2016-2017学年广东省实验中学高一(上)期末数学试卷

最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 1 页 共 23 页 2016 2017 学年广东省实验中学高一 上 期末数学试卷学年广东省实验中学高一 上 期末数学试卷 一 选择题 本大题一 选择题 本大题 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 60 分 在每小题给出的四个分 在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的选项中 只有一项是符合题目要求的 1 5 分 函数 f x log 2x 1 的定义域是 A B 1 1 C D 1 1 2 5 分 直线 x 2ay 1 0 与 a 1 x ay 1 0 平行 则 a 的值为 A B 或 0C 0D 2 或 0 3 5 分 设 f x 是定义在 R 上单调递减的奇函数 若 x1 x2 0 x2 x3 0 x3 x1 0 则 A f x1 f x2 f x3 0 B f x1 f x2 f x3 0 C f x1 f x2 f x3 0D f x1 f x2 f x3 4 5 分 如图 一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方 形 则原平面图形的面积为 A a2B a2C 2a2D 2a2 5 5 分 设 为三个不同的平面 m n 是两条不同的直线 在命题 m n 且 则 m n 中的横线处填入下列三组条件中的一组 使该命题为真命题 n m n n m 可以填入的条件有 A 或 B 或 C 或 D 或 或 6 5 分 已知一空间几何体的三视图如题图所示 其中正视图与左视图都是 全等的等腰梯形 则该几何体的体积为 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 2 页 共 23 页 A 17B C D 18 7 5 分 如图 在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 P 为 A1D1的中点 Q 为 A1B1上任意一点 E F 为 CD 上两点 且 EF 的长为定值 则下面四个值中不 是定值的是 A 点 P 到平面 QEF 的距离 B 直线 PQ 与平面 PEF 所成的角 C 三棱锥 P QEF 的体积D QEF 的面积 8 5 分 如图 在三棱锥 P ABC 中 APB BPC APC 90 O 在 ABC 内 OPC 45 OPA 60 则 OPB 的余弦值为 A B C D 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 3 页 共 23 页 9 5 分 已知函数 2 则关于 x 的 不等式 f 3x 1 f x 4 的解集为 A B C D 10 5 分 当 0 x 时 4x logax 则 a 的取值范围是 A 0 B 1 C 1 D 2 11 5 分 已知函数 f x x2 ex x 0 与 g x x2 ln x a 图象上存 在关于 y 轴对称的点 则 a 的取值范围是 A B C D 12 5 分 若 x1满足 2x 2x 5 x2满足 2x 2log2 x 1 5 x1 x2 A B 3C D 4 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分分 13 5 分 已知函数 f x a 0 若 x1 x2 1 则 f x1 f x2 并求出 14 5 分 如图所示几何体的三视图 则该几何体的表面积为 15 5 分 点 M x1 y1 在函数 y 2x 8 的图象上 当 x1 2 5 时 则 的取值范围 16 5 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 4 页 共 23 页 AD PD BC 1 PC 2 PD CD 2 则二面角 A PB C 的正切值为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演分 解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤算步骤 17 12 分 过点 3 2 的直线 l 与 x 轴的正半轴 y 轴的正半轴分别交于 A B 两点 当 AOB 的面积最小时 求直线 l 的方程及 AOB 面积 18 12 分 已知一四棱锥 P ABCD 的三视图如图所示 E 是侧棱 PC 上的动点 求四棱锥 P ABCD 的体积 若点 E 为 PC 的中点 AC BD O 求证 EO 平面 PAD 是否不论点 E 在何位置 都有 BD AE 证明你的结论 19 10 分 设直线 l 的方程为 a 1 x y 2 a 0 a R 1 若 l 在两坐标轴上的截距相等 求 l 的方程 2 若 l 不经过第二象限 求实数 a 的取值范围 20 12 分 如图 在棱长为 1 的正方体中 P 是侧棱 CC1上的一点 CP m 1 试确定 m 使直线 AP 与平面 BDD1B1所成角的正切值为 2 在线段 A1C1上是否存在一个定点 Q 使得对任意的 m D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP 并证明你的结论 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 5 页 共 23 