数理方程4-5张手强201221050203

习题习题 4 14 1 1 2 1 2 x 5 0 0 2 t tt xxtt uu uau 解 由题意可知 根据达朗贝尔公式可得 xt d a a atxatxtxu atx atx atx atx 5 2 1 5 d 2 1 2 1 6 1 2 00 2 5xuu euau ttt x xxtt 解 令 txWtxVtxu 将其带入方程并化简得 及 2 0 2 0 5 ttxx t t t Va V V Vx 2 0 0 0 0 x ttxx t t t Wa We W W 对于的定解问题 直接利用达朗贝尔公式 txV 2 22 3 11 22 11 55 22 1 5 3 x at x at x at x at V x txatxatd a d a x ta t 对于的定解问题 利用齐次化原理并令得 txW tt x t t t xxt t ew w waw 0 1 1 121 0 利用达朗贝尔公式以及齐次化原理可得 0 0 2 1 2 1 2 1 2 2 tx a t x a t t x a tx a t x atx atx W x te dd a eed a eee a 所以 原定解问题的解为 22 3 2 11 52 32 x atx atx u x tV x tW x t x ta teee a 2 0 sin 00 2 ttt t xxtt uxu xeuau 解 令 txWtxVtxu 将其带入方程并化简得 及 0 sin 00 2 ttt xxtt VxV VaV 0 0 00 2 ttt t xxtt WW xeWaW 对于的定解问题 直接利用达朗贝尔公式 txV datxatxtxV atx atx 2 1 2 1 atxcossin 对于的定解问题 利用齐次化原理并令得 txW tt xew w waw t t t xxt t 0 1 1 121 0 利用达朗贝尔公式可得 datxatxtxw atx atx 2 1 2 1 1 则 1 0 1 texdwtxw t t 所以 原定解问题的解为 txWtxVtxu 1 cossin texatx t 7 7 求解下列定解问题求解下列定解问题 0 02 00 22 xuxu txuauuu ttt xxttt 解 令 代入原方程得 0 txvetxu t 0 2 2 222 vvvav txxtt 取 可得 0 0 00 2 xxvxv txvav ttt xxtt 由达朗贝尔公式得 atx atx d a atxatxtxv 2 1 2 1 所以 原定解问题的解为 atx atx tt d ae atxatx e txu 2 1 2 1 习题 4 2 1 0 cos sin 0 0 000 2 xttt xxtt uxuxu txuau 解 利用行波法求解 求出的通解为 xxtt uau 2 21 atxfatxftxu 代入初始条件得 xxafxaf xxfxf cos sin 2 1 21 对方程从 0 到 t 积分可得 0 0 sin 1 2121 ffx a xfxf 由此可得 0 0 2 1 sin 1 sin 2 1 211 ffx a xxf 0 0 2 1 sin 1 sin 2 1 212 ffx a xxf 将通解代入边界条件可得 21 atfatf 当时 0 atx atx a atx atxfatxftxu sincos 1 cossin 21 当时 0 atx atx a atx atxfatxftxu cossin 1 cossin 11 综上可得 0 cossin 1 cossin 0 sincos 1 cossin atxatc a atx atxatx a atx txu 2 2 00 0 0 0 0 0 ttxx t tt x x ua uxt uu uh t 解 的通解为 xxtt uau 2 21 atxfatxftxu 扩展到无界域为 0 00 2 xuxu txuau ttt xxtt 利用达朗贝尔公式得 datxatxtxu atx atx 2 1 2 1 利用边界条件得 2 1 2 1 atat a atatth 令 0 2 1 atat 得 2 1 atat a th 为偶函数 x 0 2 0 0 x a x ah x x 利用达朗贝尔公式可得 0 0 0 2 1 2 1 0 atxdha atx datxatxtxu t a x atx atx 4 4 均匀气体的初始振动区域是一个半径为均匀气体的初始振动区域是一个半径为 R R 的球 所有气体质点的球 所有气体质点 的的初始速度都是零 而初始浓度在球内是常数 在球外是零 0 u 求在任意时刻 M 点处的浓度 这里 M 是初始扰动范围处的一点 解 定解问题为 0 0 0 0 0 0 22 tt t tt u Rr Rru u uau 由问题的球对称性 化三维问题为一维问题 因为 2 2 2 2 2 12 r ru rr u rr u u 令 代入定解问题 得 ruv 