向量,三角恒等变换,解三角形,数列基本公式

向量知识点向量知识点 一 向量有关概念 名称定义备注 向量既有 又有 的量 向量不能比较大小 向量的模 向量的大小叫做向量的 或 记为 若已知 则 ax y 模可以比较大小 22 axy 零向量长度为 的向量 记为 零向量与所有向量平行 与所有向量垂直 单位向量长度等于 的向量 平行向量方向 或 的非零向量 共线向量 向量又叫共线向量 与任一向量平行或共线 0 直线平行 不包括重合情况 共线向量 包括重合情况 若 都是非零向量 a b 存在实数 使a b Aab 相等向量长度 且方向 的向量 特点 1 长度相等 2 平行且方向一致 相反向量 长度 且方向 的向量 的相反向量是本身0 特点 1 长度相等 2 平行且方向相反 a 二 向量的线性运算 向量运算定义法则 或几何意义 备注 三角形法则 ABBCAC 特点 首尾相连 始终如一 在中 ABCA0ABBCCA 加法求两个向量和的运算 平行四边形法则 ABACAD 特点 共同始点为相邻边的和是平行四 边形中有共同始点的对角线 减法 求与的相反向量a b 的和的运算叫做b 与的差a b 三角形法则 ACABBC 特点 差向量是从减向量的终点指向被 减向量的终点 A B C A B C A B C A B C AB C D A B C 数乘 求实数与向量的 a 积的运算 1 当 a 2 当时 与的方向 当时 与的方向0 a a 0 a a 当时 当时 则 0 a 0a R 0 三 向量的表示方法 1 字母表示法 如 2 几何表示法 用一条 表示向量 a AB 3 坐标表示法 在平面直角坐标系中 设向量的始点为坐标原点 OA 终点坐标为 A X Y 则向量坐标记为 X Y OA 四 两个向量的夹角 1 定义 已知两个 向量与 作 则叫做向量与的夹角 a b OAa OBb AOB a b 2 范围 与同向时 夹角 与反向时 夹角 00 0180 a b a b 3 向量垂直 如果向量与的夹角是 时 则与垂直 记为 a b a b 五 平面向量基本定理及坐标表示 1 定理 如果 是同一平面内的两个 向量 那么对于这一平面内的任意向量 一对实 1 e 2 e a 数 使 其中 叫做表示这一平面所有向量的一组基底 1 2 a 2 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量 叫做把向量正交分解 3 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中 分别取与 X 轴 Y 轴方向相同的两个单位向量 作为基底 i j 对于平面内的一个向量 有且只有一对实数对 X Y 使 把有序实数对 叫做向量的坐a axiy j a 标 记作 其中 叫做在 X 轴上的坐标 其中 叫做在 Y 轴上的坐标 即 a a a axiy j X Y a 六 平面向量的坐标运算 1 向量坐标求法 已知 则 即一个向量的坐标等于该向量 11 A x y 22 B xy 2121 ABxx yy 的坐标减去 的坐标 2 向量坐标加法 减法 数乘运算 设 11 ax y 22 bxy 加法 减法 数乘 a b 1212 xxyy a b 1212 xxyy 1111 axyx y 3 平面向量共线与垂直的表示 设 其中 则 11 ax y 22 bxy 0b 与共线 或 a b a b A 11 1221 22 0 xy abx yx y xy a b 1212 00a bx xy y A A B O 七 平面向量数量积 1 已知两个非零向量与 它们的夹角为 把数量 叫做与的数量积 或内积 记作 a b a b a b 即 并规定零向量与任一向量的数量积为 a b 注 两个非零向量和的数量积是一个数量 不是向量 其值为两向量的模与它们夹角的余弦的乘积 其符a b 号由夹角的余弦决定 当 当 当 00 0 90 0a b A 0 900a b A 00 90 180 0a b A 数量积是内积 用表示 不能用或表示a b Aa b ab 2 一向量在另一向量方向上投影 定义 叫做在的方向上 在的方向上 的投影 如图 过作a b b a OAa OBb B 垂直于直线 OA 垂足为 则 1 BB 1 B 1 cosOBb A 叫做向量在的方向上 1 cosOBb Ab a 当为锐角时 如图 1 它是 当为钝角时 如图 2 它是 当为直角时 如图 3 它是 当 时 它是 当 时 它是 0 0 0 180 的几何意义 数量积等于的长度与 的乘积a b Aa b Aa a 3 平面向量数量积的重要性质 设 都是非零向量 是与方向相同的单位向量 是与的夹角 则 a b e b a e e a a e 当与同向时 当与反向时 a b a b Aa b a b A 特别是 a a 2 2 aa 2 aaa a Aa b a b A cos a ba b AA 4 平面向量数量积的运算律 交换律 数乘结合律 a b a b A 分配律 a b c A 2 22 2abaa bb A 2 2 ababab A 2 222 222abcabca ba cb c AAA 八 向量的应用 O B A 1 B a b a O B A 1 B