安徽省黄山市2013届高三第一次联考数学(文)试题

安徽省黄山市安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测届高中毕业班第一次质量检测 数学 文科 试题数学 文科 试题 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 参考公式 锥体的体积公式 1 3 VSh 其中S是锥体的底面积 h是锥体的高 如果事件A B 互斥 那么 P ABP AP B 第 卷 选择题 满分 50 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 已知复数 2 1 i ai 的实部和虚部相等 则实数a等于 A 1 2 B 2 C 1 3 D 3 5 3 是 3 2 sin 的 A 必要而不充分条件 B 充分而不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6 如图 右边几何体的正视图和侧视图可能正确的是 正视图 侧视 图 D 正视图 侧视 图 B 正视图 侧视 图 A 正视图 侧视 图 C 7 定义某种运算a b 运算原理如图所示 则式子 1 100 131 2 43 lnelgtan 的值为 A 13 B 11 C 8 D 4 8 在空间四边形ABCD中 E F 分别为AC BD 的中点 若 24CDABEFAB 则EF与CD所成的角为 A 90 B 60 C 45 D 30 9 对于给定的实数 1 a 按下列方法操作一次产生一个新的实 数 由甲 乙同时各掷一颗质地均匀的骰子 一种各面上分别标有 1 2 3 4 5 6 个点的正方 体玩具 记出现向上的点数分别为m n 如果m n 是偶数 则把 1 a 乘以 2 后再减去 2 如果 mn 是奇数 则把 1 a 除以 2 后再加上 2 这样就可得到一个新的实数 2 a 对 2 a 仍按上述方法进行 一次操作 又得到一个新的实数 3 a 当 31 aa 时 甲获胜 否则乙获胜 若甲获胜的概率为 3 4 则 1 a 的值不可能是 A 0 B 2 C 3 D 4 10 已知函数 lg xx fxxab 中 常数 101ababab 满足 且 那么 1fx 的解 集为 A 0 1 B 1 C 1 10 D 10 第 卷 非选择题 满分 100 分 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 把答案填在答题卡的相应位置上 11 已知向量a是单位向量 若向量b满足 0 abb 则 b 的取值范围是 12 两圆相交于两点 1 3 和 1 m 两圆圆心都在直线 0 xyc 上 且m c 均为实数 则 mc 13 已知a b 且 1ab 则 22 ab ab 的最小值是 14 已知数列 n a 满足 1 1log 1 nn aan 2 nnN 定义 使乘积 12 aa k a 为正整数的 k kN 叫做 简易数 则在 1 2012 内所有 简易数 的和为 15 以下五个命题 标准差越小 则反映样本数据的离散程度越大 两个随机变量相关性越 开始 输入 a b a b 输出 a b 1 输出 b a 1 结束 是否 强 则相关系数越接近 1 在回归直线方程 0 412yx 中 当解释变量x每增加 1 个单位时 则预报变量 y 减少 0 4 个单位 对分类变量 X 与 Y 来说 它们的随机变量 2 K 的观测值k越小 X 与 Y 有关系 的把握程度越大 在回归分析模型中 残差平方和越小 说明模型的拟合效果 越好 其中正确的命题是 填上你认为正确的命题序号 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知A BC 为 ABC 的三内角 且其对边分别为a bc 若向量 2 cos 2 A m cos1 2 A 向量 1 n cos1 2 A 且2 1 m n 1 求A的值 2 若 2 3a 三角形面积 3S 求b c 的值 17 本小题满分 12 分 在 2012 魅力新安江 青少年才艺表演评比活动中 参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受 到不同程度的破坏 可见部分如下图 据此回答以下问题 1 求参赛总人数和频率分布直方图中 80 90 之间的矩形的高 并完成直方图 2 若要从分数在 80 100 之间任取两份进行分析 在抽取的结果中 求至少有一份分数在 90 100 之间的概率 叶茎 频率 组距 0 0 08 50 6090 10 0 分数 18 本小题满分 12 分 设函数 32 9 6 2 fxxxax 1 对于任意实数x fmx 在 1 5 恒成立 其中 fx 表示 fx 的导函数 求m的最大值 2 若方程 0fx 在R上有且仅有一个实根 求a的取值范围 19 本小题满分 13 分 如图 四边形ABCD为矩形 AD 平面 2ABEAEEBBC F为CE上的点 且BF 平 面ACE 1 求证 AE BE 2 求三棱锥D AEC 的体积 3 设M在线段AB上 且满足 2AMMB 试在线段CE上确定一点N 使得 MN 平面DAE 20 本小题满分 12 分 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 1 F 2 F 点 Pa b 满足 212 PFFF 1 求椭圆的离心率e 2 设直线 2 PF 与椭圆相交于A B 两点 若直线 2 PF 与圆 22 16 1 3 xy 相交于M N 两点 且 5 8 MNAB 求椭圆的方程 21 本小题满分 14 分 已知函数 2 x f xk kxb N b 满足 2 2f 3 2f 1 求k b的值 M B C A D E F 2 若各项为正的数列 n a 的前n项和为 n S 且有 1 4 1 n n Sf a 设 2n n ba 求数列 n n b 的前n项和 n T 3 在 2 的条件下 证明 ln 1 nn bb 黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测 