高中数学新课标典型例题-正态分布

精品文档 1欢迎下载 借助于标准正态分布表求值借助于标准正态分布表求值 例例 设服从 求下列各式的值 1 0 N 1 2 3 35 2 P 24 1 P 54 1 P 分析 分析 因为用从标准正态分布 所以可以借助于标准正态分布表 查出其值 但由 于表中只列出的情形 故需要转化成小于非负值的概率 公 0 000 xxPx 0 x 式 和有其用 1 abbaPxx 1 00 xPxP 武之地 解 解 1 0094 09906 0 1 35 2 1 35 2 1 35 2 PP 2 1075 0 8925 0 1 24 1 1 24 1 24 1 P 3 54 1 54 1 54 1 54 1 54 1 PP 8764 0 1 54 1 2 54 1 1 54 1 说明 说明 要制表提供查阅是为了方便得出结果 但标准正态分布表如此简练的目的 并 没有给查阅造成不便 相反其简捷的效果更突出了核心内容 左边的几个公式都应在理解 的基础上记住它 并学会灵活应用 求服从一般正态分布的概率求服从一般正态分布的概率 例例 设服从试求 2 5 1 2 N 1 2 5 3 P 4 P 3 4 2 P 3 P 分析 分析 首先 应将一般正态分布转化成标准正态分布 利用结论 若 2 5 1 N 则由知 其后再转化为非负标 2 N 1 0 N x xP 准正态分布情况的表达式 通过查表获得结果 解 解 1 8413 0 1 2 5 15 3 5 3 P 精品文档 2欢迎下载 2 0030 0 75 2 1 75 2 2 5 14 4 P 3 4013 0 25 0 1 2 5 12 1 2 1 2 PP 4 2 5 13 2 5 13 1 2 3 PP 25 2 1 7734 0 25 2 75 0 7612 0 9878 0 1 7734 0 说明 说明 这里 一般正态分布 总体小于的概率值与和 2 Nx xF xP 是一样的表述 即 x x xFxP 服从正态分布的材料强度的概率服从正态分布的材料强度的概率 例例 已知 从某批材料中任取一件时 取得的这件材料强度服从 18 200 2 N 1 计算取得的这件材料的强度不低于 180 的概率 2 如果所用的材料要求以 99 的概率保证强度不低于 150 问这批材料是否符合这 个要求 分析 分析 这是一个实问题 只要通过数学建模 就可以知道其本质就是一个 正态分布 下求随机变量在某一范围内取值的概率 的问题 本题的第二问是一个逆向式问法 只要 把握实质反向求值即可 解 解 1 1 18 120180 1 180 1 180 PP 8665 0 11 1 11 1 1 1 11 1 2 可以先求出 这批材料中任取一件时强度都不低于 150 的概率为多少 拿这个结 果与 99 进行比较大小 从而得出结论 9973 0 78 2 78 2 1 1 78 2 1 18 200150 1 150 1 150 PP 即从这批材料中任取一件时 强度保证不低于 150 的概率为 99 73 99 所以这 批材料符合所提要求 说明 说明 不低于 的含义即在表达式中为 大于或等于 转化 小于 后 仍须再转 化为非负值的标准正态分布表达式 从而才可查表 公共汽车门的高度公共汽车门的高度 精品文档 3欢迎下载 例例 若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在 1 以下设计 的 如果某地成年男子的身高 单位 则该地公共汽车门的高度应设 36 175 N 计为多高 分析 分析 实际应用问题 分析可知 求的是门的最低高度 可设其为 使其总体 cm x 在不低于的概率值小于 1 即 从中解出的范围 x 101 0 xP x 解 解 设该地公共汽车门的高度应设计高为cm 则根据题意可知 x 1 xP 由于 36 175 N 所以 01 0 6 175 1 1 x xPxP 也即 99 0 6 175 x 通过查表可知 33 2 6 175 x 解得 98 188 x 即该地公共汽车门至少应设计为 189cm 高 说明 说明 逆向思维和逆向查表 体现解决问题的灵活性 关键是理解题意和找出正确的 数学表达式 学生成绩的正态分布学生成绩的正态分布 例例 某班有 48 名同学 一次考试后数学成绩服从正态分布 平均分为 80 标准差为 10 问从理论上讲在 80 分至 90 分之间有多少人 分析 分析 要求 80 分至 90 分之间的人数 只要算出分数落在这个范围内的概率 然后乘 以总人数即可 而计算这个概率 需要查标准正态分布表 所以应首先把这个正态总体化 成标准正态总体 解 解 设x表示这个班的数学成绩 则x服从 10 80 2 N 设则z服从标准正态分布 10 80 x Z 1 0 N 查标准正态分布表 得 5000 0 0 8413 0 1 所以 3413 0 5000 08413 0 0 1 10 10 8090 10 80 10 8080 9080 zp x pxp 精品文档 4欢迎下载 163824 163413 048 说明 说明 这类问题最容易犯的错误是没有转化成标准正态分布就直接求解