等差数列的通项公式上课

等差数列及其通项公式 一般地 如果一个数列a1 a2 a3 an 从第二项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数d a2 a1 a3 a2 an an 1 d那么这个数列就叫做等差数列 常数d叫做等差数列的公差 知识回顾 an 1 an d n N 通项公式的推导1 归纳猜想 设一个等差数列 an 的首项是a1 公差是d 则有 a2 a1 d a3 a2 d a4 a3 d 所以有 an a1 n 1 d当n 1时 上式也成立 所以等差数列的通项公式是 an a1 n 1 d n N 问an 通过观察 a2 a3 a4都可以用a1与d表示出来 a1与d的系数有什么特点 a1 an n d知三求一 a2 a1 d a3 a1 2d a4 a1 3d an a1 n 1 d a2 a1 d a3 a2 d a1 d d a1 2da4 a3 d a1 2d d a1 3d 叠加得 等差数列的通项公式推导2 叠加 例1 在等差数列 an 中 已知a3 10 a9 28 求a12 推广 等差数列 an 中 am an n m 等差数列的通项公式一般形式 an am n m d 解 由题意得 a1 2d 10a1 8d 28 所以a12 4 12 1 3 37 注 a12 a1 11d a1 2d 12 3 d a3 12 3 d a1 8d 12 9 d a9 12 9 d 解得 a1 4d 3 练一练 已知a5 11 a8 5 求等差数列 an 的通项公式 练习 1 填空题 1 已知等差数列3 7 11 则a11 2 已知等差数列11 6 1 则an 3 已知等差数列10 8 6 中 10是第 项 43 5n 16 11 练习 2 已知等差数列 an 的通项公式为an 2n 1 求首项a1和公差d 变式引申 如果一个数列 an 的通项公式an kn d 其中k b都是常数 那么这个数列一定是等差数列吗 语言描述这种现象 想一想 性质一 思考 1 若在a b中插入一个数A 使a A b成等差数列 那么A应该满足什么条件 2 在 1与9之间顺次插入a b c三个数 使这五个数成等差数列 求插入的三个数和等差数列的公差 在等差数列 中 为公差 若 且 求证 证明 设首项为 则 例4 等差数列的性质二 注意 上面的命题的逆命题是不一定成立的 上面的命题中的等式两边有相同数目的项 否则不成立 如a1 a2 a3成立吗 在等差数列 an 中 已知a4 a5 a6 a7 56 a4a7 187 求a14及公差d 解析 a4 a5 a6 a7 56 所以a4 a7 28 又a4a7 187 联立 解得 或 所以d 2或2 从而a14 3或31 例题分析 练习 在等差数列 an 中 1 已知a6 a9 a12 a15 20 求a1 a20 2 已知a3 a11 10 求a6 a7 a8 等差数列的单调性 由等差数列的定义知an 1 an d 当d 0时 an 1 an即 an 为递增数列 当d 0时 an 1 an即 an 为常数列 当d 0时 an 1 an即 an 为递减数列 2 四个数成递增等差数列 中间两个数和为2 首末两项的积为 8 求这四个数 练习 1 三个数成等差数列 和为6 积为 24 求这三个数 性质四 已知一个等差数列的首项为a1 公差为da1 a2 a3 an 1 将前m项去掉 其余各项组成的数列是等差数列吗 如果是 他的首项与公差分别是多少 am 1 am 2 an是等差数列首项为am 1 公差为d 项数为n m 性质四 已知一个等差数列的首项为a1 公差为da1 a2 a3 an 2 取出数列中的所有奇数项 组成一个数列 是等差数列吗 如果是 他的首项与公差分别是多少 a1 a3 a5 是等差数列首项为a1 公差为2d 取出的是所有偶数项呢 a2 a4 a6 是等差数列首项为a2 公差为2d 性质四 已知一个等差数列的首项为a1 公差为da1 a2 a3 an 3 取出数列中所有项是7的倍数的各项 组成一个数列 是等差数列吗 如果是 他的首项与公差分别是多少 a7 a14 a21 是等差数列首项为a7 公差为7d 取出的是所有k倍数的项呢 ak a2k a3k 是等差数列首项为ak 公差为kd 性质四 已知一个等差数列的首项为a1 公差为da1 a2 a3 an 4 数列a1 a2 a3 a4 a5 a6 是等差数列吗 公差是多少 a1 a2 a2 a3 a3 a4 是等差数列 公差为2d数列a1 a2 a3 a2 a3 a4 a3 a4 a5 是等差数列吗 公差是多少 a1 a2 a3 a2 a3 a4 a3 a4 a5 是等差数列 公差为3d 例 性质五 1 若数列 an 为等差数列 公差为d 则 kan 也为等差数列 公差为kd 2 若数列 an 与 bn 都为等差数列 则 an bn 也为等差数列 an bn 也为等差数列 pan qbn 也为等差数列 1 等差数列 an 的前三项依次为a 6 2a 5 3a 2 则a等于 A 1B 1C 2D 2 B 2 在数列 an 中a1 1 an an 1 4 则a10 2 2a 5 3a 2 a 6 提示1 提示 d an 1 an 4 35 3 在等差数列 an 中 1 若a59 70 a80 112 求a101 2 若ap q aq p p q 求ap q d 2 a101 154 d 1 ap q 0 课堂练习 4 例3 练习 已知 求的值 解 小结 掌握等差数列的通项公式 并能运用公式解决一些简单的问题 an a1 n 1 d 提高观察 归纳 猜想 推理等数学能力 am an ap aq 说明 3 更一般的情形 an d 1 an 为等差数列 2 a b c成等差数列 an 1 an d a