高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示课件2

2 6平面向量数量积的坐标表示 知识提炼 1 平面向量的数量积 模 夹角 垂直的坐标表示 1 数量积的坐标表示 设向量a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 2 模 夹角 垂直的坐标表示 x1x2 y1y2 0 2 直线的方向向量 1 定义 与直线l 的非零向量m称为直线l的方向向量 2 性质 给定斜率为k的直线l的一个方向向量为m 共线 1 k 即时小测 1 思考下列问题 1 向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗 提示 适用 无论是零向量 还是非零向量 均可使用向量数量积的坐标公式 2 若直线l1 l2的方向向量相等 那么l1 l2有什么关系 提示 l1 l2或l1与l2重合 2 已知a 3 4 b 5 2 则a b的值是 A 23B 7C 23D 7 解析 选D 由向量数量积的计算公式 a b 3 4 5 2 3 5 4 2 7 3 已知平面向量a 3 1 b x 3 且a b 则x等于 A 3B 1C 1D 3 解析 选B 因为a b a b 0 即3x 1 3 0 解得x 1 4 已知a 3 1 b 1 2 则向量a与b的夹角为 解析 选B 设a b的夹角为 则因为0 所以 5 过点A 2 1 且与向量a 3 1 平行的直线方程为 解析 设P x y 是所求直线上任一点 x 2 y 1 因为 a 所以 x 2 1 3 y 1 0 所以所求直线方程为x 3y 5 0 答案 x 3y 5 0 知识探究 知识点1数量积 模 夹角 垂直的坐标表示观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 平面向量的数量积坐标表示的特点是什么 问题2 平面向量的模 夹角 垂直的坐标表示各有何特征 分别有什么作用 总结提升 1 数量积的坐标表示的实质与特点 1 实质 是将向量运算转化为代数运算 它使得数量积的计算更为方便 简单 2 特点 等于两个向量相应坐标乘积的和 2 向量模的坐标运算的实质a x y 则在平面直角坐标系中 一定存在点A x y 使得 a x y 所以即 a 为点A到原点的距离 3 向量的夹角的坐标表示 1 来源 数量积公式的一个变形 2 适用范围 由向量坐标计算夹角的一个公式 仅适用于两个非零向量 3 夹角的取值范围的确定 由x1x2 y1y2的取值符号确定 角的取值范围 其中当x1x2 y1y2 0时 0 当x1x2 y1y2 0时 当x1x2 y1y2 0时 知识点2直线的方向向量观察如图所示内容 回答下列问题 问题 如何求直线的方向向量 总结提升 对直线的方向向量的两点说明 1 个数 一条直线的方向向量有无数个 2 长度 方向向量的长度没有限制 题型探究 类型一数量积 模的坐标运算 典例 1 设向量a 1 0 b 则下列结论正确的是 A a b B a b C a b bD a b2 已知向量a 1 和b 1 若a c b c 试求模长为的向量c的坐标 解题探究 1 典例1中 a b b的等价条件是什么 提示 a b b 0 2 典例2哪些条件可构造关于c的坐标的方程 提示 根据a c b c c 可构造关于c的坐标的方程 解析 1 选C 因为 a b 所以 a b 故A错误 由a b 1 0 故B错误 由 a b b 所以 a b b 故C正确 由故D错误 2 方法一 设c x y 则a c 1 x y x y b c 1 x y x y 由a c b c及 c 得所以 方法二 由于a b 1 1 0 且 a b 2 从而以a b为邻边的平行四边形是正方形 且由于a c b c 所以c与a b的夹角相等 从而c与正方形的对角线共线 如图 此外 由于 c 即其长度为正方形对角线长度的一半 故 方法技巧 数量积坐标运算的规律与技巧 1 进行数量积运算时 要正确使用公式a b x1x2 y1y2 并能灵活运用以下几个关系 a 2 a a a b a b a 2 b 2 a b 2 a 2 2a b b 2 2 利用数量积的条件求平面向量的坐标 一般来说应当先设出向量的坐标 然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系 利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解 3 形如 ma nb ka eb m n k e R 的坐标运算 有两条途径 其一 展开转化为a2 a b b2的坐标运算 其二 先求ma nb与ka eb的坐标 再运算 拓展延伸 向量投影的坐标公式设a x1 