人教B版选修22 1.4.1 曲边梯形面积与定积分 课件（48张）.pptx

1 4 1曲边梯形面积与定积分 第一章 1 4定积分与微积分基本定理 学习目标1 了解 以直代曲 以不变代变 的思想方法 2 会求曲边梯形的面积及变力所做的功 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一曲边梯形的面积 如图 为求由抛物线y x2与直线x 1 y 0所围成的平面图形的面积s 该图形与我们熟悉的 直边图形 有什么区别 答案 答案已知图形是由直线x 1 y 0和曲线y x2所围成的 可称为曲边梯形 曲边梯形的一条边为曲线段 而 直边图形 的所有边都是直线段 思考2 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求 直边图形 的面积问题 归纳主要步骤 答案 答案 分割 近似代替 求和 取极限 1 曲边梯形曲线与平行于的直线和所围成的图形 称为曲边梯形 2 求曲边梯形面积的方法求由直线x a x b a b y 0和曲线y f x 所围成的曲边梯形 如图 的面积的步骤 梳理 x轴 y轴 分割 把区间 a b 分成许多小区间 进而把曲边梯形拆分为一些 如图 近似代替 对每个小曲边梯形 即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积 得到每个小曲边梯形的面积的 求和 把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和 取极限 当小曲边梯形的个数趋向无穷时 各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值 即为曲边梯形的面积 小曲边梯形 以直代曲 近似值 思考 知识点二定积分的概念与基本性质 分析求曲边梯形的面积和变力所做的功 找一下它们的共同点 答案 答案两个问题均可以通过 分割 近似代替 求和 取极限 解决 都可以归结为一个特定形式和的极限 定积分的有关概念与基本性质 1 函数定积分的定义设函数y f x 定义在区间 a b 上 如图 用分点a x0 x1 x2 xn 1 xn b 把区间 a b 分为n个小区间 其长度依次为 xi xi 1 xi i 0 1 2 n 1 记 为这些小区间长度的最大者 当 趋近于0时 所有的小区间长度都趋近于0 在每个小区间内任取一点 i 作和式in 梳理 当 0时 如果和式的极限存在 我们把和式in的极限叫做函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 2 定积分的定义式 3 定积分的相关名称 被积函数 被积式 积分下限 积分上限 4 定积分的基本性质 题型探究 例1求直线x 0 x 2 y 0与曲线y x2 1所围成的曲边梯形的面积 参考公式12 22 n2 n n 1 2n 1 解答 类型一求曲边梯形的面积 解令f x x2 1 1 分割将区间 0 2 n等分 分点依次为 2 近似代替 求和 3 取极限 求曲边梯形的面积 1 思想 以直代曲 2 步骤 分割 近似代替 求和 取极限 3 关键 近似代替 4 结果 分割越细 面积越精确 5 求和时可用到一些常见的求和公式 如 反思与感悟 跟踪训练1求由抛物线y x2与直线y 4所围成的曲边梯形的面积 解答 解 y x2为偶函数 图象关于y轴对称 所求曲边梯形的面积应为抛物线y x2 x 0 与直线x 0 y 4所围图形面积s阴影的2倍 下面求s阴影 得交点为 2 4 如图所示 先求由直线x 0 x 2 y 0和曲线y x2围成的曲边梯形的面积 1 分割将区间 0 2 n等分 2 近似代替 求和 3 取极限 类型二利用定积分表示曲边梯形的面积 解答 例2利用定积分表示由直线y x 2 曲线x y2围成的平面区域的面积s 解曲线所围成的平面区域如图所示 1 定积分的几何意义 当函数f x 在区间 a b 上恒为正时 定积分 f x dx的几何意义是以曲线f x 为曲边的曲边梯形的面积 一般情况下 如图 定积分 f x dx的几何意义是介于x轴 函数f x 的图象以及直线x a x b之间各部分面积的代数和 在x轴上方的面积取正号 在x轴下方的面积取负号 反思与感悟 2 利用定积分表示曲线围成的面积时 关键是弄清定积分的几何意义 特别注意符号问题 定积分的值可正可负可为零 而面积是正值 跟踪训练2利用定积分表示下图中阴影部分的面积 答案 则 1 2 类型三利用定积分的几何意义求定积分 例3说明下列定积分所表示的意义 并根据其意义求出定积分的值 解答 解答 解答 引申探究 解答 解答 解答 利用定积分所表示的几何意义求 f x dx的值的关键是确定由曲线y f x 直线x a 直线x b及x轴所围成的平面图形的形状 常见形状是三角形 直角梯形 矩形 圆等可求面积的平面图形 反思与感悟 跟踪训练3用定积分的几何意义求 解答 2 解答 解如图2 由于a的面积等于b的面积 从而 0 解答 解令f x x 1 x 1 4 作出f x 在区间 3 3 上的图象 如图3所示 易知定积分 f x dx表示的就是图中阴影部分的面积的代数和 阴影部分的面积s1 s3 1 s2 6 x 1 x 1 4 dx 1 1 6 4 当堂训练 1 下列结论中成立的个数是 答案 2 3 4 5 1 解析 a 0b 1c 2d 3 解析 成立 2 关于定积分a 2 dx的叙述正确的是a 被积函数为y 2 a 6b 被积函数为y 2 a 6c 被积函数为y 2 a 6d 被积函数为y 2 a 6 答案 2 3 4 5 1 解析 解析由定积分的概念可知 由定积分的几何意义知 2 dx等于由直线x 1 x 2 y 0 y 2所围成的图形的面积的相反数 2 3 4 5 1 3 求由曲线y x2与直线x 1 x 2 y 0所围成的平面图形面积时 把区间5等分 则面积的近似值 取每个小区间的左端点 是 答案 解析 1 02 4 2 x 2 dx 2 3 4 5 1 解析 答案 5 5 计算 解答