等比数列教学内容分析

等比数列内容分析 组长 贾富杰 小组成员 王娇 魏红艳 吴菲菲 马永胜 陈扶禄 一 结构分析 1 单科结构分析 知识结构 1 等比数列的定义 2 等比数列通项公式 3 前 n 项和公式 4 等比中项的概念及意义 5 等比数列的基本性质 教学重点 掌握等比数列的定义 理解等比数列的通项公式及推导 教学难点 灵活运用等比数列的定义及通项公式解决相关问题 在具体问题中 抽象出等比数列模型及掌握重要的数学思想方法 关键点 等比数列的通项公式及前 n 项和公式的基本掌握 教学安排 回顾旧知 导入新课 通过感性材料的引入 比如 给我一张纸 我能够将它折成五层楼 那么高 假设我的力气足够大 这可能吗 你如果能将一张报纸对折 38 次 我就能顺着它在今晚爬上月球 将 一张纸对折会有那么大的高度吗 通过上述兴趣材料的引入 激发学生的学习兴趣 从而让学生带着 疑问进入本节课的学习 2 讲授新课 构建新知 给出一组数字 让学生观察这组数字的共同特点 从而导出等比数 列的概念 由等比数列的概念给出数组判断其是否为等比数列 推 导等比数列的通项公式 递推法 连乘法等 3 例题讲解 梳理知识 通过相关应用题目使所学知识得到进一步提升 或者通过概念型例 题引发学生思考从而对等比数列的通项公式熟练掌握 例题 一个等比数列的第三项与第四项分别为 12 和 18 求它的第 一项与第二项 4 自我检测 形成技能 5 给出一些生活中的实际例子 使本节所学理论上升到实践 通过对上述现实问题的分析即可使本课与实际相联系 二 数学思想方法分析 1 函数思想 将数列问题转化为函数问题 通过对函数的分析计算 让学生逐步解决等比数列的问题 掌握等比数列的实质是运用函数 来解决数列问题 通过各种函数计算 解决问题 2 待定系数法和配方法 等比数列运用函数来解决问题 函数这一 部分用到许多数学方法 由已知条件求等比数列表达式的问题 很 多都是用待定系数法来解的 通过已知条件 转化条件 列出方程 组 解方程组求得等比数列 三 功能分析 1 智力价值 理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法 掌握等比数列的前 n 项 和公式并能运用公式解决一些简单问题 2 思想教育价值 提高学生的建模意识 体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方 法 渗透方程思想 分类讨论思想 优化思维品质 3 应用价值 培养学生将数学学习放眼生活 用生活眼光看数学的思维品质 四 背景分析 1 人类在古代随着自然数 分数的概念和四则运算的产生 为了生 产与生活的需要 就产生了数列的知识 在世界数学史上 对级数 数列 的讨论具有悠久的历史 中国 巴比伦 古希腊 埃及和印 度等 都曾经研究过级数 中国古代数学名著 周髀算经 九章算 术 孔子算经 张邱建算经 等 对等差级数 a a b a 2b a 3b a n 1 b 和等比级数 a aq aq2 aq3 aqn 1 都列举出计算的例子 说明中国 古代对级数的研究曾作出过一定的贡献 古老的 易经 一书中写 道 是故 易 有太极 是生两仪 两仪生四象 四象生八卦 实际上 这种分割 已经寓有数学中等比数列的思想 著于东汉 25 年 220 年 初年的中国古代数学名著 九章算术 均输章中 第 19 题 今有竹九节 下三节容四升 上四节容三升 问中间两节欲 均容 各多少 解得各节的容量是 1 1 1 1 1 源于古代的一些实际问题 古埃及国王拉阿乌斯有位能干的文 书阿默斯 他用象形文字写了一部 算书 记录了公元前 2000 年 前 1700 年间数学研究的一些成果 其中有这样一题 题中画 了一个阶梯 其各级注数为 7 49 343 2401 16807 并在数 旁依次画了人 猫 鼠 