高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.1数乘向量课件3

2 3从速度的倍数到数乘向量2 3 1数乘向量 知识提炼 1 数乘向量的概念与运算律 1 数乘向量 定义 a是一个 长度 向量 a 方向 相同 相反 任意 2 数乘向量的运算律 a R a R a b R a a a a b 2 向量共线的判定定理与性质定理 1 判定定理 a是一个非零向量 若存在一个实数 使得b 则向量b与非零向量a共线 2 性质定理 若向量b与非零向量a共线 则存在一个实数 使得b a a 即时小测 1 思考下列问题 1 实数与向量相乘得到数乘向量 那么实数与向量能相加 减 吗 提示 不能 实数与向量可以相乘 但不能相加减 2 如果向量a b共线 一定有b a R 吗 提示 不一定 当a 0 b 0时 不存在 2 已知 R 下面式子正确的是 A a与a同向B 0a 0C 若a 0 ma na 则m nD 若b a 则 b a 解析 选C 当 0时 a与a反向 A错 0a 0 B错 若b a 则 b a D错 对于C ma na得 m n a 0 因a 0 故m n 0 即m n C正确 3 点C在直线AB上 且则等于 解析 选D 如图 4 若其中a b c为已知向量 则未知向量y 解析 因故所以答案 5 如图所示 D是 ABC的边AB上的中点 则向量 填写正确的序号 解析 答案 知识探究 知识点1数乘向量的定义与运算观察图形 回答下列问题 问题1 什么是数乘向量 其方向是如何规定的 问题2 数乘向量有哪些运算律 总结提升 1 对实数与向量的积的理解 1 从代数的角度来看 是实数 a是向量 它们的积仍然是向量 a 0的条件是a 0或 0 2 从几何的角度来看 对于向量的长度而言 当 1时 有 a a 这意味着表示向量a的有向线段在原方向 1 或反方向 1 上伸长到 倍 当0 1时 有 a a 这意味着表示向量a的有向线段在原方向 0 1 或反方向 1 0 上缩短到原来的 2 对数乘向量的运算律的说明数乘向量满足对实数的结合律 分配律 即数乘向量的运算律类似于实数的运算律 可以类比记忆应用 知识点2向量共线的判定定理与性质定理观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 共线向量的判定定理和性质定理的内容是什么 问题2 共线向量的判定定理和性质定理有哪些应用 总结提升 对向量共线定理的两点说明 1 定理中 之所以规定a 0 因为若a 0 当b 0时 对于任意的实数 均满足b a 当b 0 则不存在实数 满足b a 2 若a b不共线 且 a b 则必有 0 题型探究 类型一数乘向量的定义及其几何意义 典例 1 两个非零向量a与 2x 1 a的方向相同 则x的取值范围为 2 已知a b为两个非零向量 下列说法中正确的个数为 1 2a与a的方向相同 且2a的模是a的模的2倍 2 2a与5a的方向相反 且 2a的模是5a模的 3 2a与2a是一对相反向量 4 a b与 b a 是一对相反向量 解题探究 1 题1中方向相同的两个向量的系数应满足什么条件 提示 方向相同的两个向量的系数应同号 2 题2判断数乘向量的关系应从哪两个方面入手 提示 一是方向 二是长度 可先从实数的正负判断两向量的方向关系 再找两向量模的关系 从而进行判断 解析 1 由定义知 2x 1 0 即x 答案 x 2 1 正确 因为2 0 所以2a与a方向相同且 2a 2 a 2 正确 因为5 0 所以5a与a方向相同 且 5a 5 a 而 2 0 所以 2a与a的方向相反 且 2a的模是5a模的 3 正确 按照相反向量的定义可以判断 4 错误 因为 b a 与b a是一对相反向量 而a b与b a是一对相反向量 故a b与 b a 为相等向量 答案 3 方法技巧 对数乘向量的三点说明 1 a的实数 叫作向量a的系数 2 向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小 3 当 0或a 0时 a 0 注意是0 而不是0 拓展延伸 a的单位向量 1 a的单位向量为e 2 a的方向上的单位向量为e 变式训练 已知O是平面内一定点 A B C是平面上不共线的三个点 动点P满足 0 则点P的轨迹一定通过 ABC的 A 外心B 内心C 重心D 垂心 解析 选B 上的单位向量 上的单位向量 则的方向为 BAC的角平分线的方向 类型二数乘向量的运算 典例 如图 D E F分别为 ABC的边BC CA AB的中点 且试求 用a b表示 解题探究 题中所在线段在三角形中叫什么 提示 三角形的中线 解析 延伸探究 1 改变问法 本例条件不变 求 解析 因为所以 2 变换条件 本例如添加条件 G为AD BE CF的交点 试求 解析 如图 由题意知 点G为三角形的重心 所以 方法技巧 用已知向量表示其他向量的两种方法 1 直接法 2 方程法当直接表示比较困难时 可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系 然后解关于所求向量的方程 补偿训练 在 ABCD中 E和F分别为边CD和BC的中点 若其中 R 求 的值 解析 如图所示 设则因为所以所以 延伸探究 1 变换条件 改变问法 本题条件 若其中 R 变为 试用a b表示 解析 方法一 因为 方法二 由题意知 2 变换条件 改变问法 本题条件 若其中 R 变为 试用a b表示 解析 方法一 类型三共线向量定理的应用 典例 设两个非零向量e1和e2不共线 如果求证 A C D三点共线 解题探究 A C D三点共线应满足的条件是什么 提示 A C D三点共线应满足 证明 所以共线 又因为AC与CD有公共点C 所以A C D三点共线 延伸探究 如果A C D三点共线 求k的值 解析 e1 e2 2e1 3e2 3e1 2e2 因为A C D三点共线 所以共线 从而存在实数 使得即3e1 2e2 2e1 ke2 所以 方法技巧 1 用向量共线定理求参数的方法 1 三点A B C共线问题 利用构造方程求参数 2 已知向量ma nb与ka pb a与b不共线 共线求参数的值的步骤 设 设ma nb ka pb 整 整理得ma nb ka pb 故 解 解方程组得参数的值 2 应用向量共线定理时的注意点 1 证明三点共线问题 可用向量共线解决 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 当两向量共线且有公共点时 才能得出三点共线 2 向量a b共线是指存在不全为零的实数 1 2 使 1a 2b 0成立 若 1a 2b 0 当且仅当 1 2 0时成立 则向量a b不共线 变式训练 2015 全国卷 设D为 ABC所在平面内一点 则 解析 选A 由题知 补偿训练 1 设D E F分别是 ABC的三边BC CA AB上的点 且 A 反向平行B 同向平行C 互相垂直D 既不平行也不垂直 解题指南 如果存在实数倍关系 再看系数的正负 若系数为正则同向平行 若系数为负则反向平行 如果不存在实数倍关系则不平行 解析 选A 由题意 得又所以所以同理 得将以上三式相加 得 2 若a b是两个不共线的非零向量 a与b起点相同 则当t为何值时 a tb a b 三向量的终点在同一条直线上 解析 设则要使A B C三点共线 只需即所以当t 时 三向量的终点在同一条直线上 易错案例证明三点共线 典例 2015 临沂高一检测 若则 失误案例 错解分析 分析上面的解析过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因在于漏掉了两个向量方向相反的情况 造成错解 自我矫正 1 当点C在线段的延长线上时 如图 则则 2 2 当点