立体几何解题方法技巧-(1)

用心 爱心 专心1 专题六专题六 立体几何解题方法技巧立体几何解题方法技巧 一 内容提一 内容提要 要 立体几何需要我们去解决的问题概括起来就是三个方面 证明位置关系 求距离和求 角 具体内容见下表 二 主要解题方法 二 主要解题方法 一 位置关系 1 两条异面直线相互垂直 证明方法 证明两条异面直线所成角为 90 证明两条异面直线的方向量相互垂直 1 2 2 直线和平面相互平行 证明方法 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行 证明这条直线的方向量和 1 2 这个平面内的一个向量相互平行 证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂 3 直 3 直线和平面垂直 证明方法 证明直线和平面内两条相交直线都垂直 证明直线的方向量与这个平面 1 2 内不共线的两个向量都垂直 证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行 3 4 平面和平面相互垂直 证明方法 证明这两个平面所成二面角的平面角为 90 证明一个平面内的一条直线 1 2 垂直于另外一个平面 证明两个平面的法向量相互垂直 3 二 求距离 求距离的重点在点到平面的距离 直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点 到平面的距离 一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离 1 两条异面直线的距离 求法 如果知道两条异面直线的公垂线 那么就转化成求公垂线段的长度 线段长度的 1 求法也可以用向量来帮助解决 求线段 AB 的长度 可以利用 提 要 主 要 内 容重 点 内 容 位 置 关 系 两条异面直线相互垂直 直线与平面平行 直 线与平面斜交 直线与平面垂直 两个平面斜 交 两个平面相互垂直 两条异面直线相互垂直 直 线与平面平行 直线与平面 垂直 两个平面相互垂直 距 离 两条异面直线的距离 点到平面的距离 直线 到平面的距离 两个平面的距离 两条异面直线的距离 点到 平面的距离 立 体 几 何 角 度 两条异面直线所成的角 直线和平面所成的角 二面角 两条异面直线所成的角 直 线和平面所成的角 二面角 用心 爱心 专心2 来帮助解决 但是前提条件是我们要知道 2 2 NBMNAMAB 的模和每两个向量所成的角 利用公式 其中NBMNAM 2 n nAB d A B 分别为两条异面直线上的一点 为这两条异面直线的法向量 n 2 点到平面的距离 求法 一找二证三求 三步都必须要清楚地写出来 等体积法 向量法 利用公 1 2 3 式 其中 A 为已知点 B 为这个平面内的任意一点 这个平面的法向量 n nAB d n 三 求角 1 两条异面直线所成的角 求法 先通过其中一条直线或者两条直线的平移 找出这两条异面直线所成的角 然后 1 通过解三角形去求得 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得 但是注意到 2 异面直线所成角得范围是 向量所成的角范围是 如果求出的是钝角 2 0 0 要注意转化成相应的锐角 2 直线和平面所成的角 求法 一找二证三求 三步都必须要清楚地写出来 向量法 先求直线的方向量于 1 2 平面的法向量所成的角 那么所要求的角为或 22 3 平面与平面所成的角 求法 一找二证三求 找出这个二面角的平面角 然后再来证明我们找出来的这个角 1 是我们要求的二面角的平面角 最后就通过解三角形来求 通过射影面积来求 2 在其中一个平面内找出一个三角形 然后找这个三角形在另外一个平面 原 射影 S cos S 的射影 那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为 cos 注意到我们要求的 角为 或 向量法 先求两个平面的法向量所成的角为 那么这两个平面所 3 成的二面角的平面角为 或 我们现在来解决立体几何的有关问题的时候 注意到向量知识的应用 如果可以比较 容易建立坐标系 找出各点的坐标 那么剩下的问题基本上就可以解决了 如果建立坐标 系不好做的话 有时求距离 角的时候也可以用向量 运用向量不是很方便的时候 就用 传统的方法了 三 注意的问题 