大麦和量器 原书上并无任何说明 遂成 为数学史上的一个难解之谜 2000 多年中无人能解释 直到中世 纪 意大利斐波那契在 1202 年发表了 算盘全书 书中这样一题 今有七老妇人同往罗马 每人有七骡 每骡负七袋 每袋盛有七个 面包 每个面包有七小刀随之 每小刀配有七鞘 问列举之物全数 共有几何 显然这是一个等比数列的求和问题 由此也基本解开 了阿默斯之谜 原来阿默斯问题的意思是 今有七人 每人有七猫 每猫食七鼠 每鼠食七只大麦穗 每穗可长成大麦七量器 由此可 得之数列如何 当然这仅仅是推测 我国古代数学家也早就研究过 等比数列的问题 孙子算经 中有一个有趣的题目 出门望九堤 今有出门重九堤 堤有九木 木有九枝 枝有九巢 巢有九禽 禽 有九雏 维有九毛 毛有九色 问各几何 国际象棋起源于印度 据说国王舍罕为了奖赏发明者西萨 班 达依尔 让他提出一个要求 于是这位聪明的发明者说 尊敬的陛下 请在棋盘的第 1 格里放 上 1 颗麦粒 第 2 格里放上 2 颗麦粒 在第 3 格里放上 4 颗麦粒 以此类推 每一格里的麦粒是前一格里放的 2 倍 直至 64 格 请陛 下把这些麦粒赏给您的仆人吧 国王觉得这事不难 就欣然同意了 请问 国王能办到吗 大约公元前 320 年 欧几里得的 几何原本 第五卷详细探讨了关于比例的理论 并且把它们推广到各种量 此 外还证明了它可以应运到可通约的量 也可应运到不可通约的量 希思认为 希腊没有什么更好的发现比这个理论更能令人夸耀了 一般都公认 该卷中大部分是欧多克索斯和泰阿泰德的工作 但是 把它们编排的合乎逻辑次序 应该归功于欧几里得 书中关于比值 和比例的基本概念是这样定义的 各个量在被乘时仍能保持各量间的相应比数称为彼此间有一比值 定义 4 所谓成等比的诸量 如第一量和第二量之比等于第三量和第四量之 比 是指在以等倍数乘第一量与第三量 并以任何等倍数乘第二量 和第四量时 前者的等倍数必相同地大于 或相同地等于 或相同 地小于后者相应的倍数 定义 5 成等比的诸量称为比例量 定义 6 第六卷把第五卷已经建立起来的关于比例的一般理论应运到平面图 形上去 第七 八 九卷与算术即关于数的理论有关 单位的定义是 用它 把每个存在的事物称为 1 奇数和偶数 素数和合数 平方数和立 方数 完全数等都有了定义 例如一个完全数就是 等于它的各部 分之和的数 即等于它的所有因子 包括 1 之和 第七卷中的命 题 1 指出 若在两个等数中 每当从大数中尽可能地减去小数 再 从小数中尽可能地减所得余数 又从前一余数中尽可能地减去下一 余数 如此下去 并且任何余数都不是前一余数的约数 直至达到 1 为止 则此二位给定数互为素数 这个命题是用归谬法来证明的 从它可以得出求不是互素的两个或三哥数的最大公约数的方法 第 九卷 命题 35 提出一个巧妙的方法来求几何级数的和 如果有任 意多个数成连比例 并且第二个和最后一个数都可以减去第一个数 则第二个数的增量与第一个数之比 将等于最后一个数的增量与最 后一个数前面的所有数之和的比 例如 若级数 1 2 3 1 且 1 1 2 1 即 1 1 1 2 1 1 现在 如果有任意多个数成比例 则由于任前一项和后一项之比等 于所有前项的和与所有后项的和之比 故将所有前项与所有后项相 加 既得 1 1 1 1 2 1 1 从这个关系即可确定 2 等比数列与其他知识的联系 等比数列与极限 3 等比数列的实际应用 1 产值模型 2 产值模型 3 分期付款模型 4 存储模型 五 要素分析 1 感性材料 通过引入 一尺之锤 日取其半 万世不竭 导出等 比数列 2 概念和命题 概念 1 数学概念名称 等比数列 2 数学概念定义 等比数列是说如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项 的比值等于同一个常数 