北京市2013届高三数学12月联考试题 理 北师大版

1 东城区普通校东城区普通校 2012 20132012 2013 学年第一学期联考试卷学年第一学期联考试卷 高三高三 数学 理科 数学 理科 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共 150 分 考试用时 120 分钟 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利 第第 卷卷 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题列出的四个选项中 只分 在每小题列出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 选出符合题目要求的一项填在机读卡上 有一项是符合题目要求的 选出符合题目要求的一项填在机读卡上 1 若集合 0Ax x 且ABB 则集合B可能是 A 1 2 B 1x x C 1 0 1 D R 2 复数 1 1 i 在复平面上对应的点的坐标是 A 11 B 11 C 1 1 D 1 1 3 已知 m n是两条不同直线 是三个不同平面 下列命题中正确的是 A 若则 B mnmn 若则 C mnmn 若则 D mm 若则 4 一个棱锥的三视图如图 尺寸的长度单位为m 则该棱锥的体积是 A 3 4 B 8 C 4 D 3 8 正视图 侧视图 俯视图 5 设变量yx 满足约束条件 01 042 022 x yx yx 则目标函数xyz32 的最大值为 A 3 B 2 C 4 D 5 6 已知数列 n a为等比数列 2 74 aa 8 65 aa 则 101 aa 的值为 A 7 B 5 C 5 D 7 2 7 已知函数 xf在 0 上是增函数 xfxg 若 1 lggxg 则x的 取值范围是 A 10 B 10 10 1 C 10 0 D 10 10 1 0 8 设 1 F 2 F分别为双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点 若在双曲线右支上存 在点P 满足 212 PFFF 且 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲线的实轴长 则该双 曲线的渐近线方程为 A 340 xy B 350 xy C 540 xy D 430 xy 第第 卷卷 非选择题 共非选择题 共 110110 分分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 已知 5 3 sin 且 为第二象限角 则 tan的值为 10 已知向量 1 2 1 0 3 4 abc 若 为实数 ab c 则 的值为 11 椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 12 F F 点P在椭圆上 若 1 4PF 12 FPF 的小大为 12 若曲线 2 1 2 3 2 xxy的某一切线与直线34 xy平行 则切点坐标 为 切线方程为 13 若0 0 2abab 则下列不等式对一切满足条件的 a b恒成立的 是 写出所有正确命题的编号 1ab 2ab 22 2ab 33 3ab 11 2 ab 14 已知函数 2 1ln xxaxf 在区间 1 0 内任取两个实数qp 且qp 不等式1 1 1 qp qfpf 恒成立 则实数a的取值范围为 3 P D B A C E 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 证明过程分 解答应写出文字说明 证明过程 或演算步骤 或演算步骤 15 本小题满分13分 已知 在ABC 中 a b c分别为角A B C所对的边 且角C为锐角 1 cos2 4 C 求Csin的值 当2 a CAsinsin2 时 求b及c的长 16 本小题满分13分 已知 函数 sin 0 2 f xMxM 的部分图象如图所示 求 函 数 f x的 解 析 式 在 ABC中 角CBA 的 对 边 分 别 是cba 若 2 coscos 2 A acBbCf 求 的 取 值 范 围 17 本小题满分13分 已知 如图 在四棱锥ABCDP 中 四边形ABCD为正方形 ABCDPA面 且2 ABPA E为PD中点 证明 PB 平面AEC 证明 平面 PCD平面PAD 求二面角DACE 的正弦值 18 本小题满分 13 分 已知 数列 n a的前n项和为 n S 且满足naS nn 2 Nn 求 1 a 2 a的值 求 数列 n a的通项公式 若数列 n b的前n项和为 n T 且满足 nn nab Nn 求数列 n b的 前n项和 n T 19 本小题满分 14 分 4 已知 函数 1ln 2 1 2 xaxxxf 其中Ra 若2x 是 xf的极值点 求a的值 求 xf的单调区间 若 xf在 0 上的最大值是0 求a的取值范围 20 本小题满分14分 已知椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 6 3 椭圆短轴的一个端点与两个焦 点构成的三角形的面积为 5 2 3 求椭圆C的方程 已知动直线 1 yk x 与椭圆C相交于A B两点 若线段AB中点的 横坐标为 1 2 求斜率k的值 若点 7 0 3 M 求证 MA MB 为定值 东城区普通校东城区普通校 2012 20132012 2013 学年第一学期联考试卷答题纸学年第一学期联考试卷答题纸 高三 数学 理科 命题校 125 中 2012 年 12 月 第第 卷卷 请将 1 至 8 题的答案填涂在答题卡 即机读卡 相应的位置上 班级 姓名 学号 5 第第 卷卷 9 10 11 12 13 14 15 解 16 解 班级 姓名 学号 6 P D B A C E 17 解 18 解 7 19 解 8 20 解 东城区普通校东城区普通校 2012 20132012 2013 学年第一学期联考答案学年第一学期联考答案 高三数学 理科 