江苏省高三历次模拟数学试题分类汇编：第6章平面向量与复数

- 1 - 目录 （基础复习部分） 第六章 平面向量与复数 . 2 第 35 课 向量的有关概念和线性运算 . 2 第 36 课 平面向量基本定理和坐标运算 . 2 第 37 课 平面向量的数量积 . 4 第 38 课 平面向量的应用 . 6 第 39 课 复数 . 10 - 2 - 第六章 平面向量与复数 第 35课 向量的有关概念和线性运算 已知向量12,122a e e与12b e e共线，则 12（南京盐城二模） 平面四边形 ， D 相交于点 O，E 为线段 中点，若 （ R, ），则 34 第 36课 平面向量基本定理和坐标运算 已知向量 ),1,0(),1,2( ,/)( 则实数 . 0 （镇江期末） 已知向量 ( 2 1, 1) ， (2, 1)， ，则 x . 1 (苏锡常镇二模 )已知向量 1 , 2 , 0 , 1 , , 2a b c k ，若 2 ，则实数 k （金 海南三校联考 ） 设 x0， y0，向量 a=(1 x， 4)， b=(x， y)，若 a/b，则 x y 的最小值为 南通一中期中 ) 已知平面向量 (2, 1)a ，向量 (1,1)b ，向量 ( 5,1)c . 若 ( )/ka b c ，则实数 k 的值为 12（苏北四市期末） 已知向量 (1 , 2 a ， ( s ) , 1)3b， R (1) 若 求 的值 ； (2) 若 a b ， 且 (0 , )2， 求 的 值 （ 1） 因为 以 =0 2 分 所以 2 s i n s i n 03 ， 即 53s i n c o s 022 4 分 因为 ， 所以 3 6 分 （ 2） 由 a b ，得 2 s i n s i n 13， 8 分 即 2 2 s i n c o s 2 s i n c o s s i n 133 ， 即 131 c o s 2 s i n 2 122 ， 整理得， 1s i n 26211 分 又 0,2 ， 所以 5 2,6 6 6 ， 所以 266 ， 即 6 14 分 已知向量 s ) , 36a， (1, 4 ab ， (0,) （ 1）若 a b ，求 值； （ 2）若 a b ，求 的值 题图 - 3 - 解：（ 1）因为 a b ，所以 s i n ( ) 1 2 c o s 06 ， 2 分 即 31s i n c o s 1 2 c o s 022 ，即 3 2 5s i n c o s 022 ， 4 分 又 ，所以 25 3 6 分 （ 2）若 a b ，则 4 c o s s i n ( ) 36 ， 8 分 即 314 c o s ( s i n c o s ) 322 ， 所以 3 s i n 2 c o s 2 2 ， 10 分 所以 ) 16 ， 11 分 因为 (0,) ，所以 132 ( , )6 6 6 ， 13 分 所以 262，即 6 14 分 （泰州二模） 已知向量 13( , )22a， ( 2 c o s , 2 s i n )b ， 0 （ 1）若 a b ，求角 的大小； （ 2）若 a b b ，求 的值 解： (1) 因为 /以 132 s i n 2 c o ，即 s i n 3 c o s ， 所以 ， 又 0 ，所以 23 分 (2)因为 a b b ，所以 22()a b b ，化简得 2 20 a a b ， 又 13( , )22a， ( 2 c o s , 2 s i n )b ，则 2 1a ， c o s 3 s i n 所以 13 s i n c o ，则 1s i n ( ) 064 ， 10 分 又 0 ， 15c o s ( )64 ， 所以 s i n ( ) s i n ( ) c o s c o s ( ) s i 6n 6s 6 15 38 在平面直角坐标系中，已知三点 ),6(),2,(),0,4( 为坐标原点 . (1) 若 是直角三角形，求 t 的值； (2) 若四边形 平行四边形，求 最小值 . - 4 - 解 ： （ 1）由条件， 4 , 2 , 2 , , 6 , 2A B t A C t B C t t ， - 若直角 中， 90A ，则 0C，即 2 4 2 0 ， 2t； 若直角 中， 90B ，则 0C，即 4 6 2 2 0t t t ， 6 2 2t ； 若直角 中， 90C ，则 0C，即 2 6 2 0t t t ，无解， 所以，满足条件的 t 的值为 2 或 6 2 2 （ 2） 若四边形 平行四边形， 则 C ，设 D 的坐标为 ( , )即 4 , 6 , 2x y t t ， 4 6 62 即 (1 0 , 2 )D t t 2 2 2( 1 0 ) ( 2 ) 2 2 4 1 0 4O D t t t t ， 所以当 6t 时， 最小值为 42， 第 37课 平面向量的数量积 平面向量 a ( 3,1) ， b ( 2 3, 2) ，则 a 与 b 的夹角为 23 1,1a ， 1,1b ，设向量 c 满足 2 3 0 a c b c ，则 c 的最大值为 26 已知 向量 a (2， 1)， b (0， 1) 若 (a b) a，则实数 5 （盐城期中） 若 ,且 ( 2 )a a b ，则 , . 