对流体力学欧拉运动方程式的修正

第第 9 9 节节 对流体力学欧拉运动方程式的修正 探讨 对流体力学欧拉运动方程式的修正 探讨 内容提要 本文是探讨性的论文 观念正确如否有待学界审视及实践的检验 流体力学的 欧拉运动方程式有修正的必要吗 首先 欧拉运动方程式是在 场论 只具有散度和旋度 的数学基础为背景的产物 其次 人们注意到 航天器在飞行运动中存在一未知的莫铭的 力 这个莫铭的力应该是欧拉方程尚未虑及的因素造成的 作者在研究 超变函数论 过 程中揭示了在三维向量场中除了散度 旋度外尚存在一个为目前所未知的副冲量度 见文 献 3 我们所提出的修正意见就是从这里切入的 即在考虑存在副冲量度这一因素后 欧拉运动方程式应该发生怎样的变化 关键词 理想流体 时变加速度 位变加速度 欧拉运动方程式 副冲量度 冲量力 压扁 的四维空间 分类号 一一 现在的欧拉运动方程式现在的欧拉运动方程式 见文献 4 第 77 页 在理想流体场中取出一微小六面体流体微团 微团中心的压力为 速度为 xyz 微团所受的力有表面力 压力 和体积力 质量力 六面体各面所受的表面力如下图所示 体积力为 设单位质量的的体积力为 则在轴方向微团所受的力为 xyz F F FX X Y Y Z Zx 22 dxdx Xdxdydzdydzdydz xx Xdxdydz x 在轴方向微团产生加速度的运动力为x x d dxdydz dt 注 其中 总加速度 y xxxz y xxz xyz dxyz dttxtytzt txyz 该式右侧第一项称为时变加速度 第二 三 四项总称为位变加速度 根据牛顿第二运动定律 二者应相等 即 x dp Xdxdydzdxdydz xdt 同理可推导轴方向力的平衡 于是得到下式yz 1 1 1 x y z dp X xdt d p Y ydt dp Z zdt 1 用向量表示 则为 1 s D gradp Dt 2 其中 s i j kXYZ 这就是理想流体的运动方程式 又称欧拉运动方程式 二二 副冲量度的概念副冲量度的概念 本文将用三维向量场的副冲量度来重新审视欧拉运动方程式 因而 在此简要介绍副冲 量度的概念 现考查流速场的积分 P x y zQ x y zR x y zPQR Aij k i j k A A dv 为副法线方向的单位向量 与切线方向的单位向量与法线 方向单位向量的关系是以右手法则 按附图 确定的 n 为空间曲线L某点处的切线方向的单位向量 是张在曲线L 上的光滑的有向曲面 的外侧法线单位向量为 令n 1 n 但因与不一定垂直 所以不是单位向量 故取 n 1 11 11 n 1 从而使为副法线方向的单位向量 我们首先来说明上面所给积分的物理意义 当表空间的流速场时 设流体密度 则体元 代表体元 MA A1 dVdm dm 中的流体质量元 dV 现设是空间的一个任意分割 则就表示质量为 1 2 i V in iii MV A 的流体在方向的冲量 记为 ii Vm i iiii HMV A 1 2 in 总冲量 1 n i i HH 若该极限存在 则记为 0 1 lim i n i V i HH 于是可知 对流速场而言 表中的流体在副法线方向上的冲量 A dv 定理定理 设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成 又设 L 为分段光滑的空间 区域的界面上的一条闭曲线 L 的正向与的侧符合右手法则 其中 P x y z 在包含曲面在内的空间区域内具有一阶连续偏导数 则对 Q x y z R x y z 内的向量场有 3 式 A i j kPQR cos cos cos A A R dvQPRPRQPQ yZzx PRQRd xy 3 其中 四维空间的 体元 d 在 yoz 平面上的投影cos d d 在 zox 平面上的投影cos d d 在 xoy 平面上的投影cos d d 并且 1 1 1 cos 2 cos 2 cos 2 dydz dV d KdL dzdx dV d KdL dxdy dV d KdL 记 则 1 A cosAdVQPRP yz cosRQPQ zx cosPRQRd xy 注 1 以上定理的证明可查 文献 3 但请注意 4 式是 文献 3 相应公式的修正 经简单推导 可得 4 1 222 2 1 222 2 1 222 2 cos cos cos dydz dydzdxdzdxdy dxdz dydzdxdzdxdy dxdy dydzdxdzdxdy 由此得到一个单位向量 并且可以看出的方向余弦与 0 coscoscosij k 0 上述行文中的 与 K 无关 1 注 2 定理又给出一类四维空间定理又给出一类四维空间 其微元其微元 1 222 2 1 2 dydzdxdzdxdy dV d KdL 它与与 K 有关 1 注 3 定理左端的积分域 应视为四维空间域的 界面 因此 下面的积分 AdV 应在积分号上加上个扁圆圈 对 3 式右端使用积分中值定理 可得冲量密度的极限 lim cos cos M H QPRPRQPQ yzzx 其中 为内任一点 表的容积 上式表明 在给定点处 的方向指示冲量密度最大的方向 于是有R 定义 若向量场中的一点 M 处存在这样的向量 R 向量场 A 在点PQR Aijk M 处的冲量密度为最大 则称向量 R 为向量场 A 在点 M 处的副冲量度 记作 RA i j vdbiQPPRRQQP yzzx 5 PRRQ xy k 且定理 3 的另一形式为 0 AA dVvdbid 于是 对三维空间向量场 不单存在着散度 旋度 尚存在一个副冲量度 AdivArotAvdbi 注 4 上述定理最后归结为一个四重积分 其积分域是压扁了的四维空间其积分域是压扁了的四维空间 因而 我们所说的 的冲量密度是四维密度 无论如何 我们只能实测到三维密度 这就涉及到一个非常的概念 三维密度的实测现实 逼迫我们将 式左端降低一维 这就相当于使右端带有量纲 L 从而知 副冲量度是带有量纲 L 的 Avdbi 一 一 对欧拉运动方程式的修改对欧拉运动方程式的修改 为了与所录文献的符号相统一 现将 5 式记为 R i j yxxzzyyx vdbi yzzx 其中 流速场 z ij k xy 注意到副冲量度是带有量纲 L 的 故可知 在量纲上在量纲上的三个分量皆表速度 Avdbivdbi L T 据此 上面图示的微团在轴方向又将产生一个附加的加速度的运动力 x 6 yxxz d dxdydz dtyz 我们称其为冲量力我们称其为冲量力 根据牛顿第二运动定律 二者应相等 即 x yxxz dp Xdxdydzdxdydz xdt d dxdydz dtyz x yxxz dpd Xdxdydzdxdydzdxdydz xdtdtyz 于是 1 式应修改为 k xzzy xy 7 1 1 1 x yxxz y zyyx z xzzy dpd X xdtdtyz d pd Y ydtdtzx dpd Z zdtdtxy 用向量表示 则为 8 1 s DD gradpvdbi DtDt 其中 s i j kXYZ 8 式右端第二项与第一项一样 也包括时变加速度和位变加速度这两类加速度 这就是修改后的理想流体欧拉运动方程式 参考文献 1 于涤尘 超变函数论探讨 Int J Appl Math Stat Vol 13 No S08 September 2008 95 113 ISSN 0973 1377 Print ISSN 0973 7545 Online Copyright 2008 by IJAM