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常 用字母 q 表示 q 0 等比数列 a1 0 注 q 1 时 an为常数列 3 数学概念例子 an 2n是首项为 1 公比为 2 的等比数列 命题 1 若 an 是等比数列 公比为 q1 bn 也是等比数列 公比是 q2 则 a2n a3n 是等比数列 公比为 q1 2 q1 3 can c 是常数 an bn an bn 是等比数列 公比为 q1 q1q2 q1 q2 2 若 m n p q N 且 m n p q 则 am an ap aq 3 若 G 是 a b 的等比中项 则 G 2 ab G 0 3 例题 a 设 ak al am an 是等比数列中的第 k l m n 项 若 k l m n 求证 ak al am an a 1 k a n k a1 an b 在各项均为正数的等比数列 an 中 a2 12a3 a1 成等差数列 则 a4 a5a3 a4 的值为 A 5 12 B 5 12 C 1 52 D 5 12 或 5 12 答案 B 解析 设 an 的公比为 q 则 q 0 a2 12a3 a1 成等差数列 证明 设等比数列的首项为 a1 公比为 q 则 ak a1 q k 1 al a1 q l 1 am a1 q m 1 an a1 q n 1 所以 ak al a 2 q k l 2 am an a 2 q m n 2 故 ak al am an 例题分析 这个例题是等比数列的一个重要性质 它在解题中 常常会用到 它说明等比数列中距离两端 首末两项 距离等远的两 项的乘积等于首末两项的乘积 即 a 1 k a n k a1 an 对于等差数列 同样有 在等差数列中 距离两端等这的两项 之和等于首末两项之和 即 a3 a1 a2 a1q2 a1 a1q a1 0 1 q q2 又 q 0 q 5 12 a4 a5a3 a4 q 5 12 例题分析 本题结合了等差数列与等比数列的性质 4 习题 解 设等比数列的公比是 q 显然 q 不等于 1 则 Sn a1 1 q n 1 q 48 S2n a1 1 q 2n 1 q 60 把上面两式相比得到 q n 1 4 所以 s3n a1 1 q 3n 1 q S3n Sn 1 q 3n 1 q n 1 q n q 2n 1 1 4 1 16 21 16 所以 S3n 21 16 Sn 21 16 48 63 a 等比数列 an 前 n 项和为 Sn Sn 48 S2n 60 S3n 六 学习结果 形式类型与任务分析 1 学习结果类型分析 a 数学事实 数学符号有 及 q 数学名称有等比数列 n a n s 等比中项公比及首项 b 数学概念 等比数列及公比的定义 c 数学原理 数学归纳法 d 数学问题解决 运用等比数列的概念及通项公式会求公比 q 前 n 项和与数列中具体的某一项 b 已知等比数列 an 的公比 q 12 1 若 a3 14 求数列 an 的前 n 项和 2 证明 对任意 k N ak ak 2 ak 1 成等差数列 解 1 由 a3 a1q2 14 及 q 12 得 a1 1 所以数列 an 的前 n 项和 Sn 3 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 n n 2 证明 对任意 k N 2ak 2 ak ak 1 2a1qk 1 a1qk 1 a1qk a1qk 1 2q2 q 1 由 q 12 得 2q2 q 1 0 故 2ak 2 ak ak 1 0 所以 对任意 k N ak ak 2 a k 1成等差数列 e 数学思想方法分析 归纳法 叠乘法 迭代法与类比法 f 数学技能 运算 推导与数学交流 g 数学认知策略 通过联