解之得 0 2 rrtt vav 21 atrfatrftrv 那么 1 21 atrfatrf r tru 下面求解球函数 将代入初始条件中 可得 21 f f tru 20 1 1 0 1 210 0 210 r f a r f a r u Rr Rru rfrf r u tt t 对于 2 式 两侧对 r 求积分 得 3 2 21 Crfrf 将 1 式和 3 式联立 可解得 RrC RrCru rf RrC RrCru rf 0 2 0 12 1 2 1 由于点 M 位于初始扰动范围内 则都有可能大于或小于 atr R 那么可得 atratrR atrRatru r atr Ratratru atrfatrf r tru 0 2 1 0 0 21 习题 4 3 1 2 00 0 tt t tt uaux y zt uyz uxz 解 由 Poisson 公式 得 2 1 4 MM atat SS MM u M tdSdS attt AA 其中 sincos sinsin 0 02 cos xxr yyr zzr 2 sin rat dSrd d 则 2 2 00 2 2 00 1 sinsin cos sin 4 sincos cos sin 1 44 4 yatzat u M tatd d atat xatzat atd d at yzaxzat a yzxzt 2 2 利用二维利用二维 PoissonPoisson 公式求解下题 公式求解下题 解 由题意可知将初始条件代入二维泊松公式直接得 442234 0 2 222 3 2 3y sincos cos 2 1 tayxxtaxx rdrd rta ryrxrx ta tMu at o 3 2 2 00 0 0 tt t tt uaux y zt uuxyz 解 由 Poisson 公式 得 2 1 4 MM atat SS MM u M tdSdS attt AA 其中 sincos sinsin 0 02 cos xxr yyr zzr 2 sin rat dSrd d 则 2 2 2 00 22 2 22 3 1 sin cos sin sin cos 0 sin 4 14 4 4 43 1 3 xatyatzat u M tatd d aat xa tyzat a x ta tyzt 0 u 0ty 0 3 0 2 ttt yyxxtt yxxu xuuau 习题 4 4 1 yzxuu tzyxtyuau ttt tt 2 00 2 0 0 2 解 令 tzyxWtzyxVtzyxu 将其带入方程并化简得 及 yzxVV VaV ttt tt 2 00 2 0 0 0 2 00 2 ttt tt WW tyWaW 对于的定解问题 直接利用泊松公式 tzyxV 4 1 m at m at ss ds t M ds t M ta tzyxV 322 3 1 tayzxt 对于的定解问题 利用齐次化原理并令 tzyxW tt 2 0 0 1 1 121 yw w waw t t t t t 利用泊松公式可得 2 4 1 1 ytds t M ds t M ta tzyxw m at m at ss 所以 2 1 yttzyxw 32 0 3 1 2 tytdyttzyxW t 所以 1 3 1 232 atytyzxttzyxWtzyxVtzyxu 3 2 00 0 0 0 tt t tt ux yauf x y tx yt uu 解 由齐次化原理 得 2 0 tt t tt uau uuf x y 由二维 Poission 公式 得 2 22200 1 cos sin 2 a t f xa tya t u x y trdrd a a tr 设 cos sinxa tya t 则二维 Cauchy 问题的解的表达式 2 222000 1 2 ta t f u x y td d d a a tr 4 4 求证求证是非齐次波动方程是非齐次波动方程 CauchyCauchy 问题的解 问题的解 t tMWu 0 d 0 0 00 2 ttt tt uu tzyxfuau 证明 利用齐次化原理将定解问题转化为 求解 0 2 zyxfww waw ttt tt 其中解为 tMW 原定解问题解为 t tMWu 0 d 习题 5 1 1 证明 由 得 F g xf 1 2 11 22 i x i g xfed gfedF f x 则 2 F f xg 2 1 解 由傅立叶逆变换公式 得 1 0 22 1 exp 2 1 cos 1 yi x y Fyeed exd y xy 2 证明 由傅立叶变换 得 00 0 0 jxjxj x jx F ef xef x edx f x edx f 3 证明 由傅立叶变换 得 j t F f atf at edt 设 u uat t a 当时 0a 11 ju a f u eduf aaa 原式 当时 0a 11 ju a f u eduf aaa 原式 故 f a F f at a 3 1 解 