2017_18学年高中数学1.1变化率与导数学案.docx

1.1 变化率与导数第1课时变化率问题、导数的概念核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P2P6的内容，回答下列问题(1)气球膨胀率气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)r3，如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V).当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是多少？提示：0.62(dm/L)当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球的平均膨胀率是多少？提示：0.16(dm/L)当空气容量从V1 增加到V2时，气球的平均膨胀率又是多少？提示：(2)高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10.在0t0.5这段时间里，运动员的平均速度v是多少？提示：v4.05(m/s)在1t2这段时间里，运动员的平均速度v是多少？提示：v8.2(m/s)在t1tt2这段时间里， 运动员的平均速度 v又是多少？提示：v2归纳总结，核心必记(1)函数的平均变化率对于函数yf(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子称为函数yf(x)从x1到x2的平均变化率习惯上用x表示x2x1，即xx2x1，可把x看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1x代替x2；类似地，yf(x2)f(x1)于是，平均变化率可表示为(2)瞬时速度物体在某一时刻的速度称为瞬时速度若物体运动的路程与时间的关系式是sf(t)，当t趋近于0时，函数f(t)在t0到t0t之间的平均变化率趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度(3)导数的定义一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)=问题思考(1)设A(x1，f(x1)，B (x2，f(x2)是曲线yf(x)上任意不同的两点，则函数yf(x)的平均变化率表示什么？提示：表示割线AB的斜率(2)x，y的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？提示：x，y可正可负，y也可以为零，但x不能为0.平均变化率可正、可负、可为零(3)在高台跳水中，如何求在1，1t这段时间内的平均速度v？当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？提示：当t趋近于0时，平均速度v即为t1时的瞬时速度(4)平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？提示：区别：平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；联系：当x趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值课前反思(1)平均变化率的定义是：；(2)什么是函数的瞬时变化率？它与平均变化率有什么区别和联系？；(3)导数的定义是什么？如何表示？；(4)平均速度与瞬时速度的定义是什么？它们有什么区别和联系？.思考1平均变化率可用式子表示，其中y、x的意义是什么？提示：y、x分别表示函数值和自变量的变化量思考2如何求函数yf(x)在区间x1，x2上的平均变化率？提示：平均变化率为讲一讲1已知函数f(x)3x25，求f(x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间x0，x0x上的平均变化率尝试解答(1)因为f(x)3x25，所以从0.1到0.2的平均变化率为0.9.(2)f(x0x)f(x0)3(x0x)25(3x5)3x6x0x3(x)253x56x0x3(x)2.函数f(x)在区间x0，x0x上的平均变化率为6x03x.(1)求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的变化量xx2x1.第二步，求函数值的变化量yf(x2)f(x1)第三步，求平均变化率.(2)求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用的形式练一练1已知函数f(x)x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为； 自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为.因为0，故t03，所以物体在3 s时的瞬时速度为27 m/s.题组3利用定义求函数在某一点处的导数7设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则()Af(x)a Bf(x)bCf(x0)a Df(x0)b8设函数f(x)ax3，若f(1)3，则a等于()A2 B2 C3 D39求函数f(x)在x1处的导数f(1) 能力提升综合练A与x0，h都有关B仅与x0有关，而与h无关C仅与h有关，而与x0无关D以上答案都不对解析：选B由导数的定义知，函数在xx0处的导数只与x0有关2函数yx2在x0到x0x之间的平均变化率为k1，在x0x到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为()Ak1k2 Bk1kB，在C处的切线斜率小于零，所以f(x1)f(x2)f(x3)(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？提示：不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点(4)f(x0)与f(x)有什么区别？提示：f(x0)是一个确定的数，而f(x)是一个函数课前反思(1)导数的几何意义是：；(2)导数的概念是：；(3)如何求函数f(x)在xx0处的切线方程？思考1直线的点斜式方程是什么？提示：yy0k(xx0)思考2如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程？名师指津：根据导数的几何意义，求出函数yf(x)在点(x0，f(x0)处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程思考3曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？名师指津：曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线，点(x0，f(x0)一定是切点，只要求出kf(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点讲一讲1已知曲线yx2，(1)求曲线在点P(1，1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3，5)的切线方程尝试解答(1)设切点为(x0，y0)，曲线在点P(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)点P(3，5)不在曲线yx2上，设切点为A(x0，y0)，由(1)知，yxx02x0，切线方程为yy02x0(xx0)，由P(3，5)在所求直线上得5y02x0(3x0)，再由A(x0，y0)在曲线yx2上得y0x，联立，得x01或x05.