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基于小波奇异性的机械故障检测摘要：介绍了小波变换的基本原理及小波奇异性用于机械故障检测的基本原理，提出了一种基于小波奇异性的机械故障检测方法，并根据小波变换模极大值在不同尺度下的分布来完成故障的检测。仿真实验证实了该方法的可行性。关键词：小波变换；奇异性 ；机械故障检测 1 引言 小波分析(Wavelet Analysis)经过近二十年的发展，被认为是傅里叶分析发展史上里程碑式的进展。小波分析之所以得到人们的高度重视，一方面，它被看成是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶；另一方面它已经和将要广泛应用于信号处理、图像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、CT成倍、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障诊断与监控、分形以及数学电视等科技领域。 随着机械行业自动化水平的不断提高，为了保证生产的高效和安全，人们对生产设备状况的在线检测和故障诊断提出了更高的要求。在故障诊断领域，信号的奇异性或突变点通常包含了丰富的故障信息。确定信号奇异性的传统方法是根据Fourier变换收敛于零的快慢来判定该信号的奇异性及奇异性强弱.在机械设备故障诊断中，常常只对设备的局部区域所引起的信号局部变化感兴趣，这些信号由于非常微弱，能量很小，往往容易被噪声淹没而难以辨别。当故障诊断应用傅立叶变换进行分析时，不能进行局部化分析。而具有良好时频域局部化特性的小波变换，对信号奇异性、奇异点的位置及奇异度大小的分析尤为有效，能对信号的高频、短时成分准确地在时域和频域中进行分析，可将故障特征信号有效地分离出来，从而对故障作出分析与解析。本文利用小波奇异性原理进行机械系统故障检测，并通过仿真实验证实了该方法的可行性，取得了满意的效果。2 小波变换与信号的奇异性理论(1) 小波变换的基本理论 小波分析的基本思想是用一族函数去表示或逼近一信号或函数，这一族函数称为小波函数系，它是通过一基本小波函数的平移和伸缩构成的，用其变换系数即可描述原来的信号。 通常，我们称满足如下允许条件： (1)的平方可积函数（即）为一基本小波或小波母函数。把小波母函数进行平移和伸缩而成的函数 (2)称作分析小波,式中，为实数，分别称为伸缩和平移因子。连续小波变换定义为 (3)式中，*表示卷积，由式(3)可以得知，小波变换是尺度因子a和空间位置b的函数。小波变换通过在尺度上的伸缩和空间域(时域)上的平移来分析信号。(2) 小波奇异性理论定义1 设为非负整数,且,如果存在两个常数和及次多项式使得 (4)则称在点处为Lipschitz-类。如果对所有的，式（4）均成立，则在上是一致的Lipschitz-类。定义2 （信号的奇异性） 设为连续信号，如果在不是Lipschitz-1类，则称在处是奇异的。关于信号的奇异性有如下结论：函数的Lipschitz指数越大，则越光滑。函数在一点连续、可微或不连续但导数有界，Lipschitz指数均为1。如果函数在处Lipschitz指数小于1，称函数在该点是奇异的，因此，函数在处Lipschitz指数刻画了函数在该点的奇异性。信号的Lipschitz指数可以用其定义来计算，但过于复杂，且没有考虑噪声的影响。小波变换具有良好的局部化能力，且能更有效的刻画信号的局部奇异性。对孤立的奇异点，小波系数绝对值趋于零的速度小于其邻域小波系数绝对值趋于零的速度，这表明信号小波变换在该点取得局部模极大值。因而小波变换可以确定信号奇异点的位置和定量描述信号局部奇异性的大小。3 小波奇异性理论用于机械故障检测的基本原理信号的奇异性与小波变换的模极大值之间有如下的关系：设为一光滑函数，且满足条件，不妨设为高斯函数，即，令由于，因此，可取函数作为基小波。 对函数的关于的小波变换可写成 (5)其中， 仍为高斯函数，不妨设0,则 (6)积分可看作是函数f(x)用高斯函数按尺度进行光滑后的结果，当很小时,用对光滑的结果对的突变部分的位置及形状影响不大，由式(6)可知,小波变换模与尺度下光滑后函数的一阶导数成正比。