由傅立叶变换公式 得 0 2 cossin 2cos 2 1 xi x x x F f xeedx exix dx exdx 5 5 求求 Fourier Fourier 正弦与余弦变换 正弦与余弦变换 0 e axf ax 解 由题意可知 Fourier 正弦变换为 22 0 0 0 00 s 11 2 1 2 1 e 2 1 sinesin a e aj e ajj dxee j dxee j xdxxdxxff xjaxxjaxxjaxxjax xjxjaxax Fourier 余弦变换为 22 00 2 1 cos a a dxeeexdxef xjxjaxax c 22 00 2 1 sin a dxeee i xdxef xjxjaxax s 习题 5 2 1 2 0 0 sin 0 0 ttxx t ua uxR t u xx u x 解 1 用行波法求 直接用达朗贝尔公式得 atx atxatx datxatxtxu atx atx cossin sin sin 2 1 2 1 2 1 2 利用傅里叶变换求 对 x 求傅里叶变换得 2 2 2 ttxx d ut uuiut dt 变换后得关于 t 的常微分方程定解问题为 2 22 2 0 0 sin 0 0 t d ut aut dt uFx u 求微分方程得通解为 12 i ati at utC eC e 带入条件得 12 12 0 sin 0 0 t uCCFx ui atCi atC 解得 12 sin 2 Fx CC sin 2 i ati at Fx utee 对上式关于 x 求傅里叶逆变换得 11 sinsin 22 sin sin 22 sin cos i ati at FxFx u x tFeFe xatxat xat 2 2 求解定解问题求解定解问题 0 0 0 lim 0 0 00 00 cosa2 tu txuxuxu txtuu x x t xxtt 解 由题意可知以 x 为积分变量 做余弦变换 即令 0 cosu w tu x t wxdx 则 0 0 0 2 00 0 2 cos cos sin cos sin cos xxxx xx x xx uux twxdx wx uwuwxdx wx uwwx uwu x twxdx ug tw u w t 原定解问题变为 22 22 2 2 22 0 1 0 4 0 0 0 1 2 t a wt t a wtiw x t at du w t a w u w tg t dt u w ueg t d uFu w t ege dw ag ed t 原定解问题的解为 a x t t a x t a x t t txu 2 sin2 2 1 sin2 2 sin2 2 22 3 3 求解下列定解问题求解下列定解问题 0 0 0 lim 0 0 0 0 0 0 cos 2 tu txuxuxu txtuau x x t xxtt 解 取拉氏变换 0 0 0 1 22 2 22 susu s s dx ud aus x 解得 1 22 ss BeAeu x a s x a s 代入边界条件 得 所以 1 1 0 2 ss BA 1 1 1 2 x a s e ss u 1 L 1 1 L 1 1 1 L 2 1 2 1 2 1 ss e ss e ss x a s x a s k k a x ts k k st s ss e ss ss e s 1 Re 1 Re 22 2 极点有 对第二部分解得 js 0 a x t a x t a xat s ss e k k a x ts 0 2 sin2 1 sRe 2 2 所以 原方程的解 a x t t a x t a xatt u 2 sin2 2 sin2 2 sin2 2 22 4 0 00 xuxu txtxfuu ttt xxtt 解 1 利用行波法求 令 txWtxVtxu 带入方程得 及 0 0 xV xV VV tt t xxtt 0 0 0 0 tt t xxtt W W txfWW 由达朗贝尔公式得 0 0 11 22 1 2 111 222 x t x t txt xt x ttxt x txt V x txtxtd a W x tfdd u x tV x tW x t xtxtdfdd a 5 0 0 0 00 2 ttt xxtt uxu txuau 解 利用余弦展开求 cos 2 0 tuxdxuu xxxx 原定解问题可化为 0 22 t u tua dt tud 下面对 x 进行延拓 假设 x 是一实数 则 22 a etu d ta x a x ta ex ta xe ta xeFtxu t 2 2 2 2 22 4 4 1 2 1 2 1 此时还需满足边界条件 所以为奇函数 记 x 0 0 xx xx x 所以 0 4 4 0 0 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 1 deex ta xdexdex ta txu ta