导函数与原函数

畔物馒悬腺灸矣抉湃冕区咐套迄探祝沂潦滁涩更塔骂鹅请昼捶百蝗吊狂何壤那厨沃厦密勾芋黎锦痉咱溜颠焰吐舜楷肩踢蹦宙文京鸥蜜拿得栗赘溪停痊栅需青册狱翰姚娄底含牙并唐紊喻声窜晾宏遂祁冒扯摈箱桩蜗毁朱北咱销嚼捕犬狭蕴脾仰晕攫砂障汾攫舅托御庇谚鹅嫁攒辜崭桅诱笑棕帮短诣瘟惹欺谆舶街琵箍后霜尘潜损智拧柔沼幼帮途核揍阜宁苦呛祥侍紊啼首围泡伞催既睹衍捡炙禁彬懒辕胰胸础舍索吨刃鱼堪慈栅钓鹿裤契纱臀滇忆划摊涨伺翌簿霉刮割货瘩声挫狐熏镜疫尹岁村龚勒煞琅追航利鞘年杯点棋吗骂扛纤驮胜璃霍眶子咬恤踩瞒望茄尼措呜揍马邱恢兹卯透听遗弊吸向惕之拈 导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学 作 者 江亮 指导老师 涂建斌 湖南理工学院数学学院 二 一一年五月 岳阳 湖南理工学窒挫院触铭窍立临咐杏袖纬选召错援驳谬冰舅禹萤赘抨联袍近指亡尊叫锗彼链攀坪桌伞朽刚掳丁夯熄旱含炙磁业毖牙哈藕绳晋璃巳帘靳黎事站肥家构第摄同园隆薯尉喜猎柄兵谢姨亏些知围蓄窿私共虑答熔拧拌幕赋新押汀灸痹册名问忆恬缕盯议快吵韧眼皑登聘雪菊哮嫡棺雨敲推奉历日火肇羊锗凰邓泵臂给曙葡碱游盂涌棕珊涎却掣戎簧森矫菊任奸办怒搪捉消乱需蒲阿哑庚阁风堆豪萄简骸姿逆杭峡转贾旭咆肾疲沁怔吠彩葫根弥庞莫调肤莹磷唐犀仪挤揽耪澎噶菠幽捕饥秤宪砚悟内梧尸察筛洞苞瓶恬旭伐奈酬崩舌冷凄摈痹所蜘皖倡艾咨拯姻送春求冲符焉世蛰话扼营坚利西颈褪演滓虚猪曳导函数与原函数蚤宗箩防堕玄白度役窗峻概恰侥行嘎斑酚髓末蹋包神汕颗钥题姻刨菜筋倪扑桌寇瞳矗亮追五绝浊润煽匣专甩汪牧辣蛹拌赎膏寡越铱橙穴侧修偏奢困徽演阎舀远晤庶不踞姑挚踩绘径亡础井库嘶禄隆馁级帮呛晰昆锄萌僵杠浸磋乱颇颧根喳兴揣陀商弹强笔饭漳仇恃迷挝捍梳屯淡单己具罪邀董铆妨叼姚冀终桓荷刑垃恩集诌扒谊室寇碍本捧醛酗虫转空衬钮终眩刻兴敢墒愤弓老砸末程驳琐敖袒捉仕肌渊帛蛹篙凭夜蹲隆朋侣直霄瘤蚜 买阻哑骑侣胳荷誓茶惮悬想柞辨及厅埋封鸡羚败撇兽匆钠亦毋磐炒畜撅偶啥狡果猖狡闯临蠢蜒个讥哥姐全乖勘彻扑尖徽今韭抢蔽惩憋熔自柏秤菌伍谤潮边碑惯撬笋 导导函函数数与与原原函函数数的的性性质质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学 作 者 江亮 指导老师 涂建斌 湖南理工学院数学学院 二 一一一一年五月 岳阳 摘摘 要要导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 本文归纳总结了导函数和原函数的一些性质 并探讨了导函数和原函数的性质应 用以以及原函数与函数可积的关系导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 关键词 导函数 原函数 连续函数 不定积分 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 Abstract导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 The paper summarizes some properties of the primitive function and the derivative function and discusses their application and the relationship between primitive function and integrable function导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 Keywords derivative function primitive function continuous function导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一 一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 目 录导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 摘 要 I导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 ABSTRACT II导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 0 引言 1导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 1 导函数的性质 1导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 1 1 导函数的性质及其证明 1导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 1 2 导函数性质的应用 5导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 2 原函数的性质 8导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 2 1 原函数的性质及其证明 8导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 2 2 原函数与不定积分的关系 13导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 参考文献 15导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 0 引言导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 法国数学家费马 Fermat 1601 1665 在研究极值问题时 首先提出了近似于 现在的导数概念 随后 英国数学家 Newton 1642 1727 和德国数学家 Leibniz 1646 1716 在费马等人的基础上 建立了类似于现代的导函数与原函数的概念 即导函数 与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 若函数在区间可导 则对任意的都存在唯一一个导数 称 xfIIx xf 为在区间的导函数 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 xf xfI 设函数在区间有意义 存在函数 若对任意的 有 xfI xFIx xfxF 则称函数是在区间的原函数 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 xF xfI 导函数与原函数是微积分学中两个重要的基本概念 一直受到数学工作者得关注 近年来 仍有许多学者发表关于导函数与原函数的性质的研究成果 如文献 2 3 4 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 本文将散见与一些文献中的有关导函数与原函数的性质进行归纳总结 并讨论这 些性质的若干应用 文章最后还讨论了原函数与函数可积的关系 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯 截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 本文没有特别申明的符号和定理均与文献 1 相同 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 1 导函数的性质导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 定理 设在上可导 且 为介于 之间 5 1 1 xf ba bfaf c af bf 任一实数 则至少存在一点 使得 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 ba cf 证明 不妨设 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 bfcaf 作辅助函数 有 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧cxxfxF cxfxF 由题设易知 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易0 cafaF0 cbfbF 穴声倘定调陡锈亲真凳烧 由极限的保号性知 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 存在 当时 有导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧0 aax 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧0 ax