三 注意的问题 1 我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题 但是当运用向量不是很方便的时候 用心 爱心 专心3 传统的解法我们也要能够运用自如 2 我们如果是通过解三角形去求角 距离的时候 做到 一找二证三求 解题的过程中 一定要出现这样一句话 是我们所要求的角 线段 AB 的长度就是我们所要求 的距离 等等 让人看起来一目了然 3 用向量来求两条异面直线所成角时 若求出 cos x 则这两条异面直线所成的角为 arccos x 4 在求直线与平面所成的角的时候 法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直线的方 向量所成角的补交与我们所要求的角互余 所以要或 若求出的角为锐 22 角 就用 若求出的钝角 就用 22 5 求平面与平面所成角的时 若用第 种方法 先要去判断这个二面角的平面角是钝 2 3 角还是锐角 然后再根据我们所作出的判断去取舍 专题训练专题训练 1 已知三棱锥 P ABC 中 PB 底面 ABC 90BCA PB BC CA a E 是 PC 的中点 点 F 在 PA 上 且 3PF FA 1 求证 平面 PAC PBC 2 求平面 BEF 与底面 ABC 所成角 用一个反三角函数值表示 2 如图 四棱锥 P ABCD 的底面是正方形 PA 底面 ABCD PA AD 2 点 M N 分别在棱 PD PC 上 且 PC 平面 AMN 1 求证 AM PD 2 求二面角 P AM N 的大小 3 求直线 CD 与平面 AMN 所成角的大小 用心 爱心 专心4 3 如图 平面 ABCD 平面 ABEF ABCD 是正方形 ABEF 是矩形 且G 是 2 1 aADAF EF 的中点 1 求证平面 AGC 平面 BGC 2 求 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值 3 求二面角 B AC G 的大小 4 如图 在正方体中 是棱的中点 为平面 1111 DCBAABCD E 11D AHEDB 内一点 0 2 2 1 mmmmHC 1 证明平面 1 HCEDB 2 求与平面所成的角 1 BCEDB 3 若正方体的棱长为 求三棱锥的体积 aEDBA 用心 爱心 专心5 在 在aHOBCMRt 10 5 中aEHEHORt 2 1 中 5tan HO EH EOH 即平面 BEF 与底面 ABC 所成二面角的大小为 5arctan 若利用面积射影法 指出 HDB 是 EFB 在底面 ABC 上的射影 并计算出其面积 7 分 计算出 2 16 1 aS 射影 2 16 6 aS EFB 6 1 cos EFB S S射影 即平面 BEF 与底面 ABC 所成二面角的大小为 6 6 arccos 2 1 证明 ABCD 是正方形 CD AD PA 底面 ABCD PA CD CD 平面 PAD AM平面 PAD CD AM PC 平面 AMN PC AM AM 平面 PCD AM PD 2 解 AM 平面 PCD 已证 AM PM AM NM 用心 爱心 专心6 PMN 为二面角 P AM N 的平面角 PN 平面 AMN PN NM 在直角 PCD 中 CD 2 PD 2 PC 2 23 PA AD AM PD M 为 PD 的中点 PM PD 2 1 2 由 Rt PMN Rt PCD 得 PC PMCD MN 3 3 arccos 3 3 32 2 cos PMN PC CD PM MN PMN 即二面角 P AM N 的大小为 3 3 arccos 3 1 证明 正方形 ABCD 面 ABCD 面 ABEF 且交于 AB ABCB CB 面 ABEF AG GB面 ABEF CB AG CB BG 又 AD 2a AF a ABEF 是矩形 G 是 EF 的中点 AG BG AB 2a AB2 AG2 BG2 AG BG CG BG B AG 平面 CBG 而 AGa2 面 AGC 故平面 AGC 平面 BGC 2 解 如图 由 知面 AGC 面 BGC 且交于 GC 在平面 BGC 内作 BH GC 垂 足为 H 则 BH 平面 AGC BGH 是 GB 与平面 AGC 所成的角 在 Rt CBG 中 又 BG a BGBC BGBC CG BGBC BH 3 32 22