x ta x ta x ta x 习题 5 3 1 证明 位移定理 设 a 为复数 则有 0 Re ax L ef xf sas sa 由 Laplace 变换定理 得 0 0 0 Re axaxsx s a x L ef xef x edx f x edx f sas sa 2 解 由得 s e dyeL us t u y 2 2 2 令得 a x u dydeeL t y x s a x 2 0 1 22 3 解 L 1 L 1 1 L 22 1 22 1 22 1 ss e ss e ss x a s x a s 是 的极点 k k a x ts k k st s ss e ss ss e s Re Re 22 22 k su 由于 都是一阶极点 0 1 s js 2 js 3 tt ee ss e js ss e js ss e ss ss e s tjtj st js st js st s k k st 2 sin 2 cos1 1 2 11 lim lim lim Re 2 22 22 222222 0 22 a x t a x t a xat s ss e k k a x ts 0 2 sin 2 sRe 2 2 22 所以 最后结果为 a x t t a x t a xatt uLu 2 sin 2 2 sin 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 2 1 7 1 2 8 45 s ss 解 由已知 得 22 22 826 45 2 1 21 6 2121 ss sss s ss 查 Laplace 变换表 得 22 cos6sin tt f tetet 2 2 22 0 s a sa 解 由已知 得 22 2222 21 2 sas a sasa 查 Laplace 变换表 由得 22 sin as a axL 1 sin 2 f ttat a 习题 5 4 1 1 1 1 0 0 1 00yx xy uyu yxu 解 对 y 积分可得 1 xy ucyux 对 y 取拉氏变换得 2 2 11 0 1 ss su s c sdx ud 则 p s cx s x sxu 2 由边界条件得 22 11 sss cx s x sxu 求拉氏逆变换得 1 cxyxyyxu 由得 1 0 y u 0 c 所以 1 yxyyxu 2 2 0 0 0 0 0 00 0 2 ttt x xxtt uu u txcuau 解 对自变量 t 取 Laplace 变换 0 0 2 2 2 2 susu s c us dx ud a 则 3 s c BeAeu x a s x a s 由得 su 3 0 s c BA 所以 且 33 s c e s c u x a s 2 3 3 1 3 11 2 1 Re ctse s c s s c Le s c LuL k k a x ts x a s 其中 a x t a x t a x t c e s c s ds d se s c s a x ts s k k a x ts 0 2 0 lim 2 1 Re 2 3 3 2 2 0 3 最后定解问题的解是 a x tct a x t a cxt a cx txu 2 1 2 2 2 2 3 3 用用 LaplaceLaplace 变变换法求解定解问题 0 0 0 0 0 0 0 0 2 xuxu tutu txcuau t xxtt 有限值 解 由题意可知对自变量 t 取 Laplace 变换 有限值susu s us dx ud a 0 0 0 c 2 2 2 2 求解常微分方程得 3 c s BeAeu x a s x a s 于是 A 0 所以 3 c B s 3 cc s e s u x a s s s e s LuLu x a s cc 33 11 又 则 2 3 1 2 c c t s L j j 2 33 1 0 2 c 1 j2 c c a x t a x t a x t dse s e s L st a x x a s a x tt a x tt a x t s e s LuLu x a s 2 c 2 c 2 c cc 2 22 3 11 4 0 0 0 0 0 0 0 0 2 xuxu tutftu txuau t x xxtt 解 对自变量 t 取 Laplace 变换 0 0 0 2 2 22 susfsu dx ud aus x 求微分方程得通解为 x a s x a s BeAeu 由得 0 0 susfsux sfe s a u x a s 由 Laplace 变换的卷积定理 得 xfLxgLxfxgL 令 对其求逆 得 x a s e s a xg a x t a x ta e s a sse s a s a x ts s k k a x ts 0 0 lim Re 0 最后定解问题的解是 即 xfxg a x t a x tdfa txu a x t 0 0 6 解 原方程的定解问题为 0 0 0