y1 b x2 y2 夹角为 则向量a在非零向量b方向上的投影的坐标表示为 变式训练 2015 天津高一检测 已知点A 1 2 若向量与a 2 3 同向 且则点B的坐标为 A 5 4 B 4 5 C 5 4 D 5 4 解析 选D 因为向量与a 2 3 同向 所以设向量 2 3 0 则 2 3 又因为所以 2 2 3 2 2 2 所以 2 4 解得 2 所以 4 6 又因为点A的坐标为 1 2 设O为坐标原点 所以 1 2 4 6 5 4 所以点B的坐标为 5 4 类型二向量的夹角与垂直问题 典例 1 2015 长春高一检测 已知三个点A B C的坐标分别为 3 4 6 3 5 m 3 m 若 ABC为直角三角形 且 A为直角 则实数m的值为 2 已知a 1 2 b 求a与b的夹角 解题探究 1 典例1中由 A为直角得出什么样的结论 提示 由 A为直角 得出2 典例2中求向量a与b的夹角需求哪些量 提示 根据向量的夹角公式需求 a b 以及a b 解析 1 由已知 得因为 ABC为直角三角形 且 A为直角 所以解得m 答案 2 因为a b 1 2 1 1 2 0 所以a与b垂直 即a与b的夹角为90 延伸探究 1 变换条件 本例2中条件 b 改为 b 1 其他条件不变 求a与b的夹角为锐角时 的取值范围 解析 设a与b的夹角为 因为a与b的夹角为锐角 所以cos 0 且cos 1 即a b 0且a与b不同向 因此1 2 0 即 又因为a与b共线且同向时 2 所以a与b的夹角为锐角时 的取值范围为 2 2 改变问法 探究1中的条件不变 求a与b的夹角为钝角时 的取值取围 解析 设a与b的夹角为 因为a与b的夹角 为钝角 所以cos 0且cos 1 所以a b 0且a与b不反向 由a b 0得1 2 0 故 由a与b共线得 2 故a与b不可能反向 所以 的取值范围为 方法技巧 利用数量积求两向量夹角的步骤 类型三向量平行和垂直的坐标的应用 典例 1 在四边形ABCD中 若则该四边形的面积为 A B 2C 5D 10 2 已知三个点A 2 1 B 3 2 D 1 4 1 求证 AB AD 2 要使四边形ABCD为矩形 求点C的坐标 并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值 解题探究 1 向量垂直吗 提示 因为2 AB AD的等价条件是什么 四边形ABCD为矩形的实质是什么 提示 AB AD的等价条件是四边形ABCD为矩形的实质是 解析 1 选C 因为所以AC BD是互相垂直的对角线 所以2 1 因为A 2 1 B 3 2 D 1 4 所以又因为 1 3 1 3 0 所以即AB AD 2 如图 由四边形ABCD为矩形 知设C x y 则 x 1 y 4 1 1 即所以C 0 5 所以所以 2 4 4 2 16 所以所以矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值为 设的夹角为 延伸探究 本例2的条件变为 A 3 4 B 0 0 C c 0 1 若c 5 求sinA的值 2 若A是钝角 求c的取值范围 解析 1 当c 5时 2 4 所以cosA所以sinA 2 若A为钝角 则 3 c 3 16 显然此时不共线 故当A为钝角时 c的取值范围为 方法技巧 三角形或四边形形状的判定 1 可先求各边对应的向量及模 看各边长度关系 2 再求它们两两的数量积 从而判定其内角是否为锐角 直角 钝角 四边形还可以从对角线对应的向量入手 变式训练 如图 四边形OABC是平行四边形 A 4 0 C 1 点M是OA的中点 点P在线段BC上运动 包括端点 1 求的最大值 2 是否存在实数 使若存在 求出 的取值范围 若不存在 请说明理由 解析 1 设点P x0 则1 x0 5 M 2 0 故所以当x0 5时 t的值最大 最大值为t 2 2 因为所以有4 x0 3 0 又因为1 x0 5 所以1 4 3 5 得故当 时 满足 补偿训练 已知在 ABC中 A 2 1 B 3 2 C 3 1 求过点C与AB平行的直线方程 解析 由题意 设所求直线方程为y kx b 则该直线的一个方向向量a 1 k 因为直线与AB平行 所以a与共线 又 3 2 2 1 1 3 所以k 3 所以直线方程为y 3x b 又直线过点C 3 1 所以3 3 b 1 即b 8 所以直线方程为y 3x 8 即3x y 8 0 规范解答向量数量积坐标运算的综合应用 典例 12分 已知在 ABC中 A 2 1 B 3 2 C 3 1 AD为BC边上的高 求 与点D的坐标 审题指导 1 要求 需先求点D的坐标 可设D点坐标为 x y 2 注意到AD BC 点D在BC上 可得共线 进而可构造关于x y的方程组 解之可得点D的坐标 3 点D的坐标求出 可得的坐标 则可