b A a 0 1 B B b 图 1图 2图 3 1 证明线段平行问题 包括相似问题 常用向量平行 共线 的充要条件 与共线 或 a b a b A 11 1221 22 0 xy abx yx y xy 2 证明垂直问题 常用向量垂直的充要条件 a b 1212 00a bx xy y A 3 求夹角的问题 利用夹角公式 1212 2222 1122 cos x xy ya b a bxyxy A 4 求线段的长度 可以利用向量的线性运算 向量的模 若 则 若 则 ax y 22 aa axy A 1122 A x yB xy 22 2121 ABxxyy 2 22 2ababaa bb A 5 如图所示 在中 D 是 BC 边上有中点 AD 是的 BC 边上中线 则有ABCAABCA 1 2 ADABAC 三角函数恒等变换三角函数恒等变换 一 基本公式 1 两角和与差的公式 cos sin tan 理解 两角和与差的公式揭示 同名不同角的三角函数的运算规律 对公式会正用 逆用 变形用 善于对角按需要变形 2 二倍角公式 sin2 cos2 tan2 理解 二倍角公式揭示 具有倍数关系的两角的三角函数的运算规律 3 辅助角公式和万能公式 辅助角公式 sincosab 其中 所在的象限由点 所在的象限所确定 tan 4 了解以下公式 半角公式 1cos sin 22 1cos cos 22 1cos1cossin tan 21cossin1cos 积化和差公式 1 sincos sin sin 2 1 cossin sin sin 2 1 coscos cos cos 2 1 sinsin cos cos 2 和差化积公式 sinsin2sincos 22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 22 coscos2sinsin 22 A B C D 二 三角恒等变换是本章的主题和核心 1 三角恒等变换的入手点 角 名 形 其中角的变换角的变换尤应注意 2 三角恒等变换的核心 角的变换和角的限定角的变换和角的限定 3 三角恒等变换的手段和方法 角的配凑 如 等等 2 降次与升次 升次公式 1 cos2 1 cos2 sin1 sin1 降次公式 2 cos 2 sin 常值代换 特别是 1 的代换 如 等等 22 1sincostancot2sin2cos 4463 tan1 tan1 tantan 解三角形解三角形 1 内角和 180 CBA 180 0 180 0 1800 CBA 2 1 180CBA 180CAB 180BAC 2 sin sinCBA sin sinCAB sin sinBAC cos cosCBA cos cosCAB cos cosBAC 3 1 2 90 2 CBA 2 90 2 CAB 2 90 2 BAC 2 2 cos 2 sin CBA 2 cos 2 sin CAB 2 cos 2 sin BAC 2 sin 2 cos CBA 2 sin 2 cos CAB 2 sin 2 cos BAC 4 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 5 大边对大角 大角对大边 6 正弦定理 R 指三角形外接圆半径 R C c B b A a 2 sinsinsin 1 解三角形 已知两边和其中一边的对角 已知两角和一边 2 注意已知两边和其中一边的对角解三角形有一解 两解及无解情形 变形 CRcBRbARasin2 sin2 sin2 CBAcbasin sin sin 7 余弦定理 变形 Abccbacos2 222 bc acb A 2 cos 222 Bcaacbcos2 222 ca bac B 2 cos 222 Cabbaccos2 222 ab cba C 2 cos 222 解三角形 已知两边一夹角 已知三边 8 已知形如或 由变形 ba ba abbabaabbaba2 2 22222 CababbaCabbaccos22 cos2 2222 CababbaCabbaccos22 cos2 2222 数列基本公式数列基本公式 1 一般数列的通项 an与前 n 项和 Sn的关系 an 2 等差数列的通项公 an 其中 a1为首项 ak为已知的第 k 项 当 d 0 时 an是关于 n 的一次式 当 d 0 时 an是一个常数 3 等差数列的前 n 项和公式 Sn 当 d 0 时 Sn是关于 n 的二次式且常数项为 0 当 d 0 时 a1 0 Sn na1是关于 n 的正比例式 4 等比数列的通项公式 an 其中 a1为首项 ak为已知的第 k 项 an 0 5 等比数列的前 n 项和公式 当 q 1 时 Sn n a1 是关于 n 的正比例式 当 q 1 时 Sn 三 高中数学中有关等差 等比数列的结论 1 等差数列 an 的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm S2m Sm S3m S2m S4m S3m 仍为等差 数列 2 等差数列 an 中 若 m n p q 2k 则 3 等比数列 an 中 若 m n p q 2k 则