页 21 12 分 已知平行四边形 ABCD 如图 1 AB 4 AD 2 DAB 60 E 为 AB 的中点 把三角形 ADE 沿 DE 折起至 A1DE 位置 使得 A1C 4 F 是线段 A1C 的中点 如图 2 1 求证 BF 面 A1DE 2 求证 面 A1DE 面 DEBC 3 求二面角 A1 DC E 的正切值 22 12 分 已知函数 g x ax2 2ax 1 b a 0 b 1 在区间 2 3 上有 最大值 4 最小值 1 设 f x 1 求 a b 的值 2 不等式 f 2x k 2x 0 在 x 1 1 上恒成立 求实数 k 的取值范围 3 方程 f 2x 1 k 3 有三个不同的实数解 求实数 k 的取值 范围 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 6 页 共 23 页 2016 2017 学年广东省实验中学高一 上 期末数学试学年广东省实验中学高一 上 期末数学试 卷卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题一 选择题 本大题 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 60 分 在每小题给出的四个分 在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的选项中 只有一项是符合题目要求的 1 5 分 函数 f x log 2x 1 的定义域是 A B 1 1 C D 1 1 解答 解 由 解得 x 且 x 1 函数 f x log 2x 1 的定义域是 1 1 故选 B 2 5 分 直线 x 2ay 1 0 与 a 1 x ay 1 0 平行 则 a 的值为 A B 或 0C 0D 2 或 0 解答 解 当 a 0 时 两直线重合 当 a 0 时 由 解得 a 综合可得 a 故选 A 3 5 分 设 f x 是定义在 R 上单调递减的奇函数 若 x1 x2 0 x2 x3 0 x3 x1 0 则 A f x1 f x2 f x3 0 B f x1 f x2 f x3 0 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 7 页 共 23 页 C f x1 f x2 f x3 0D f x1 f x2 f x3 解答 解 x1 x2 0 x2 x3 0 x3 x1 0 x1 x2 x2 x3 x3 x1 又 f x 是定义在 R 上单调递减的奇函数 f x1 f x2 f x2 f x2 f x3 f x3 f x3 f x1 f x1 f x1 f x2 0 f x2 f x3 0 f x3 f x1 0 三式相加整理得 f x1 f x2 f x3 0 故选 B 4 5 分 如图 一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方 形 则原平面图形的面积为 A a2B a2C 2a2D 2a2 解答 解 由斜二测画法的规则知与 x 轴平行的线段其长度不变以及与横轴 平行的性质不变 正方形对角线在 y 轴上 可求得其长度为a 故在平面图中其在 y 轴上 且其长度变为原来的 2 倍 长度为 2a 原平面图形的面积为 故选 C 5 5 分 设 为三个不同的平面 m n 是两条不同的直线 在命题 m n 且 则 m n 中的横线处填入下列三组条件中的一组 使该命题为真命题 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 8 页 共 23 页 n m n n m 可以填入的条件有 A 或 B 或 C 或 D 或 或 解答 解 由面面平行的性质定理可知 正确 当 n m 时 n 和 m 在同一平面内 且没有公共点 所以平行 正 确 故选 A 6 5 分 已知一空间几何体的三视图如题图所示 其中正视图与左视图都是 全等的等腰梯形 则该几何体的体积为 A 17B C D 18 解答 解 由已知中的三视图 可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥 所得的几何体 棱台的上下底面的棱长为 2 和 4 故棱台的上下底面的面积为 4 和 16 侧高为 故棱台的高 h 2 故棱台的体积为 棱锥的底面是棱台上底面的一半 故底面面积为 2 高为 2 故棱锥的体积为 2 2 故组合体的体积 V 故选 B 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 9 页 共 23 页 7 5 分 如图 在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 P 为 A1D1的中点 Q 为 A1B1上任意一点 E F 为 CD 上两点 且 EF 的长为定值 则下面四个值中不 是定值的是 A 点 P 到平面 QEF 的距离 B 直线 PQ 与平面 PEF 所成的角 C 三棱锥 P QEF 的体积D QEF 的面积 解答 解 A 平面 QEF 即为对角面 A1B1CD 点 P 为 A1D1的中点 点 P 到平面 QEF 即到对角面 A1B1CD 的距离 为定值 D 点 Q 到直线 CD 的距离是定值a EF 为定值 QEF 的面积 为定值 C 由 A D 可知 三棱锥 P QEF 的体积为定值 B 直线 PQ 与平面 PEF 所成的角与点 Q 的位置有关系 因此不是定值 或用排 除法即可得出 综上可得 只有 B 中的值不是定值 