第61课直线的方程

高考数学第一轮复习 85 课 通用篇 第 61 课 直线的方程 第 61 课 直线的方程 一 考纲要求 1 了解确定直线位置的几何要素 两个点 一点和方向 2 掌握直线方程的几种形式 点斜式 斜截式 两点式 截距式及一般式 的特点与适用范围 能根据 问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程 3 熟悉直线方程各形式的特征 理解各形式之间的关系 会由已知直线方程求相关的特征量 二 知识梳理 回顾 1 直线 经过点 斜率为 则它的点斜式方程是 若直线 在轴上的l 11 P x ykly 截距为 斜率为 则它的方程是 bk 2 直线 经过点 则它的两点式方程是 若直线l 11122212 P x yP xyxx 在轴上的截距为 在轴上的截距为 则它的截距式方程是 lx 0a a y 0b b 3 直线方程的一般式是 则满足的条件为 0AxByC A B 解析 1 确定一条直线需要两个独立的条件 一是方向 斜率或倾斜角 二是位置 一个定点 2 直线的点斜式方程是其他各种形式的基础 除了一般式 其余各种形式都有其局限性 点斜式 斜截式 不能表示垂直于轴的直线 两点式 截距式 不能表示垂直于的直线 截距式还不能表示过原点的直x x y 线 3 求直线的方程主要有两种方法 直接法 根据已知条件 选择适当的形式 直接写出直线的方程 待 定系数法 先设出直线方程 根据已知条件求出待定的系数 再代入 求出直线方程 4 分类讨论 数形结合是常用的数学思想 分类讨论主要是针对斜率存在与不存在 三 诊断练习 1 教学处理 课前由学生自主完成 4 道小题 并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏 课前抽查批阅部 分同学的解答 了解学生的思路及主要错误 2 诊断练习点评 1 已知点 则直线的方程为 4 6 2 4AB AB 分析与点评 本题根据两点式方程的形式 直接写出直线方程 然后化简得 另外 教学中 提2yx 醒学生 1 本题还可用待定系数法或用斜率公式求出直线的斜率 转化为根据斜截式方程写出直线方程 2 求直线的方程 如果没有特殊的要求 最后的结果一般要写成直线的一般式或直线的斜截式方程 2 已知直线 经过点 且斜率与直线的斜率相等 则直线 的方程是 l 1 2P23yx l 分析与点评 求出直线的斜率后 由直线的点斜式写出 的方程 23yx l24yx 3 过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 3 4 分析与点评 1 一般地 学生会通过设出直线的截距式方程来求 要提醒学生 这种解法的前提是直线在 轴上的截距不能等于 所以 需要将截距为的情况补充上去 从而得到所求的直线方程为 x y00 或 4 3 yx 10 xy 2 除了本题这类问题要考虑是否过原点外 另外 还有一些其它的问题同样也要考虑 如直线在两坐标轴 上截距成相反数 直线在标轴上的截距是在轴上的截距的多少倍等 处理此类问题 要注意分类讨论思xy 想的应用 注意思维的严谨性 题 4 若直线在轴上的截距是 则 22 23212600mmxmmymm x3 m 高考数学第一轮复习 85 课 通用篇 第 61 课 直线的方程 分析与点评 1 根据直线的方程求出它在轴上的截距 令它等于 则可得到答案 求出答案x3 5 3 m 后要验证斜率是否存在 2 根据直线的方程来求直线在轴上的截距有两种方法 在方程中令 则可得到它在轴上的 x y0 x y 截距 令 则可得到它在轴上的截距 将直线方程化为斜截式方程就可得到它在轴上的截距 0y xy 3 要点归纳 1 求直线的方程 要掌握常用的两种方法 一是直接法 二是待定系数法 2 在求直线的方程时 一定要注意各种不同形式的方程的适用范围 要树立分类讨论的意识及数形结合的 意识 四 范例导析 例 1 已知直线 过点 l 5 2A 1 直线 的斜率为 2 求直线 的方程 ll 2 直线 经过点 求直线 的方程 l 3 2B l 3 直线 在两个坐标轴上截距互为相反数 求直线 的方程 ll 教学处理 由学生进行板演 根据学生出现的问题进行点评 提示 引导分析与精讲建议 提出以下问题 请学生思考 问题 1 已知直线的斜率及其过一定点 我们应该用直线的什么形式来求它的方程 由直线的点斜式方程得所求直线方程为 即 225yx 28yx 问题 2 已知直线经过两点 此时你有多少种方法求直线的方程 方法一 应用两点式方程得 即 25 2235 yx 28yx 方法二 转化为点斜式来求 由题意得直线的斜率为 故由直线的点斜式方程得所求直线 22 2 53 k 方程为 即 225yx 28yx 方法三 待定系数法 设直线 的方程为 则根据题意得 解得 所以 所求lykxb 25 23 kb kb 2 8 k b 的直线方程为 28yx 问题 3 直线方程的截距式方程适用范围是什么 问题 4 直线在坐标轴上截距互为相反数 直线的方程能设为吗 类似地 直线在坐标轴上的截1 xy