2016年四川省高考数学理科试题含答案(Word版)

2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工类） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 （非选择题），第 I 卷 1 至 2 页，第 3 至 4 页，共 4 页，满分 150分，考试时间 120 分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效，考试结束 后，将本试题卷和答题卡一并交回。 第 I 卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大 题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 合 | 2 2 A x x ， Z 为整数集，则 A Z 中元素的个数是 （ ） （ A） 3（ B） 4（ C） 5（ D） 6 2.设 i 为虚数单位 ， 则 6( i)x 的展开式中含 项为 （ ） （ A） 15B） 15C） 20i D） 20i s 2 )3的图象 ， 只需把函数 的图象上所有的点 （ ） （ A） 向左 平行移动 3个单位长度（ B）向右 平行移动 3个单位长度 （ C） 向左 平行移动 6个单位长度（ D） 向右 平行移动 6个单位长度 ， 2， 3， 4， 5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （ ） （ A） 24（ B） 48（ C） 60（ D） 72 划逐年加大研发资金投入 015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 （ ） （参考数据： （ A） 2018 年（ B） 2019 年（ C） 2020 年（ D） 2021 年 期 的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值 的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法 输入 n， x 的值分别为 3， 2，则输出 v 的值为 （ ） （ A） 9 （ B） 18 （ C） 20 （ D） 35 7.设 p：实数 x， y 满足 (x 1)2+(y 1)2 2， q：实数 x， y 满足 1,1,1, 则 p 是 q 的 （ ） （ A）必要不充分条件（ B）充分不必要条件（ C）充要条件（ D）既不充分也不必要条件 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 2 2 ( p 0 )y p x上任意一点， M 是线段 的点，且2 则直线 斜率的最大值为 （ ） （ A） 33（ B） 23（ C） 22（ D） 1 别是函数 f(x)= 0 1, 1, 图象上点 的切线， 直相交于点 P，且 l1，别与 y 轴相交于点 A， B，则 面积的取值范围是 （ ） （ A） (0,1) （ B） (0,2) （ C） (0,+ ) （ D） (1,+ ) 点 A， B， C， D 满足 B =C =A =点 P， P =1， 则 2最大值是 （ ） （ A） 434（ B） 494（ C） 37 6 34（ D） 37 2 334 第 （非选择题 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 . 至少有一枚硬币正面 向 上时，就说这次 试验成功，则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 . 锥 的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 。 f（ x）是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x 1 时， f（ x） =4x ，则 f（ ） + f（ 1） = 。15在平面直角坐标系中，当 P(x， y)不 是原点时，定义 P 的“伴随点”为 2 2 2 2( , )x y x y； 当 P 是原点时， 定义 P 的“伴随点“为它自身，平面曲线 C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 C 定义为曲线 C 的“伴随曲线” 若点 A 的 “伴随点 ”是点 A ，则点 A 的 “伴随点”是点 A 单位圆的“伴随曲线”是它自身； 若 曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线” C 关于 y 轴对称； 一条直线的 “伴随曲线”是一条直线 . 其中的真命题是 _（写出所有真命题的序列） . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 12 分） 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 x （吨）、一位居民的月用水量不超过 x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费 过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 0, )， 4,成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 . 5 20 . 4 00 . 1 60 . 1 20 . 0 80 . 0 44 . 543 . 532 . 521 . 510 . 50 月均用水量 （ 吨 ）组距频率（ I）求直方图中 a 的值； （ 设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由； （ 该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x （吨），估计 x 的值，并说明理由 . 17.（本小题满分 12 分） 在 ，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 c o s c o s s i Ca b c. （ I）证明： s in s in s C ； （ 若 2 2 2 65b c a b c ，求 18.（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 ， 0， D= 棱 中点，异面直线 成的角为 90 . E I）在平面 找一点 M，使得直线 面 说明理由； (二面角 大小为 45，求直线 平面 成角的正弦值 . 19.