故选 B 8 5 分 如图 在三棱锥 P ABC 中 APB BPC APC 90 O 在 ABC 内 OPC 45 OPA 60 则 OPB 的余弦值为 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 10 页 共 23 页 A B C D 解答 解 已知如图所示 过 O 做平面 PBA 的垂线 交平面 PBC 于 Q 连接 PQ 则 OPQ 90 45 45 cos OPA cos QPA cos OPQ cos QPA QPA 45 QPB 45 cos OPB cos OPQ cos QPB 故选 C 9 5 分 已知函数 2 则关于 x 的 不等式 f 3x 1 f x 4 的解集为 A B C D 解答 解 设 g x 2016x log2016 x 2016 x 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 11 页 共 23 页 g x 2016 x log2016 x 2016x g x g x 2016xln2016 2016 xln2016 0 g x 在 R 上单调递增 由 f 3x 1 f x 4 得 g 3x 1 2 g x 2 4 g 3x 1 g x 3x 1 x 解得 x 原不等式的解集为 故选 D 10 5 分 当 0 x 时 4x logax 则 a 的取值范围是 A 0 B 1 C 1 D 2 解答 解 0 x 时 1 4x 2 要使 4x logax 由对数函数的性质可得 0 a 1 数形结合可知只需 2 logax 即对 0 x 时恒成立 解得 a 1 故选 B 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 12 页 共 23 页 11 5 分 已知函数 f x x2 ex x 0 与 g x x2 ln x a 图象上存 在关于 y 轴对称的点 则 a 的取值范围是 A B C D 解答 解 由题意 存在 x 0 使 f x g x 0 即 ex ln x a 0 在 0 上有解 令 m x ex ln x a 则 m x ex ln x a 在其定义域上是增函数 且 x 时 m x 0 若 a 0 时 x a 时 m x 0 故 ex ln x a 0 在 0 上有解 若 a 0 时 则 ex ln x a 0 在 0 上有解可化为 e0 ln a 0 即 lna 故 0 a 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 13 页 共 23 页 综上所述 a 故选 C 12 5 分 若 x1满足 2x 2x 5 x2满足 2x 2log2 x 1 5 x1 x2 A B 3C D 4 解答 解 由题意 2x2 2log2 x2 1 5 所以 x1 log2 5 2x1 即 2x1 2log2 5 2x1 令 2x1 7 2t 代入上式得 7 2t 2log2 2t 2 2 2log2 t 1 5 2t 2log2 t 1 与 式比较得 t x2 于是 2x1 7 2x2 即 x1 x2 故选 C 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分分 13 5 分 已知函数 f x a 0 若 x1 x2 1 则 f x1 f x2 1 并求出 解答 解 函数 f x a 0 x1 x2 1 f x1 f x2 f x1 f 1 x1 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 14 页 共 23 页 1 1007 f 1007 故答案为 1 14 5 分 如图所示几何体的三视图 则该几何体的表面积为 16 2 解答 解 由已知中的三视图 可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱 锥 其直观图如下图所示 E 和 F 分别是 AB 和 CD 中点 作 EM AD 连接 PM 且 PD PC 由三视图得 PE 底面 ABCD AB 4 CD 2 PE EF 2 在直角三角形 PEF 中 PF 2 在直角三角形 DEF 中 DE 同理在直角梯形 ADEF 中 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 15 页 共 23 页 AD 根据 AED 的面积相等得 AD ME AE EF 解得 ME PE 底面 ABCD EM AD PM AD PE ME 在直角三角形 PME 中 PM 该四棱锥的表面积 S 4 2 2 4 2 2 2 2 16 2 故答案为 16 2 15 5 分 点 M x1 y1 在函数 y 2x 8 的图象上 当 x1 2 5 时 则 的取值范围 解答 解 当 x1 2 5 时 可得 A 2 4 B 5 2 设 P 1 1 则 kPA kPB 的取值范围是 16 5 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 AD PD BC 1 PC 2 PD CD 2 则二面角 A PB C 的正切值为 解答 解 以 D 为原点 DA 为 x 轴 DC 为 y 轴 过 D 作平面 ABCD 的垂直 线为 z 轴 建立空间直角坐标系 在 PDC 中 由于 PD CD 2 PC 2 可得 PCD 30 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 16 页 