数 的行数 2 结果 的行数为乘积行数 的列数为乘积列数 特别 为一阶方阵 即一个数 一个 阶方阵 例1 设 解 2 矩阵相乘的三大特征 1 无交换律 2 无消去律 3 若 3 运算性质 1 2 3 对于矩阵 若 称与可交换 无 把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵 叫做的转置矩阵 记作 例 4 矩阵的转置 1 定义 2 运算性质 1 2 4 3 特别 对称矩阵的特点是 它的元素以主对角线为对称轴对应相等 如 对称矩阵 定义 定义 反对称矩阵的主要特点是 主对角线上的元素为0 其余的元素关于主对角线互为相反数 如 反对称矩阵 证明 例2 X为n阶矩阵 E为n阶单位矩阵 证明是对称矩阵 是对称矩阵 对称矩阵 5 方阵的幂 1 定义 规定 若 注 AB BA时成立 例3 设 计算 解 6 方阵的行列式 1 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式 各元素的位置不变 叫做方阵 的行列式 记作 2 运算规律 1 2 3 例4 已知 解 例5 已知A是三阶矩阵 且 解 小
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