双曲线练习题

圆锥曲线与方程 双曲线练习题 圆锥曲线与方程 双曲线练习题 一 选择题一 选择题 1 已知方程的图象是双曲线 那么 的取值范围是 22 1 21 xy kk A B C D 2 双曲线的左 右焦点分别为是双曲线上一点 满足 直线 22 22 1 00 xy ab ab 12 F F P 212 PFFF 与圆相切 则双曲线的离心率为 1 PF 222 xya A B C D 5 4 3 2 3 3 5 3 3 过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点 若 则这样的直线有 2 2 1 2 y x A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 4 等轴双曲线与抛物线的准线交于两点 则双曲线的实轴长等于 222 C xya 2 16yx A B4 3AB C A B C 4 D 822 2 5 已知双曲线的一条渐近线的方程为 则双曲线的焦点到直线的距离为 xy m 22 1 9 yx 5 3 A 2 B C D 6 若直线过点与双曲线只有一个公共点 则这样的直线有 3 0 22 4936xy A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 7 方程表示双曲线的充要条件是 22 1 23 xy k kk R A 或 B 2k 3k 3k C D 2k 32k 二 填空题二 填空题 8 过原点的直线 如果它与双曲线相交 则直线的斜率的取值范围是 22 1 34 yx 9 设为双曲线上一动点 为坐标原点 为线段的中点 则点的轨迹方程是 2 2 1 4 x y 10 过双曲线的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点 以为直径的圆恰好过双曲 22 22 1 0 xy a b ab 线的右顶点 则双曲线的离心率等于 11 已知双曲线的渐近线与圆有交点 则该双曲线的离心率的取值 22 22 1 00 xy a b ab 22 420 xyx 范围是 三 解答题三 解答题 本题共 3 小题 共 41 分 12 求适合下列条件的双曲线的标准方程 1 焦点在轴上 虚轴长为 12 离心率为 5 4 2 顶点间的距离为 6 渐近线方程为yx 3 2 13 已知双曲线 0 0 的右焦点为 22 22 1 xy ab ab 0 F c 1 若双曲线的一条渐近线方程为且 求双曲线的方程 yx 2c 2 以原点为圆心 为半径作圆 该圆与双曲线在第一象限的交点为 过作圆的切线 斜率为 OcAA3 求双曲线的离心率 14 已知双曲线的离心率 原点到过点的直线的距离是 xy ab 22 22 1 ab 0 0 2 3 3 e O 0 0 A aBb 3 2 1 求双曲线的方程 2 已知直线交双曲线于不同的两点 且都在以为圆心的圆上 求的值5 0 ykxk 一 选择题一 选择题 1 C 解析 解析 由方程的图象是双曲线知 即 2 D 解析 解析 设与圆相切于点 因为 所以为等腰三角形 所以 1 PFM 212 PFFF 12 PFF 11 1 4 FMPF 又因为在直角中 所以 1 FMO 22 222 11 FMFOaca 11 1 4 FMbPF 又 12 222PFPFaca 222 cab 由 解得 5 3 c a 3 C 解析 解析 由题意知 当只与双曲线右支相交时 的最小值是通径长 长度为 此时只有一条直线符合条件 当与双曲线的两支都相交时 的最小值是实轴两顶点间的距离 长度为 无最大值 结合双曲线的对称性 可得此时有 2 条直线符合条件 综上可得 有 3 条直线符合条件 4 C 解析 解析 设等轴双曲线的方程为 C 22 xy 抛物线 抛物线的准线方程为 2 16 2168yxpp 4 2 p 4x 设等轴双曲线与抛物线的准线的两个交点为 4x 4 4 0 A y B y y 则 24 3AB yy y 2 3y 将 代入 得 4x 2 3y 22 4 2 3 4 等轴双曲线的方程为 即 双曲线的实轴长为 4 C 22 4xy 22 1 44 xy C 5 C 解析 解析 双曲线的一条渐近线方程为 即 不妨设双曲线的右焦点为 则焦点 22 1 9 xy m 5 33 m yxx 到直线 l 的距离为 2 5 14 3 5 5 1 3 d 6 C 解析 解析 将双曲线化为标准方程为则点 3 0 为双曲线的右顶点 过点 3 0 与 x 轴垂直的直线 22 1 94 xy 满足题意 过点 3 0 与双曲线渐近线平行的两条直线也满足题意 因此这样的直线共有 3 条 7 A 解析 解析 方程表示双曲线 当且仅当 或 反之 22 1 23 xy k kk R 2 3 0kk 2k 3k 当或时 双曲线方程中分母同号 方程表示双曲线 2k 3k 22 1 23 xy k kk R 二 填空题二 填空题 8 解析 解析 双曲线的渐近线方程为 若直线 l与双曲线相交 33 22 22 1 34 yx 3 2 yx 则 33 22 kk 或 9 解析解析 设 则 即 00 22 xy xy 将代入双曲线方程 得点的轨迹方程为 即 2 2 4 41 4 x y 10 2 解析 解析 设双曲线的左焦点为右顶点为又因为 MN 为圆的直径且点 A 在圆上 所以 F 为圆的圆心 且所以 即 由 得 2 b ca a 22 ca ca a c e a 2 ee 11 解析 解析 由圆化为 得到圆心 半径 1 2 22 420 xyx 22 2 2xy 2 0 2r 双曲线的渐近线与圆有交点 22 22 1 00 xy a b ab b yx a 22 420 xyx 该双曲线的离心率的取值范围是 22 2 2 b ab 22 ba 2 2 112 cb e aa 1 2 三 解答题三 解答题 12 解 解 1 焦点在轴上 设所求双曲线的标准方程为 xy ab ab 22 22 10 0 由题意 得解得 222 212 5 4 b c a abc 8 6 a b 所以双曲线的标准方程为 22 1 6436 xy 2 方法一 当焦点在轴上时 设所求双曲线的标准方程为 22 22 10 0 xy ab ab 由题意 得解得 26 3 2 a b a 3 9 2 a b 所以焦点在轴上的双曲线的标准方程为 22 1 981 4 xy 同理可求焦点在轴上的双曲线的标准方程为 22 1 94 yx 方法二 设以为渐近线的双曲线的方程为 3 2 yx 22 0 49 xy 当 时 解得 此时 所求的双曲线的标准方程为 2 46 9 4 22 1 981 4 xy 当 时 解得 此时 所求的双曲线的标准方程为 296 22 1 94 yx 13 解 解 1 双曲线的渐近线方程为 22 22 1 xy ab b yx a 若双曲线的一条渐近线方程为 可得 解得 yx 1 b a ab 22 2cab 2ab 由此可得双曲线的方程为 22 1 22 xy 2 设点的坐标为 可得直线的斜率满足 即 A m nAO 1 3 n k m 3mn 以点为圆心 为半径的圆方程为 Oc 222 xyc 将 代入圆方程 得 解得 222 3nnc 1 2 nc 3 2 mc 将点代入双曲线方程 得 13 22 Ac c 2 2 22 3 1 2 2 1 c c ab 化简 得 222222 31 44 c bc aa b 将代入上式 化简 整理 得 222 cab 222 bca 4224 3 20 4 cc aa 两边都除以 整理 得 解得或 4 a 42 3840ee 2 2 3 e 2 2e 双曲线的离心率 该双曲线的离心率 负值舍去 1e 2e 14 解 解 1 因为 原点到直线 的距离 2 3 3 c a O abab d c ab 22 3 2 所以故所求双曲线的方程为 1 3 ba 2 2 1 3 x y 2 把代入中 消去