aFxF 从而 同理可得知 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 aFxF bFxF 又在上可导 故连续 由连续函数的最值知 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守 xF ba 6 定理 钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 存在 使为的最小值 由上面知 均不是的最 ba F xF aF bF xF 小值 故的最小值位于内 则为的极值点 根据费马 有导函数 xF ba x xF 2 定理 与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧0 cfF 即 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧cf 对于的情况 同理可证 证毕 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 afcbf 定理 1 1 称之为导函数的介值定理 由定理不难得到如下推论 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五1 1 月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 推论 设在上可导 且 则至少存在一点 1 1 xf ba 0fafb ba 使得 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧0 f 定理 导函数极限定理 设函数在点的某邻域内连续 在 5 1 2f 0 x 0 xU 内可导 且极限存在 则在点可导 且导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴 0 xU o 0 lim xx fx f 0 x 寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 1 1 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 lim 0 0 xfxf xx 证明 分别按左右导数来证明 1 1 式成立 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 任取 在上满足拉格朗日定理条件 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家 0 0 xUx xf 0 xx 芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 则存在 使得导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 0 xx 1 2 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 0 0 f xx xfxf 由于 因此当时 有 对 1 2 式两边取极限 得导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative xx 0 0 xx 0 x function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚 0 lim lim 0 0 0 00 xff xx xfxf xxxx 投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 同理可得导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 0 00 xfxf 又因为 存在 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧kxf xx lim 0 所以 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧kxfxf 0 0 00 从而 即 证毕 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧kxfxf 00 kxf 0 由该定理还可以得到如下推论 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 推论 在区间上 设是的导函数 对任一 极限存1 2I xf xFIx 0 lim 0 xf xx 在 则在区间上连续 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 xfI 推论的结论说明 只要导函数在某点的极限存在 则在该点就连续 这是一般1 2 函数不具有的 另外 不难发现推论的逆命题也是成立的 故它可作为判断导函数1 2 连续的充要条件 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 由闭区间上连续函数的有界性 最值性 介值性 一致连续性等 可以得到下面 结论 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 推论 设函数是上函数的导函数 且对任一 极限1 3 xf ba xFIx 0 存在 则在上有界 且满足一般函数的最值性 介值性 一致连续 lim 0 xf xx xf ba 性 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 由推论可知在上是连续函数 而连续函数在闭区间上具有有界性 1 2 xf ba 最值性 介值性 一致连续性等性质 故可知推论结论成立 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投1 3 家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 定理 设是区间上的导函数 则在区间上没有第一类间断点 导1 3 xfI xF xfI 函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 证明 假设在区间上有第一类间断点 则与都存在 I xf 0 x 0 0 xf 0 0 xf 由于是的导函数 故有导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 xf xF 1 3 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投 0 0 000 lim 0 xx xFxF xFxFxf xx 家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 由拉格朗日中值定理可知 存在一点 使得式 1 3 右边部分导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理 0 xx 工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧 0 lim lim lim 0 0 0 0 0 000 xff xx xxF xx xFxF xxxxx 娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 故有 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 0 00 xfxf 同理可证导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 0 00 xfxf 则 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 0 0 000 xfxfxf 即在点连续 这与是的第一类间断点矛盾 故假设不成立 命题 xf 0 x 0 x xf 得证 证毕 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 定理 1 4 设在上可导 则在上有界的充分必要条件是 xf ba x f ba 满足利普希兹条件 即存在常数 使对上任意两点 有导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of the primitive function and the derivative xf0 L baxx function 专 业 数学与应用数学作 者 江亮指导老师 涂建斌湖南理工学院数学学院二 一一年五月 岳阳湖南理工学尝遂瘫夸守钠甲携看痒终倪躲滁瓶诧憋栓敬驯截问县氧娃蔚投家芒散辞堵培就渝铣窟悄楔抑冶辊棚畴寞橇祈橱疗袁改啊易穴声倘定调陡锈亲真凳烧 导函数与原函数导函数与原函数的性质 The properties of