因此，的极大值点对应的是的突变点，当尺度较小时, 的突变点就是本身的突变点。这说明小波变换模极大值的位置与信号突变之间存在一一对应关系。 下面介绍预备定理，它是利用小波变换进行机械故障检测的重要依据。定理1(预备定理)：对于平稳随机信号,其小波变换的均值为0，方差随着尺度因子的增大而趋于零。 证明：=(是的均值函数)。为了保证逆变换的存在，要求=0,则=0。 设,其中，是零均值平稳随机噪声，则 =。由于=0,则 =。噪声可以看成白噪声驱动的某个线性滤波器的输出。即*,则= *(t)。 设和分别是的功率谱和方差，和分别是,的FT,则= 。 令,=,则=，所以，随着尺度的增大，趋于零,也即是随着的增大趋于零。一般说来，机械设备在正常运转时，系统输出的信号由确定性信号和平稳随机噪声叠加而成，其小波变换是两部分小波变换之和。由上述预备定理，并根据小波奇异性理论的相关结论可知，确定性信号边沿对应的小波变换的模极大值随着尺度因子的增大将增大，或随着噪声的影响缓慢衰减。然而，平稳随机噪声作为平稳随机信号的一种，其小波变换的模极大值将随着尺度因子的增大而迅速衰减。因此，在大尺度下，信号的小波变换的模极大值将主要属于确定性信号的边沿。而机械故障信号的出现对应于确定性信号的边沿。根据这一原理，结合小波变换模极大值的位置与信号突变之间存在的一一对应关系，可以将信号的故障点与平稳噪声区别开来，实现机械故障的检测。4 仿真实验机械运转时，其运转的固有振动表现为一持久过程，能量连续释放，且积累值较大。而机械故障(如轴承、齿轮、封严装置的破裂，转子与机匣的运转碰撞等)产生的故障信号往往是阶跃信号或冲击信号，故障引起的冲击是异常短暂的过程，峰值能量较大，但积累量甚微，尤其故障初期引起的冲击量常常小于振动值，不易被察觉。鉴于此，将机械正常运转时产生的输出信号用正弦波表示，故障信号用冲击信号表示，噪声信号用方差为0.6的高斯白噪声表示。如下图所示，图1(a)、(b)分别表示不含噪声和包含噪声的机械系统输出信号。 图1 不含噪声和包含噪声的系统输出信号（均包含故障信号）从图1可以看出，由于噪声的影响，很难从系统的输出信号中找出故障发生的时刻，如果对系统输出信号进行傅里叶变换，将得到图2所示的波形。图2(a)、(b)分别表示不含噪声和包含噪声的机械系统输出信号的傅里叶变换。显然，采用傅里叶变换很难检测出故障发生的时刻。 图2系统输出信号的快速傅里叶变换结果图3含噪的系统输出信号4层db3小波分解结果图4含噪的系统输出信号在不同尺度下的模极大值 图3是采用db3小波进行连续小波变换的结果，小波变换尺度为4；图4是不同尺度下的模极大值。由图3和图4可以看出，在低尺度时，信号中出现了很多幅值较大的极值点，而随着尺度的增加，频率的降低，信号中的一些极值点急剧衰减乃至消失，这些极值点就是由噪声引起的。而在所有尺度下，在约t=526s处都出现了较大的极值，而且它不随尺度的增大而出现明显的衰减。该时刻就是系统发生故障的时刻。由于突变信号具有宽频谱特征,因此小波变换后，保留那些具有一定幅值且能沿尺度传播的模极大值点，找到对应突变点的极值链,然后利用逆变公式对信号重构,便可取出信号中的突变成分及突变时刻。5 结论 从以上论述可以看出，小波变换方法是对傅里叶变换方法的重大突破，具有良好的局部检测能力，它继承了傅里叶变换的优点，克服了傅里叶变换不能进行局部时频分析的不足。仿真实验结果表明，该方法灵敏度较高，克服噪声能力较强，而且不需要建立对象的数学模型，因此具有较大的实用价值。其缺点是在大尺度下信号波形会出现一定的延迟或小范围位移。 参考文献:1 周东华，叶银忠.现代故障诊断与容错控制M.北京：清华大学出版社,2000.2 崔锦泰.小波分析导论M.西安:西安交通大学出版社，1995.3 张家树.切片图象中的多目标检测及特征提取. 西南师范大学学报(自然科学版).1992,17(2):178-181.4 李世玲，李治.基于小波变换的传感器故障检测技术研究.机车电传动,2000(4).5 何正友,戴小文,钱清泉. 电力系统暂态信号的小波分析方法及其应用(二).电力系统及其自动化学报,2002(5).6 何正友,杨卿,钱清泉. 电力系统暂