共 23 页 P 到平面 ABCD 的距离为 PCsin30 A 1 0 0 P 0 1 B 1 2 0 C 0 2 0 1 1 1 3 0 3 设平面 PAB 的法向量 x y z 则 取 z 1 得 设平面 PBC 的法向量 a b c 则 取 c 得 2 1 设二面角 A PB C 的平面角为 则 cos sin tan 二面角 A PB C 的正切值为 故答案为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演分 解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤算步骤 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 17 页 共 23 页 17 12 分 过点 3 2 的直线 l 与 x 轴的正半轴 y 轴的正半轴分别交于 A B 两点 当 AOB 的面积最小时 求直线 l 的方程及 AOB 面积 解答 解 设 A a 0 B 0 b 则直线 l 的方程为 1 把点 P 3 2 代入可得 1 a b 0 1 2 化为 ab 24 当且仅当 a 6 b 4 时取等号 S AOB ab 12 l 的方程为 1 即 4x 6y 24 0 18 12 分 已知一四棱锥 P ABCD 的三视图如图所示 E 是侧棱 PC 上的动点 求四棱锥 P ABCD 的体积 若点 E 为 PC 的中点 AC BD O 求证 EO 平面 PAD 是否不论点 E 在何位置 都有 BD AE 证明你的结论 解答 解 由该四棱锥的三视图可知 该四棱锥 P ABCD 的底面是边长 为 1 的正方形 侧棱 PC 底面 ABCD 且 PC 2 1 分 VP ABCD S ABCD PC 3 分 证明 E O 分别为 PC BD 中点 EO PA 4 分 又 EO 平面 PAD PA 平面 PAD 6 分 EO 平面 PAD 7 分 不论点 E 在何位置 都有 BD AE 8 分 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 18 页 共 23 页 证明如下 ABCD 是正方形 BD AC 9 分 PC 底面 ABCD 且 BD 平面 ABCD BD PC 10 分 又 AC PC C BD 平面 PAC 11 分 不论点 E 在何位置 都有 AE 平面 PAC 不论点 E 在何位置 都有 BD AE 12 分 19 10 分 设直线 l 的方程为 a 1 x y 2 a 0 a R 1 若 l 在两坐标轴上的截距相等 求 l 的方程 2 若 l 不经过第二象限 求实数 a 的取值范围 解答 解 1 令 x 0 得 y a 2 令 y 0 得 a 1 l 在两坐标轴上的截距相等 解之 得 a 2 或 a 0 所求的直线 l 方程为 3x y 0 或 x y 2 0 2 直线 l 的方程可化为 y a 1 x a 2 l 不过第二象限 a 1 a 的取值范围为 1 20 12 分 如图 在棱长为 1 的正方体中 P 是侧棱 CC1上的一点 CP m 1 试确定 m 使直线 AP 与平面 BDD1B1所成角的正切值为 2 在线段 A1C1上是否存在一个定点 Q 使得对任意的 m D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP 并证明你的结论 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 19 页 共 23 页 解答 解 1 连 AC 设 AC 与 BD 相交于点 O AP 与平面 BDD1B1相交于 点 G 连接 OG 因为 PC 平面 BDD1B1 平面 BDD1B1 平面 APC OG 故 OG PC 所以 OG PC 又 AO BD AO BB1 所以 AO 平面 BDD1B1 故 AGO 是 AP 与平面 BDD1B1所成的角 在 Rt AOG 中 tan AGO 即 m 所以 当 m 时 直线 AP 与平面 BDD1B1所成的角的正切值为 4 2 可以推测 点 Q 应当是 AICI的中点 当是中点时 因为 D1O1 A1C1 且 D1O1 A1A A1C1 A1A A1 所以 D1O1 平面 ACC1A1 又 AP 平面 ACC1A1 故 D1O1 AP 那么根据三垂线定理知 D1O1在平面 APD1的射影与 AP 垂直 21 12 分 已知平行四边形 ABCD 如图 1 AB 4 AD 2 DAB 60 E 为 AB 的中点 把三角形 ADE 沿 DE 折起至 A1DE 位置 使得 A1C 4 F 是线段 A1C 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 20 页 共 23 页 的中点 如图 2 1 求证 BF 面 A1DE 2 求证 面 A1DE 面 DEBC 3 求二面角 A1 DC E 的正切值 解答 解 1 证明 如图 取 DA1的中点 G 连 FG GE F 为 A1C 中点 GF DC 且 四边形 BFGE 是平行四边形 BF EG EG 平面 A1DE BF 平面 A1DE BF 平面 A1DE 2 证明 如图 取 DE 的中点 H 连接 A1H CH 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 21 页 共 23 页 AB 4 AD 2 DAB 60 E 为 AB 的中点 DAE 为等边三角形 即折叠后 DA1E 也为等边三角形 A1