2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质课时规范训练 新人教A版选修2-1

1 2 4 22 4 2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 基础练习 1 直线y x 1 被抛物线y2 4x截得的线段的中点坐标是 a 1 2 b 2 1 c 2 3 d 3 2 答案 d 解析 将y x 1 代入y2 4x 整理 得x2 6x 1 0 由根与系数的关系 得 x1 x2 6 3 2 所求点的坐标为 3 2 x1 x2 2 y1 y2 2 x1 x2 2 2 6 2 2 2 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切 则p的值为 a 2 b 4 c 6d 8 答案 a 解析 由已知可知抛物线的准线x 与圆 x 3 2 y2 16 相切 圆心为 3 0 半 p 2 径为 4 圆心到准线的距离d 3 4 解得p 2 p 2 3 2019 年黑龙江哈尔滨九中模拟 已知抛物线c y2 8x的焦点为f 准线为l p是 l上一点 q是直线pf与c的一个交点 若 则 qf 等于 fp 4fq a b 3 7 2 c d 2 5 2 答案 b 解析 设点q到l的距离为d 则 qf d 4 pq 3d 不妨设直线pf的 fp fq 斜率为 2 f 2 0 直线pf的方程为y 2 x 2 与y2 8x联立 得 2 2d d22 x 1 qf d 1 2 3 故选 b 4 已知直线y k x 2 k 0 与抛物线c y2 8x相交于a b两点 f为c的焦点 若 fa 2 fb 则k的值为 a b 1 3 2 3 2 c d 2 3 2 2 3 答案 d 解析 c的准线为l x 2 直线y k x 2 过定点p 2 0 过点a b分别作 am l于点m bn l于点n 由 fa 2 fb 则 am 2 bn 点b为ap的中点 连接 ob 则 ob af ob bf 1 2 点b 1 2 k 故选 d 2 2 2 0 1 2 2 2 3 5 2019 年山西临汾期末 已知抛物线c1 x2 2py p 0 的准线与抛物线 c2 x2 2py p 0 交于a b两点 c1的焦点为f 若 fab的面积等于 1 则c1的方程是 答案 x2 2y 解析 由题意得f 不妨设a b s fab 2p p 1 0 p 2 p p 2 p p 2 1 2 则p 1 即抛物线c1的方程是x2 2y 6 边长为 1 的等边三角形aob o为原点 ab x轴 以o为顶点且过点a b的抛物线 方程是 答案 y2 x 3 6 解析 该等边三角形的高为 点a的坐标为或 可设抛物 3 2 3 2 1 2 3 2 1 2 线方程为y2 2px p 0 点a在抛物线上 因而p 因而所求抛物线方程为y2 x 3 12 3 6 7 斜率为 1 的直线经过抛物线y2 4x的焦点且与抛物线相交于a b两点 求线段ab 的长 解 如图 由抛物线的标准方程可知焦点f 1 0 准线方程为x 1 由题意 直线ab的方程为y x 1 代入抛物线方程y2 4x 整理得x2 6x 1 0 方法一 由x2 6x 1 0 得 x1 x2 6 x1 x2 1 3 ab x1 x2 2 2 x1 x2 2 4x x2 8 262 4 方法二 设a x1 y1 b x2 y2 由抛物线的定义可知 af aa1 x1 1 bf bb1 x2 1 ab af bf x1 x2 2 6 2 8 8 设抛物线c y2 2px p 0 上有两动点a b ab不垂直于x轴 f为焦点且 af bf 8 线段ab的垂直平分线恒过定点q 6 0 求抛物线c的方程 解 设a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 则x1 x2 8 p 又 qa qb x1 6 2 y x2 6 2 y 即 x1 x2 12 x1 x2 2p x2 x1 2 12 2 x1 x2 x1 x2 12 2p 12 2p 8 p 解得p 4 所求抛物线c的方程为y2 8x 能力提升 9 过抛物线y2 4x的焦点 作一条直线与抛物线交于a b两点 若它们的横坐标之和 等于 5 则这样的直线 a 有且仅有一条 b 有两条 c 有无穷多条 d 不存在 答案 b 解析 设a x1 y1 b x2 y2 由抛物线定义知 ab x1 x2 p 5 2 7 又直线 ab过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短 且 ab min 2p 4 这样的直线 有两条 故选 b 10 2019 年浙江杭州模拟 过抛物线x2 4y的焦点f作直线ab cd与抛物线交于 a b c d四点 且ab cd 则 的最大值等于 fa fb fc fd a 4 b 4 c 8 d 16 答案 d 解析 依题意得 又因为 ya 1 yb 1 所以 fa fb fa fb fa fb yayb ya yb 1 设直线ab的方程为y kx 1 k 0 联立x2 4y 可得 fa fb x2 4kx 4 0 所以xa xb 4k xaxb 4 所以yayb 1 ya yb 4k2 2 所 以 4k2 4 同理 所 fa fb fc fd 4 k2 4 以 16 当且仅当k 1 时等号成立 fa fb fc fd 4k2 4 k2 8 4 11 如图 从点m x0 4 发出的光线 沿平行于抛物线y2 8x的对称轴方向射向此抛物 线上的点p 经抛物线反射后 穿过焦点射向抛物线上的点q 再经抛物线反射后射向直线 l x y 10 0 上的点n 经直线反射后又回到点m 则x0的值为 答案 6 解析 由题意可知p 4 f 2 0 p 2 4 q 2 4 直线qn y 4 直线 qn mn关于l x y 10 0 对称 即直线l平分直线qn mn的夹角 直线mn垂直于x 轴 解error 得n 6 4 故x0 6 12 已知过抛物线y2 2px p 0 的焦点的直线交抛物线于a b两点且 ab p 求ab 5 2 所在的直线方程 解 焦点f 设a x1 y1 b x2 y2 若ab x轴 则 ab 2p p 不合题 p 2 0 5 2 意 所以直线ab的斜率存在 设为k 则直线ab的方程为y k k 0 由error 消去 x p 2 x 整