从而切点为(1，1)时，切线的斜率为k12x02，此时切线方程为y12(x1)，即y2x1，当切点为(5，25)时，切线的斜率为k22x010，此时切线方程为y2510(x5)，即y10x25.综上所述，过点P(3，5)且与曲线yx2相切的直线方程为y2x1或y10x25.利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数yf(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程yy0f(x0)(xx0)(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程练一练1已知曲线C：yx3.(1)求曲线C在x1处的切线方程；(2)求第(1)问中的切线与曲线C的公共点解：(1)3x23xx(x)2，又x1时，y1，切线方程为y13(x1)，即3xy20.(2)由得x33x20，即x3x2x20，(x1)2(x2)0.解得x1或x2，切线与曲线C的公共点为(1，1)和(2，8)思考如何处理切点问题？名师指津：切点问题的处理方法：(1)借斜率先求横坐标：由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标(2)与几何知识相联系：解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，两直线平行或垂直与斜率的关系等讲一讲2若曲线yx33x21在点P处的切线平行于直线y9x1，求P点坐标及切线方程尝试解答设P点坐标为(x0，y0)，(x)23x0x3x3x6x0.3x6x0，于是3x6x09，解得x03或x01，因此，点P的坐标为(3，1)或(1，3)又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y9(x3)1或y9(x1)3，即y9x26或y9x6.根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)；(2)求导函数f(x)；(3)求切线的斜率f(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标练一练2已知曲线y2x2a在点P处的切线方程为8xy150，求切点P的坐标及a的值解：设切点P(x0，y0)，4x，得kyxx04x0.根据题意4x08，x02，代入8xy150得y01.故所求切点为P(2，1)，a2xy07.讲一讲3(1)若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是下图中的()(2)已知函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象如图，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()尝试解答(1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A.(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出yf(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.答案(1)A(2)D导数与函数图象升降的关系若函数yf(x)在xx0处的导数存在且f(x0)0(即切线的斜率大于零)，则函数yf(x)在xx0附近的图象是上升的；若f(x0)0 Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在解析：选B根据导数的几何意义，f(x)在x0处的导数即f(x)在x0处切线的斜率，故f(x0)0.8如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数yf(x)的图象是()解析：选D不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量x，那么弦AB与弧AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量x，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢由上可知函数yf(x)图象的上升趋势应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确9已知函数yf(x)的图象如图所示， 则函数yf(x)的图象可能是_(填序号)解析：由yf(x)的图象及导数的几何意义可知，当x0，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0，故符合答案：能力提升综合练1设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线()A不存在 B与x轴平行或重合C与x轴垂直 D与x轴相交但不垂直答案：B2曲线y在点P(2，1)处的切线的倾斜角为()A. B. C. D.解析：选Dy1，斜率为1，倾斜角为.3曲线yx32x1在点(1，0)处的切线方程为()Ayx1 Byx1Cy2x2 Dy2x2解析：选A由y(1x)32(1x)1(121)(x)33(x)2x所以在点(1，0)处的切线的斜率k1，切线过点(1，0)，根据直线的点斜式可得切线方程为yx1.4设P0为曲线f(x)x3x2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y4x1，则P0点的坐标为()A(1，0) B(2，8)C(1，0)或(1，4) D(2，8)或(1，4)由于曲线f(x)x3x2在P0处的切线平行于直线y4x1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f(x0)3x14，解得x01，P0的坐标为(1，0)或(1，4)5.已知二次函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)在A、B两点处的导数f(a)与f(b)的大小关系为：f(a)_f(b)(填“”)解析：f(a)与f(b)分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，故f(a)f(b)答案：6.如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是y2x9，P点的横坐标是4，则f(4)f(4)_解析：由题意，f(4)2.f(4)2491.因此，f(4)f(4)211.答案：17甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图，试问：(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？解：(1)图中乙的切线斜率比甲的切线斜率大，故乙跑得快；(2)图中在快到终点时乙的瞬时速度大，故快到终点时，乙跑得快8“菊花”烟花是最壮观的烟花之