（本小 题满分 12 分） 已知数列 首项为 1，列 前 n 项和，1 1， 其中 q0， *. （ I）若2322 , , 2a a a 成等差数列 ， 求 通项公式 ； (双曲线 222 1的离心率为且2 53e ， 证明 ：12 1433ne e e . 20.（本小题满分 13 分） 已知椭圆 E： 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 3 个顶点，直线 l:y=与椭圆 E 有且只有一个公共点 T. （ I）求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标； （ O 是坐标原点，直线 l平行于 椭圆 E 交于不同的两点 A、 B，且与直线 l 交于点 在常数，使得 2= 并求的值 . 21.（本小题满分 14 分） 设函数 f(x)=中 a R. （ I）讨论 f(x)的单调性 ； （ 定 a 的所有可能取值，使得 11() xf x 在区间（ 1， +）内恒成立 (e=自然对数的底数 )。 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学 （ 理 工 类 ） 试题参考答案 一、选择题 1 C 2 A 3 D 4 D 5 B 6 B 7 A 8 C 9 A 10 B 二、填空题 11 2212 3213 3314 2 15 三、解答题 16（本小题满分 12 分） （ ）由频率分布直方图知，月均用水量在 0,的频率为 同理，在 )， )， 2, 3, )， 4,的频率分别为 由 .5a+.5a+， 解得 a= （ ）由（ ）， 100 位居民每人月均用水量不低于 3 吨的频率为 由以上样本的频率分布，可以估计全市 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300 0006 000 （ ）因为前 6 组的频率之和为 而前 5 组的频率之和为 则 a=， b=， c= 代入 形可得 =+=+B) 在 ，由 A+B+C=，有 +B)=C)=， 所以 = （ ）由已知， b2+c25据余弦定理，有 = 2 2 22b c =35 所以 = 21 =45 由（ ）， =+， 所 以 45=45+35， 故 = 18. （本小题满分 12 分） （ ）在梯形 ， 平行 . 延长 交于点 M（ M 平面 点 M 即为所求的一个点 由已知， D. 所以四边形 平行四边形 . 从而 又 平面 平面 所以 平面 （说明：延长 点 N，使得 N，则所找的点可以是直线 任意一点） （ ）方法一： 由已知， ， 所以 面 从而 所以 二面角 平面角 . 所以 5 . 设 ，则在 ， D=2. 过点 A 作 延长线于点 H，连接 易知 面 从而 于是 面 所以平面 面 过 A 作 Q，则 面 所以 平面 成的角 . 在 ， 5， ， 所以 22. 在 ， 22P A A H =322， 所以 3. 方法二： ， 所以 面 于是 从而 二面角 平面角 . 所以 5 . 由 得 面 设 ，则在 ， D=2. 作 A 为原点，以 ,方向分别为 x 轴， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A（ 0,0,0）， P（ 0,0,2）， C(2,1,0)， E(1,0,0)， 所以 （ 1,0, （ 1,1,0）， （ 0,0,2） 设平面 法向量为 n=(x,y,z)， 由 0,0, 0,0,设 x=2，解得 n=(2,). 设直线 平面 成角为，则 | | | | 2 22132 2 ( 2 ) 1 . 所以直线 平面 成角的正弦值为 13. 19.（本小题满分 12 分） （ ）由已知，1 2 11 , 1 ,n n n nS q S S q S+ + += + = +两式相减得到21,1q a n+=?. 又由211S 得到21a 故1=对所有 1n 都成立 . 所以，数列 ，公比为 q 的等比数列 . 从而 1= 由2322 + 2a a a， ，成等 差 数列，可得322 =3 2即 22 =3 2,，则 ( 2 1)( 2 ) 0q + q -=， 由已知 , 0q ，故 =2q . 所以 1*2 ( )N. （ ）由（ ）可知， 1 所以双曲线 22 2 1离心率 2 2 ( 1 )11 a q -= + = + . 由22 51 3+ =解得 43q=. 因为 2 ( 1 ) 2 ( 1 )1+ 所以 2 ( 1 ) 1 *1+ q k?N（ ）. 于是112 11+ 1qe e e q q + 鬃 ? + 鬃 ?= -， 故12 1433ne e e 鬃 ?. 20.（本小题满分 13 分） （ I）由已知， 2， 则椭圆 E 的方程为 2212. 有方程组 22221,23, 得 223 1 2 (1 8 2 ) 0x x b . 方程 的判别式为 2= 24( 3)b ， 由 =0 ， 得 2=3b ， 此 时 方程 的解为 =2x ， 所以椭圆 E 的方程为 22163. 点 T 坐标为（ 2,1） . （ 已知可设直 线 l 的方程为 1 ( 0 )2y x m m ， 有方程组 123y x ， ，所以 P 点坐标为（ 222 ,133）， 2 289P T m. 设点 A， B 的坐标分别为1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y，. 由方程组2216312x m ，可得 223 4 ( 4 1 2 ) 0x m x m . 方程 的判别式为 2=1 6 (9 2 )m ， 由 0 ，解 得 3 2 3 222m . 由 得 21 2 1 24 4 1 2=,33x x x . 所以 221 1 12 2 5 2( 2 ) ( 1 ) 23 3 2 3m m x y x ， 同理252223 x ， 所以125 2 2( 2 ) ( 2 )4 3 3 P B x x 2 1 2 1 25 2 2( 2 ) ( 2 ) ( )4 3 3mm x x x x 225 2 2 4 4 1 2( 2 ) ( 2 ) ( )4 3 3 3 3m m m m 2109 m 5，使得 2P T P A P B. 21.（本小题满分 14 分） （ I） 21 2 1( ) 2 0 ) x a x (0a 当 时 ， ()() . （ ()111， () 1ex x . 则 ( )1 . 而当 1x 时 ， ( )， 所以 ()区间 1+ )（ ， 内单调递增 . 又由 (1)s =0，有 ()0， 从而当 1x 时 ， (). 当 0a ， 1x 时 ， ()2( 1 ) l n 0a x x . 故当 ()()区间 1+ )（ ， 内恒成立时 ， 必有 0a . 当 102a时 ， 12a1. 由（ I）有 1( ) (1 ) 02,从而 1( ) 02g a ， 所以此时 ()()区间