aa 距相等 直线的方程能设为吗 1 xy aa 问题 5 直线在坐标轴上的截距互为相反数 直线的斜率为 对吗 类似地 直线在坐标轴上的截距相等 1 直线的斜率为吗 1 由直线过原点时得 直线方程为 直线不过原点时 设直线为 代入点得 2 5 k 2 5 yx 1 xy aa 5 2A 此时直线为 3a 30 xy 例 2 过点作直线 使它被两直线所截得的线段恰好 0 1Ml 12 3100 280lxylxy AB 被平分 求直线 的方程 Ml 教学处理 请学生根据条件画出图形 进行独立思考 然后请学生回答 教师点评并板书过程 引导分析与精讲建议 可提出以下问题与学生交流 高考数学第一轮复习 85 课 通用篇 第 61 课 直线的方程 问题 1 确定直线位置的几何要素有哪些 两个点 一点和方向 问题 2 本题已经有一个要素 点 那么另一要素你选择什么 0 1M 问题 3 若另一要素选择另一点 比如点 则它在上 从而 那么你能找到点满 A a b 1 l3100ab A 足的另一个条件吗 解法一 因为的中点为 故 它在上 故 与上式联立解AB 0 1M 2Bab 2 l 2280ab 得 故 直线 方程为 4 2 a b 1 4 k l440 xy 问题 4 若另一要素选择 方向 斜率 首先要注意什么 分类讨论 此时 你如何处理本题 方法k 一 显然直线 垂直于轴时 不成立 故设直线 的方程为分别与的方程联立成方程组 解lxl1ykx 12 l l 得 从而 故 方法二 将方程构成方程 77 312 AB xx kk 77 0 312kk 1 4 k 12 l l 将直线 与之相联立 得 从而 310280 xyxy l 22 253287490kkxkx 故 方法二应用了整体思想 2 287 0 253 k kk 1 4 k 变式 在中 已知 且边的中点在轴上 边的中点在轴上 求 ABC 5 2 7 3AB ACMyBCx 1 顶点的坐标 2 直线的方程 CMN 答案 1 2 5 3C 5250MNxy 例 3 直线 过点 分别与轴的正半轴交于点为坐标原点 l 2 1P x y A B O 1 当的面积最小时 求直线 的方程 AOB l 2 当取最小值时 求直线 的方程 PA PB l 教学处理 要求学生根据条件画出图形 分析求直线 的方程所需要的条件 确定还需要哪些条件 一般l 地 若已知一点求直线的方程 可以采用点斜式方程 若题目与截距相关 亦可采用截距式 其它的均可转 化为这两种中的一种 引导分析与精讲建议 可提出以下问题与学生交流 问题 1 求最值 在于建立函数关系 而函数的建立在于自变量的选择 你有几种选择方案 问题 2 若选择作为自变量 它的取值范围是什么 的解析式是什么 解法一 k AOB S 由基本不等式得到等号成立时 从而直线 的方程为 14 40 2 AOB Skk k 1 2 k l240 xy 问题 3 若直线方程应用截距式 此时又该解决本题 解法二 由点在直 10 0 xy ab ab 2 1P 线 上得 故 等号成立时 从而 此时直线 的方程为l 212 12 abab 8ab 211 2ab 4 2ab l 240 xy 问题 4 你还有其它选择自变量的方法吗 直线的方向除了用斜率表示外 还可怎样表示 能用它作为自 变量吗 解法三 设 则 0 2 BAO 12 2tan1 2tan AOB S 高考数学第一轮复习 85 课 通用篇 第 61 课 直线的方程 问题 5 你能应用上述方法来解决问题的第 2 问吗 请你比较这三种方法在处理这两个问题中的繁简性 你有什么样的认识 由解法一 等号成立时 直线方程为 2 2 4 844PA PBk k 1k 30 xy 解法二 消去得 22 2141PA PBab a 2 2 16 81164 1 PA PBb b 当且仅当时 等号成立 直线方程为 3ab 30 xy 解法三 124 sincossin2 PA PB 回顾 一题多解时 要注意择优选取 体现通性通法 提高思维的灵活性 五 当堂反馈 1 若直线 经过二 三 四象限 则其斜率 且在轴上的截距 lkyb 分析与点评 0k 0b 2 光线经过点射到直线上 反射后过点 则反射光线所在直线的方程为 2 3P10 xy 1 1Q 分析与点评 根据光线反射定律 反射光线经过点关于直线的对称点 从而P10 xy 4 3P 所以反射光线所在直线的方程为 即 4 5 k 4 11 5 yx 41 55 yx 3 过点且倾斜角的正弦值为的直线方程是 1 2 4 5 分析与点评 设倾斜角为 则 从而 故 所以 所求的直线方程为 4 sin 5 3 cos 5 4 3 k 或 42 33 yx 410 33 yx 4 已知直线 过点 分别交轴于点为坐标原点 则当最小时 直线 的方l 1 2P x y A B OOAOB l 程为 分析与点评 设直线 为 从而 故l 10 0 xy ab ab 12 1 ab OAOBab 12 ab ab 当且仅当 故 此时 的方程为 2 332 2 ba ab 2ba ab 21 22ab l 1 2122 xy