数学试题答案 文科 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 题号12345678910 答案CDABBAADCB 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 0 1 12 3 13 2 2 14 2036 15 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 解 1 向量 2 coscos1 22 AA m 向量 1 cos1 2 A n 且2 1 m n 22 1 cossin 222 AA 3 分 得 1 cos 2 A 又 0 A 所以 2 3 A 5 分 2 112 sinsin3 223 ABC SbcAbc 4bc 7 分 又由余弦定理得 22222 2 2cos 3 abcbcbcbc 9 分 2 16 bc 所以 4bc 12 分 17 本小题满分 12 分 解 1 由茎叶图知 分数在 50 60 之间的频数为 2 由频率分布直方图知 分数在 50 60 之间的频率为0 008 10 0 08 所以 参赛总人数为 2 25 0 08 人 2 分 分数在 80 90 之间的人数为25 27 1024 人 分数在 80 90 之间的频率为 4 0 16 25 得频率分布直方图中 80 90 间矩形的高为 0 16 0 016 10 4 分 完成直方图 如图 6 分 2 将 80 90 之间的 4 个分数编号为1 2 3 4 90 100 之间的2个分数编号为5 6和 则在 80100 之间任取两份的基本事件为 12 13 14 15 16 2 3 2 4 2 5 2 6 频率 组距 0 0 4 0 0 28 0 0 16 0 0 08 50 60 70 80 90 10 0 分数 3 4 35 3 6 4 5 4 6 5 6 共 15 个 其中至少有一个在 90 100 之间的基本事件为 15 16 2 5 2 6 35 3 6 4 5 4 6 5 6 共 9 个 10 分 故至少有一份分数在 90 100 之间的概率是 93 155 12 分 18 本小题满分 12 分 解 1 2 396fxxx 1 5x 法一 fxm 在 1 5 恒成立 2 396mxx 在 1 5 恒成立 3 分 由 22 33 3963 24 fxxxx 在 1 5 的最小值为 3 4 所以 得 3 4 m 即m的最大值为 3 4 6 分 法二 令 2 396g xxxm 1 5x 要使 fxm 在 1 5 恒成立 则只需 0g x 在 1 5 恒成立 由于 yg x 的对称轴为 3 2 x 当 1 5x 时 min 3 2727 60 242 g xgm 解得 3 4 m 所以m的最大值为 3 4 6 分 2 因为当 1x 时 0fx 当1 2x 时 0fx 当 2x 时 0fx 即 yf x 在 1 和 2 单增 在 1 2 单减 所以 5 1 2 f xfa 极大值 2 2f xfa 极小值 9 分 故当 2 0f 或 1 0f 时 方程 0f x 仅有一个实根 得 2a 或 5 2 a 时 方程 0f x 仅有一个实根 所以 5 2 2 a 12 分 19 本小题满分 13 分 证明 1 AD 平面ABE 且 ADBC BC 平面ABE 则BC AE 2 分 又 BF 平面ACE 则BF AE 且BF与BC交于B点 AE 平面BCE 又BE 平面BCE AE BE 4 分 2 由第 1 问得 AEB 为等腰直角三角形 易求得AB边上的高为 2 14 2 22 33 D AECE ADC VV 7 分 3 在三角形ABE中过M点作 MGAE交BE于G点 在三角形BEC中过G点作 GNBC交EC于N 点 连MN 由比例关系易得 1 3 CNCE 9 分 MGAEMG 平面ADE AE 平面ADE MG 平面ADE 同理 GN 平面ADE 且MG与GN交于G点 平面 MGNADE平面 11 分 又MN MGN 平面 MNADE平面 N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点 13 分 20 本小题满分 12 分 解 1 设 12 0 0 0 FcF cc 因为 212 PFFF 所以 22 2acbc 2 分 整理得 2 2 10 cc aa 得 1 c a 舍 或 1 2 c a 所以 1 2 e 4 分 2 由 1 知 2 3ac bc 椭圆方程 222 3412xyc 2 PF 的方程为 3 yxc A B 两点的坐标满足方程组 222 3412 3 xyc yxc 消去 y 并整理 得 2 580 xcx M B C A D E F G N 解得 12 8 0 5 xxc 得方程组的解 1 1 0 3 x yc 2 2 8 5 3 3 5 xc yc 7 分 不妨设 3 38 0 3 55 Acc Bc 则 223 3816 3 555 ABcccc 于是 5 2 8 MNABc 圆心 1 3 到直线 2 PF 的距离 333 3 2 22 c c d 10 分 因为 222 4 2 MN d 所以 22 3 2 16 4 cc 整理得 2 712520cc 得 26 7 c 舍 或 2c 所以椭圆方程为 22 1 1612 xy 12 分 21 本小题满分 14 分 解 1 由 4 2 2 22 2 9629 3 2 3 f kb kb kb f kb 由 代入 可得 5 2 k 且 kN 2 分 当 2k 时 2b 成立 当 1k 时 0b 舍去 所以 2k 2b 4 分 2 2 1 1 4 41 2 2 n nn n n a SfS a a 即 2 2 nnn Saa 2n 时 2 111 2 nnn Saa 所以 当 2n 时 由 可得 22 11 2 nnnnn aaaaa 整理得 11 1 0 nnnn aaaa 又 0 n a 得 1 1 nn aa 且 1 1a 所以 n a 是首项为 1 公差为 1 的等差数列 即 n an 2n n b 2n n nbn 7 分 1231 1 22 23 2 1 22