3已知 O A B、 、 三点的坐标分别为 ( 0 , 0 ) ( 3 , 0 ) ( 0 , 3 )O A B， ，且 P 在线段， ( 0 1 )A P t A B t 则 P最大值为 9 如图， 中， 90,4,3 是 中点，则的值为 . 17 平行四边形 ， E 为 中点， 于点 M， 2, 1，且 16M A M B ，则 D 34 已知菱形 边长为 2， 120o ，点 E ， F 分别在边 B A C D 第 9 题图 A C B O M （南通一） - 5 - A B C D E F （第 11 题） P ， C ， D A E B F?则 = (南通调研一 ) 如上图，圆 O 内接 中 ， M 是 中点， 3 若 4M，则 . 7 （苏州期末） 如图，在 中，已知 4， 6， 60 ，点 D ， E 分别在边 2D ， 3E ，点 F 为 点，则 E 的值为 . 4 （淮安宿迁摸底） 如图，已知 中， 4C， 90， C 的中点， 若 向量 14A M A B m A C ， 且 终点 M 在的内部 （不含边界） ，则 M 的取值范围是 2,6 （南通调研二） 在平行四边形 ， A C A D A C B D 3 ，则线段 【答案】 3 （南通调研三） 如图，已知正方形 边长为 2，点 E 为 中点以 A 为圆心， 半径，作弧交 点 F 若 P 为劣弧 的动点，则 最小值为 【 答案 】 5 2 5 （苏北三市调研三） 如图，半径为 2 的扇形的圆心角为 120 ， 分别为线段 的中点， A 为 任意一点，则 N 的取值范围是 . 35 . 22（南京三模） 在 ， 120， 2， 3， D， E 是线段 三等分 点，则 119 （盐城三模） 在边长为 1 的菱形 ， 23A ，若点 P 为对角线 一点，则 D 的最大值为 . 121 如图，已知点 O 是 重心， B， ，则 答案： 72 A D F E B C(淮安宿迁摸底 ) D C B A A M N O P Q 苏北三市调研 A B C O - 6 - 15已知 2 , 1， a 与 b 的夹角为 135 （ 1）求 ( ) ( 2 )a b a b 的值； （ 2）若 k 为实数，求 a 的最小值 解：因为 22( ) ( 2 ) 2a b a b a b a b 3 分 24 1 2 1 ( ) 22 6 分 （ 2） 2 2 2 2 2a k b a k b k a b 8 分 222 2 ( 1 ) 1k k k 10 分 当 1k 时， 2a 的最小值为 1， 12 分 即 a 的最小值为 1 14 分 第 38课 平面向量的应用 已知平行四边形 ， 2，3A B A D A A D A C，则 平行四边形 面积为 23 如图 , 半径为 3 的圆 O 的直径 , P 是圆 O 上异于 , Q 是线段 靠近 A 的三等分点 , 且 4,B则 P 的值为 已知 中线 ， 若 120Ao ， 2C 则 |最小值是 1 在梯形 ， 2C ， 6， P 为梯形所在平面上一点，且满足 40A P B P D P ， D A C B D A D P ， Q 为边 的一个动点，则 最小值为 答案 ： 423； （扬州期末） 已知 A(0， 1)，曲线 C： 过点 B，若 P 是曲线 C 上的动点，且 P 的最小值为 2，则 a = . e （苏北四市期末） 在 ，已知 3， 45A ， 点 D 满足2B ，且 13则 长 为 3 24M E D A B C 盐城期中 - 7 - （盐城期中） 如图，在等腰 中， =C ， M 为 点， 点 D 、 E 分别在边 ，且1= 2B ， =3C ，若 90D M E，则 . 15 （泰州二模） 在 中， D 为边 一点， 4 , 6A B A D A C ，若 的外心恰在线段 ，则 2 10 （前黄姜堰四校联考） 在 ， 点 D 是 线段 中点，若 0 16 0 ,2A A B A C ，则 |最小值是 . 32（金海南三校联考） 在平面直角坐标系 ，设 A， B 为函数 f(x)=1 图象与 x 轴的两个交点， C，D 为函数 f(x)的图象上的两个动点，且 C， D 在 x 轴上方 (不含 x 轴 )，则 D 的取值范围为 . ( 4， 3 32 94 由题意 A( 1， 0)， B(1， 0)，设 C(1 D(1 1 1，则 (1)(1) (1 1 (1)(1)记 f(x) (1)x 1 x 1 （ 1）当 1 12时，则 0 2(1) 1， 12(1) 1，又 1 0，所以 f(x)在 ( 1， 1)上 单调递 增 ， 因为 f( 1) 0， f(1) 2，所以 0 f(x) 2又 1 0，所以 2(1) 0 根据 1 12，则 4 0 （ 2）当 12 1 时 ， 则 1 2(1) 1， 1 12(1) 14又 1 0，所以 f(x)在 ( 1， 1)上先 减 后增， x 12(1)时 取的最小值 f( 12(1) 14(1)， 又 f(1) 2， 所以 14(1) f(x) 2又 1 0，所以 2(1) 14(1)(1 令 g(x) x(1 