参考答案 以下评分标准仅供参考 其它解法自己根据情况相应地给分 一 选择题 1 A 2 D 3 B 4 A 5 C 6 D 7 B 8 D 二 填空题 9 4 3 10 2 1 11 120 9 12 1 2 24 xy 13 14 15 15 本小题满分13分 解 解 因为 cos2C 1 2sin2C 1 4 及 2 0 C 所以 sinC 10 4 4 分 解 当 a 2 2sinA sinC 时 由正弦定理 ac sinAsinC 得 c 4 7 分 由 cos2C 2cos2C 1 1 4 及 2 0 C得 cosC 6 4 9 分 由余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC 得 b2 6b 12 0 12 分 解得 b 26 13 分 16 本小题满分13分 解 由图像知1 M xf的最小正周期 612 5 4T 故2 2 分 将点 1 6 代入 xf的解析式得1 3 sin 又 2 故 6 所以 6 2sin xxf 5 分 由CbBcacoscos 2 得CBBCAcossincos sinsin2 所以ACBBAsin sin cossin2 8 分 因为0sin A 所以 2 1 cos B 3 B 3 2 CA 9 分 6 sin 2 A A f 3 2 0 A 6 5 66 A 11 分 1 6 sin 2 2 1 A A f 13 分 17 本小题满分13分 10 O E C A B D P P D B A C E z y x E C A B D P 解 证明 连结 BD 交 AC 于点 O 连结 EO 1 分 O 为 BD 中点 E 为 PD 中点 EO PB 2 分 EO 平面 AEC PB 平面 AEC 3 分 PB 平面 AEC 证明 PA 平面 ABCD CD平面 ABCD CDPA 4 分 又 在正方形 ABCD 中ADCD 且AADPA 5 分 CD 平面 PAD 6 分 又 CD平面 PCD 平面 PCD平面PAD 7 分 如图 以 A 为坐标原点 APADAB 所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立 空 间直角坐标系 8 分 11 由 PA AB 2 可知 A B C D P E 的坐标分别为 A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 P 0 0 2 E 0 1 1 9 分 PA 平面 ABCD AP是平面 ABCD 的法向量 AP 0 0 2 设平面 AEC 的法向量为 zyxn 0 2 2 AC1 1 0 AE 则 0 0 ACn AEn 即 0 022 00 yx zy yx yz 令1 y 则 1 1 1 n 11 分 3 1 32 2 cos nAP nAP nAP 12 分 二面角DACE 的正弦值为 3 6 13 分 18 本小题满分 13 分 解 naS nn 2 令1 n 解得1 1 a 令2 n 解得3 2 a 2 分 naS nn 2 12 所以 1 2 11 naS nn 2Nnn 两式相减得12 1 nn aa 4 分 所以 1 21 1 nn aa 2Nnn 5 分 又因为21 1 a 所以数列 1 n a是首项为2 公比为2的等比数列 6 分 所以 n n a21 即通项公式12 n n a Nn 7 分 nn nab 所以nnnb nn n 2 12 所以 2 323 222 121 321 nnT n n 321 2232221 321 nnT n n 9 分 令 n n nS2232221 321 132 22 1 22212 nn n nnS 得 1321 22222 nn n nS 1 2 21 21 2 n n n nS 11 分 11 2 1 22 21 2 nnn n nnS 12 分 所以 2 1 2 1 2 1 nn nT n n 13 分 19 本小题满分 14 分 解 1 1 1 xaax fxx x 依题意 令 2 0 f 解得 1 3 a 经检验 1 3 a 时 符合题意 4 分 解 当0 a时 1 x fx x 13 故 xf的单调增区间是 0 单调减区间是 0 1 5 分 当0a 时 令 0fx 得 1 0 x 或 2 1 1x a 当10 a时 f x与 fx 的情况如下 x 1 1 x 1 x 12 x x 2 x 2 x fx 0 0 f x 1 f x 2 f x 所以 f x的单调增区间是 1 0 1 a 单调减区间是 0 1 和 1 1 a 当1 a时 xf的单调减区间是 1 当1a 时 2 10 x f x与 fx 的情况如下 x 2 1 x 2 x 21 xx 1 x 1 x fx 0 0 f x 2 f x 1 f x 所以 f x的单调增区间是 1 1 0 a 单调减区间是 1 1 1 a 和 0 当0 a时 xf的单调增区间是 0 单调减区间是 0 1 综上 当0a 时 xf的增区间是 0 减区间是 0 1 当10 a时 f x的增区间是 1 0 1 a 减区间是 0 1 和 1 1 a 当1 a时 xf的减区间是 1 当1a 时 f x的增区间是 1 1 0 a 减区间是 1 1 1 a 和 0 11 分 由 知 0a 时 xf在 0 上单调递增 由0 0 f 知不合题意 当10 a时 xf在 0 的最大值是 1 1 f a 由 1 1 0 0ff a 知不合题意 当1 a时 xf在 0 单调递减 可得 xf在 0 上的最大值是0 0 f 符合题意 所以 xf在 0 上的最大值是0时 a的取值范围是 1 14 分 20 本题满分14分 解 解 因为 22 22 1 0 xy ab ab 满足 222 abc 6 3 c a 2 分 14 15 2 2 23 bc 解得 22 5 5 3 ab 则椭圆方程为 22 1 5 5 3 xy 4 分 1 将 1 yk x 代入 22 1 5 5 3 xy 中得 2222 1 3 6350kxk xk 6 分 4222 364 31 35 482