x) 1 x4(x 1)， 则 g(x) x 14 12(x 1)， g(x) 1 2x 12 (x 1)2 4612(x 1)2 (2x 1)(x 3 12 )(x 3 12 )2(x 1)2 ，当12 x3 12 时， g(x) 0；3 12 x 1 时 g(x) 0；所以 g(x) 在 ( 12， 1)上先增后减，所以 g(x)g( 3 12 ) 3 32 94 又 2(1) 3， 所以 3 3 32 94 综上 ， 的取值范围是 ( 4， 3 32 94 A B C D - 8 - （南师附中四校联考） 如图，在 ， . （ 1）若 （ 为实数），求 的值； （ 2）若 ， ， 0，求 的值 . （ 1） ， )(2 ， 3 分 又 )( )( 5 分 共线，313231,1 7 分 （ 2） )()3132( 10 分 22313231 12 分 =34 14 分 已知扇形 半径等于 1， 120A O B， P 是圆弧 的一点 （ 1）若 30， 求 B值 （ 2） 若 O P O A O B 求 ,满足的条件； 求 22+的取值范围 解：（ 1） 因为 30， 120A O B， 所以 1 2 0 3 0 9 0B O P A O B A O P o o o, 0B ()O P A B O P O B O A O P O B O P O A u u ur u u ur u u ur u u ur u u r u u ur u u ur u u ur u u r 3 分 30 c o s 3 0 o 5 分 （ 2） 由余弦定理，知 2 2 2| | | | | | c o s 6 02 | | | |O A O B O O B ou u r u u ur u u u r u u 7 分 故 22+ 1 1 ,得 221 ，所以 ,满足的条件 - 9 - 为22001. ， ， 10 分 由 0, 0 ，知 22 11 （当且仅当 0 或 0 时取“ =”） 12 分 由 2222 112 ， 知 222 （当且仅当 时取“ =”） 14 分 于是 22 的取值范围为 1,2 15 分 （南通调研二） 在平面直角坐标系 ，已知向量 a (1 ， 0)， b (0 ， 2) )b ， k b ，其中 0 . （ 1）若 4k ， 6，求 x y 的值； （ 2）若 x/ y，求实数 k 的最大值，并求取最大值时 的值 . 解：（ 1）（方法 1）当 4k ， 6时， 1 2 3，x ， y ( 44， )， 2 分 则 1 ( 4 ) 2 3 4 4 4 3 6 分 （方法 2）依题意， 0 2 分 则 22331 4 2 4 2 122 a b a b a b 34 2 1 4 4 4 32 6 分 （ 2） 依题意， 1 2 2 c o s ，x ， 2s ，y， 因为 x/ y， 所以 2 ( 2 2 c o s )s i n k ， 整理 得， 1 s i n c o s 1k ， 9 分 令 ( ) s i n c o s 1f ， 则 ( ) c o s c o s 1 s i n ( s i n )f 22 c o s c o s 1 - 10 - 2 c o s 1 c o s 1 . 11 分 令 ( ) 0f ，得 1或 ， 又 0 ， 故 23. 列表： 故当 23时，f 334，此时实数 k 取最大值 439. 14 分 （注：第（ 2）小问中，得到 1 2 2 c o s ，x ， 2s ，y， 及 k 与 的等式， 各 1 分） 第 39课 复数 2 设复数 3m （ 0m ， i 为虚数单位），若 ，则 m 的值为 3 1 若复数122 , 1 ,z a i z i 且12 则实数 a 的值为 2 已知复数 z 11 i，其中 i 是虚数单位，则 |z| 22 3 如果 1 ， 与 是共轭复数 （ x、 y 是实数 ），则 34 4 已知 )(21)( 为虚数单位），若复数 z 在复平面内对应的点在实轴上，则a . 125 已知复数 i(1 i)( 为虚数单位），则复数 z 在复平面上对应的点位于第 象限一 6 复数 z 满足 34iz i （ i 是虚数单位），则 z 答案 ： 43i ； 若复数 51 2i m（ i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 m 1 已知复数 z 满足 ( )11i z + ，则 z 的模为 南通调研一） 已知复数 z 满足 3 4 1(i z i为虚数单位 )，则 z 的模为 南京盐城模拟一） 若复数 （其中 i 为 虚数单位）的实部与虚部相等，则实数 a . 答案： 1 2 20 3， 23 2 3 ， ()f 0 ()f 极小值 334 - 11 - （苏州期末） 已知 23 (i a b i ， b R， i 为虚数单位 ) ，则 . 1 （扬州期末） 已知 i 是虚数单位，则21(1 ) 的实部为 . 12 （镇江期末） 记复数 z a （ i 为虚数单位）的共轭复数为 z a （ a ， b R）， 已知 2 ，则 2z . 3 4i （苏北四市期末） 设复数 z 满足 i( 4)=3+2 （